第六章 第6讲 复数

第六章平面向量、复数第6讲复数

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.复数的概念2023全国卷乙T1；2023全国卷甲T2；2022全国卷乙T2；

2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；2022浙江T2；2021全国卷甲T3；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅠT1；2020全国卷ⅢT2；2019全国卷ⅡT2本讲每年必考，主要考查复数的有关概念和运算，复数的几何意义，一般以选择题的形式出现，属于送分题.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要注意对复数几何意义的理解和应用.课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.复数的运算2023新高考卷ⅠT2；2022全国卷甲T1；2022新高考卷ⅠT2；

2022新高考卷ⅡT2；2021新高考卷ⅠT2；2021新高考卷ⅡT1；2021全国卷乙T1；2021全国卷甲T3；2020新高考卷ⅡT2；2019全国卷ⅢT2本讲每年必考，主要考查复数的有关概念和运算，复数的几何意义，一般以选择题的形式出现，属于送分题.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要注意对复数几何意义的理解和应用.课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.复数的几何意义2023新高考卷ⅡT1；2021新高考卷ⅡT1；2020全国卷ⅡT15；

2020北京T2；2019全国卷ⅠT2；2019全国卷ⅡT2本讲每年必考，主要考查复数的有关概念和运算，复数的几何意义，一般以选择题的形式出现，属于送分题.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要注意对复数几何意义的理解和应用.

1.复数的有关概念名称含义复数的定义形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部为①

⁠，虚部为

②

，i为虚数单位且i2＝③

⁠.复数分类a＋bi为实数⇔b＝0；a＋bi为虚数⇔b≠0；a＋bi为纯虚数⇔④

⁠

(a，b∈R).a

b

－1

a＝0

且b≠0

名称含义复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).注意

实数能比较大小，虚数不能比较大小.共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔⑤

(a，b，c，d∈R).a＝c且b＝－d

名称含义复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做⑥

⁠

，y轴叫做⑦

⁠.说明

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚

数，各象限内的点都表示虚数.复数的模实

轴

虚轴

2.复数的几何意义思维拓展(1)

r

1≤｜

z

｜≤

r

2表示以原点

O

为圆心，以

r

1和

r

2为半径的两圆所夹的圆环；(2)｜

z

－(

a

＋

b

i)｜＝

r

(

r

＞0)表示以(

a

，

b

)为圆心，

r

为半径的圆.3.复数的四则运算(1)复数的运算法则设

z

1＝

a

＋

b

i，

z

2＝

c

＋

d

i(

a

，

b

，

c

，

d

∈R).运算法则运算形式加法z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝⑨

⁠.减法z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝⑩

⁠.乘法z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝⑪

⁠.除法(a＋c)＋(b＋d)i

(a－c)＋(b－d)i

(ac－bd)＋(ad＋bc)i

(2)复数的运算律对任意的

z

1，

z

2，

z

3∈C：加法运算律交换律：z1＋z2＝⑫

.结合律：(z1＋z2)＋z3＝⑬

⁠

⁠.乘法运算律交换律：z1z2＝z2z1.结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3).分配律：z1(z2＋z3)＝

z1z2＋z1z3.z2＋z1

z1＋(z2

＋z3)

(3)复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以按照向量的加、减法来进行

1.下列说法正确的是(

D

)A.复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为bB.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小C.已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向

量的模D1234

D

1234

A.6－2iB.4－2iC.6＋2iD.4＋2i

C1234

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

B1234

D例1训练1例2训练2例3训练3(2)[2023全国卷甲]设

a

∈R，(

a

＋i)(1－

a

i)＝2，则

a

＝(

C

)A.－2B.－1C.1D.2[解析]

∵(

a

＋i)(1－

a

i)＝

a

＋i－

a

2i－

a

i2＝2

a

＋(1－

a

2)i＝2，∴2

a

＝2且1－

a

2＝

0，解得

a

＝1，故选C.C例1训练1例2训练2例3训练3

D例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧1.求解与复数有关概念问题的技巧：将复数化为

z

＝

a

＋

b

i(

a

，

b

∈R)的形式，然

后根据复数的有关概念求解即可.2.若两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.3.复数的概念中的常用性质

例1训练1例2训练2例3训练3

A.1－2iB.1＋2iC.2－iD.2＋i

B例1训练1例2训练2例3训练3

A.a＝1，

b＝－2B.a＝－1，

b＝2C.a＝1，

b＝2D.a＝－1，

b＝－2

A例1训练1例2训练2例3训练3

A.1D.2

A

例1训练1例2训练2例3训练3

AA.－iB.iC.0D.1

例1训练1例2训练2例3训练3

C例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

A.－2B.－1C.1D.2

D例1训练1例2训练2例3训练3

A.－2iB.2iC.1＋iD.1－i[解析]令

z

＝

a

＋

b

i(

a

，

b

∈R)，则

a

＋

b

i＋3＝4

a

－4

b

i＋5i，即3

a

－3＋(5－5

b

)i＝0，∴3

a

－3＝0，5－5

b

＝0，解得

a

＝1，

b

＝1，∴

z

＝1＋i，∴

z

2＝2i.故选B.B例1训练1例2训练2例3训练3命题点3

复数的几何意义例3

(1)[2023新高考卷Ⅱ]在复平面内，(1＋3i)·(3－i)对应的点位于(

A

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析]因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点

为(6，8)，位于第一象限，故选A.A例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧1.根据复数、点、向量之间的一一对应关系，把复数、向量与解析几何联系在一

起，解题时运用数形结合的方法，可以更加直观地解决问题.2.思维拓展｜

z

－

z

0｜表示在复平面内复数

z

对应的点与复数

z

0对应的点之间的距离；｜

z

－

z0｜＝

r

(

r

＞0)表示在复平面内复数

z

对应的点在以复数

z

0对应的点为圆心、

r

为半径

的圆上；｜

z

－

z

1｜＝｜

z

－

z

2｜表示在复平面内复数

z

对应的点在复数

z

1，

z

2对应

点所连线段的垂直平分线上.例1训练1例2训练2例3训练3训练3

(1)[2023湖北十一校联考]复数

z

满足｜

z

－5｜＝｜

z

－1｜＝｜

z

＋i｜，则｜

z

｜＝(

C

)D.5

C例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)[多选/2023石家庄市三检]已知复数

z

1＝1＋2i，复数

z

满足｜

z

－

z

1｜＝2，则下列

说法正确的有(

AD

)D.若复数z在复平面内所对应的点为Z(x，y)，则(x－1)2＋(y－2)2＝4AD例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

1.[命题点1/浙江高考]已知

a

∈R，若

a

－1＋(

a

－2)i(i为虚数单位)是实数，则

a

＝

(

C

)A.1B.－1C.2D.－2[解析]因为

a

－1＋(

a

－2)i是实数，所以

a

－2＝0，所以

a

＝2.故选C.C12345

A.1－2iB.1＋2iC.1＋iD.1－i

C12345

3或－1

123454.[命题点3]设复数

z

在复平面内对应的点为

Z

，原点为

O

，i为虚数单位，则下列说

法正确的是(

C

)A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±iB.若｜z＋1｜＝1，则点Z的集合为以(1，0)为圆心，1为半径的圆D.若｜z－1｜＝｜z＋i｜，则点Z的集合中有且只有两个元素C12345

12345

A.iB.－iC.1D.－1

D12345

1.[2024河南信阳开学考试]i＋i2＋i3＋…＋i2025＝(

C

)A.2025B.1－iC.iD.－i[解析]因为i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i，i6＝－1，…，i－1－i＋1＝0，所以i＋

i2＋i3＋…＋i2025＝i，故选C.C1234567891011121314152.[2024贵阳模拟]复数

z

满足(1＋2i)

z

＝3－i，则｜

z

｜＝(

A

)C.2

A

123456789101112131415

A.3B.1C.－1D.－3

B123456789101112131415

123456789101112131415

A1234567891011121314155.[2024江西四校联考]设

a

，

b

∈R且

b

≠0，若复数(

a

＋

b

i)3是实数，则(

A

)A.b2＝3a2B.a2＝3b2C.b2＝9a2D.a2＝9b2[解析]因为(

a

＋

b

i)3＝

a

3＋3

a

2

b

i－3

ab

2－

b

3i＝(

a

3－3

ab

2)＋(3

a

2

b

－

b

3)i为实

数，(提示：完全立方和公式为(

a

＋

b

)3＝

a

3＋3

a

2

b

＋3

ab

2＋

b

3)所以3

a

2

b

－

b

3＝0.又因为

b

≠0，所以3

a

2＝

b

2，故选A.A1234567891011121314156.[角度创新]设复数

z

1，

z

2在复平面内对应的点关于虚轴对称，

z

1＝1＋2i，i为虚数

单位，则

z

1

z

2＝(

B

)A.1－2iB.－5C.5D.5i[解析]因为

z

1，

z

2在复平面内对应的点关于虚轴对称，

z

1＝1＋2i，所以

z

2＝－1

＋2i，所以

z

1

z

2＝(1＋2i)(－1＋2i)＝－5，故选B.B123456789101112131415

B123456789101112131415

123456789101112131415

A.－3＋4iB.3－4iC.4＋3iD.4－3i

D123456789101112131415

123456789101112131415

0(答案不唯一)

123456789101112131415

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

D123456789101112131415

C.z是方程x2－x＋1＝0的一个根D.满足zn∈R的最小正整数n为3B123456789101112131415

12345678910111213141512.[多选]18世纪末，韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算

具有了几何意义.例如，｜

z

｜＝｜

OZ

｜，即复数

z

的模的几何意义为

z

在复平面内

对应的点

Z

到原点

O

的距离.下列说法正确的是(

BCD

)A.若｜z｜＝1，则z＝±1或z＝±iBCD123456789101112131415

12345678910111213141513.[2024四川成都二中开学考试]已知复数

z

满足｜

z

－1｜＝｜

z

＋i｜(i为虚数单

位)，在复平面内，记

z

0＝2＋i对应的点为点

Z

0，

z

对应的点为点

Z

，则点

Z

0与点

Z

之间距离的最小值为