4.2 指数函数（解析版）

.2指数函数知识点一指数函数的概念【【解题思路】1.判断一个函数是否为指数函数的方法(1)底数的值是否符合要求．(2)ax前的系数是否为1.(3)指数是否符合要求．2.求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式。【例1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R.对A,选项不满足形式；对B，符合定义；对C,系数为,不满足定义；对D，指数为,不满足定义.故选：B.【例1-2】（23-24高一上·青海西宁·期中）函数是指数函数，则有（

）A．或 B．C． D．且【答案】C【解析】由已知得，即得.故选：C【例1-3】．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因的图象过点，则，得，所以，故选：C.【变式】1．（23-24高一上·江西新余·期中）（多选）若函数是指数函数，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】AB【解析】因为函数是指数函数，所以，解得或.故选：AB2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是幂函数的是；是指数函数的是.【答案】幂函数②指数函数①⑤【解析】因为指数函数为（且），故①⑤是指数函数；由幂函数定义知，是幂函数，故②是幂函数；由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是幂函数，也不是指数函数；对于⑧，当时，，不是幂函数，也不是指数函数.故答案为：②；①⑤.3．（23-24高一上·上海·假期作业）在下列函数中，是指数函数的有.①

②

③

④⑤

⑥

⑦【答案】①⑥【解析】指数函数：且函数定义域为，的系数为1；①是指数函数；②的指数不是，故不是指数函数；③指数式的系数不为1，故不是指数函数；④的定义域不是；⑤不是指数函数；⑥是指数函数；⑦的底数不是常数，不是指数函数；故答案为：①⑥4．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数为指数函数，则．【答案】【解析】因为函数为指数函数，所以且且，解得.故答案为：知识点二指数型函数的定点【例2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图象经过一定点，则该定点坐标为．【答案】【解析】当，即时，，所以的图象经过定点.故答案为：【例2-2】（23-24高二下·重庆·阶段练习）直线和函数的图象均恒过同一定点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，解得，由题意可知：点在直线上，可得，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.【变式】1．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是．【答案】【解析】的图象过点，图象由的图象右移3个单位、上移7个单位得到，故过定点．故答案为：．2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数（且）的图象必经过点．【答案】【解析】因为函数（且）的图象必经过点，所以函数的图象必经过点.故答案为：.3．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．1 C． D．【答案】C【解析】由函数的图像恒过定点，再由点在直线上，则，而，取等号条件是,此时，故选：C.4．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（）A． B．9 C． D．8【答案】B【解析】对于函数，令，得，，所以函数的图象恒过定点，又定点的坐标满足方程，所以，即，又，，所以，当且仅当，即，时取等号，的最小值为.故选：B.知识点三指数函数的图象及应用【【解题思路】处理函数图象问题的思路(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．【例3-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（）A． B．且C．且 D．【答案】C【解析】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且，，且．故选：．【例3-2】．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C．又函数（且）的图像不经过第二象限，则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即，故选：D．【变式】1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因为为指数函数，所以，且，所以，因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD，由指数函数的图象可知，所以，所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误，故选：A2．（22-23高一上·广东·阶段练习）（多选）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】由的图象可以观察出函数在定义域上单调递减，所以，函数的图象是在的图象的基础上向左平移得到的，所以.故选：AC3．（23-24高一上·四川·期中）（多选）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（

）A．B．C． D．【答案】AD【解析】根据题意可得，的图象是向上平移a个单位得到的，结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数，当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示，选项A，D不符合题意．故选：AD.重难点一指数函数的定义域和值域【【解题思路】1.函数y＝af(x)定义域的求法形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．2.函数y＝af(x)值域的求法①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．注意：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论．【例4-1】（22-23高一·全国·随堂练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4)(5)(6)【答案】(1)定义域为R，值域为(2)定义域为R，值域为(3)定义域为R，值域为(4)定义域为，值域为(5)定义域为，值域为(6)定义域为，值域为【解析】（1）的定义域为R，值域为；（2）的定义域为R，值域为；（3）的定义域为R，值域为；（4）中分母不等于0，故的定义域为，由于，故，又，故值域为；（5）中分母不等于0，故，的定义域为，由于，故，又，的值域为（6）中中分母不等式0，故，的定义域为，由于，故，又，故的值域为.【例4-2】（2024广西）函数（且）的值域是，则实数（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【解析】函数（且）的值域为，又由指数函数的单调性可知，当时，函数在上单调递减，值域是所以有，即，解得；当时，函数在上单调递增，值域是所以有，即，解得.综上所述，或.故选：C.【例4-3】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，符合题意；当时，因为函数的值域为满足，由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零；若时，依题意有的最小值，即，若时，不符合题意；综上：，故选：B.【变式】1．（2023高一·江苏·专题练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)定义域，值域为且(2)定义域为，值域为(3)定义域为R，值域为(4)定义域为R，值域为【解析】（1）要使函数式有意义，则，解得.所以函数的定义域为.因为，所以，即函数的值域为且.（2）由题意知，所以，所以，所以函数的定义域为.因为，所以，所以，即，所以函数的值域为.（3）由题意知函数的定义域为R.因为，所以，又，所以函数的值域为.（4）由题意易知函数的定义域为R，因为，又，所以，故函数的值域为.2．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）若函数（且）在区间上的值域为，则实数的值为（

）A． B．2 C．3 D．【答案】B【解析】①当时，单调递增，故，解得；②当时，单调递减，，无解，综上可知.故选：B3．（23-24高一上·全国·期末）如果函数且在区间上的最大值是，则的值为（

）A．3 B． C． D．3或【答案】D【解析】令，则．当时，因为，所以，又因为函数在上单调递增，所以，解得（舍去）．当时，因为，所以，又函数在上单调递增，则，解得（舍去）．综上知或．故选：D.重难点二指数型函数的单调性【【解题思路】指数型函数的单调性的解题思路(1)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性．(2)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．【例5-1】（23-24高二下·湖南衡阳·期中）的单调递减区间为【答案】/【解析】复合函数可以分为：外部函数与内部函数,因为外部函数在公共定义域内单调递减，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，所以求的减区间，等价于求内部函数的增区间，易知的增区间为，故的减区间为，由于端点不影响函数的单调性，所以的减区间也可以为，故答案为：.【例5-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由指数函数在上是严格减函数，则，得.故答案为：【例5-3】（23-24高二上·浙江·期末）函数在区间上单调递减，则a的取值范围是．【答案】【解析】函数由和复合而成，由于是单调递增，函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递减.当时，不符合题意；当时，单调递减，满足题意；当时，开口向下，对称轴为，故需要满足，显然成立，满足题意，综上：.故答案为：.【变式】1．（23-24高一下·四川成都·开学考试）函数的单调递减区间为．【答案】【解析】函数的定义域为，又二次函数，开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，在上单调递减，又在定义域上单调递减，所以的单调递增区间为.故答案为：2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）计算：函数的单调递减区间为.【答案】【解析】，的定义域为，根据“同增异减”法则：求函数的单调递减区间，即求的单调递减区间，而要求函数的单调递减区间，即要求函数的单调递增区间，的对称轴为，的单调递增区间为，故的单调递减区间为.故答案为：.3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知指数函数在R上是严格增函数，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】因为指数函数在R上是严格增函数，所以，即，解得或，即实数a的取值范围为.故答案为：4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】在上是严格增函数，,解得．故答案为：5．（23-24高一上·江西·期中）若函数在上单调递增，则实数m的最小值为．【答案】3【解析】因为，作函数函数的图象如下，结合图象可知，函数在单调递增，所以，则实数m的最小值为3，故答案为:3.重难点三比较大小【【解题思路】比较幂值大小的3种类型及处理方法1.底数相同指数不同：利用指数函数的单调性判断2.底数不同指数相同：利用幂函数的单调性判断3.底数不同指数不同：通过中间量比较【例6】（23-24高一上·上海·假期作业）比较下列各组数的大小:(1)和；(2)和；(3)和；(4)和；(5)和；(6)和.【答案】(1)>(2)(3)>(4)答案见解析(5)>(6)<【解析】（1）由于单调递减，所以；（2）由于单调递减，所以；（3），，故（4）当时，，故，当时，，故，（5）由于函数为单调递增函数，所以（6）由于为单调递减函数，所以【变式】1．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意，结合对应幂指数函数单调性，知，所以.故选：A2．（23-24高一上·四川乐山·期中）在，，，这四个数中，最大的数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函数与在上单调递减，可知，，只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增，所以，所以这四个数中，最大的数为.故选：C.3．（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为在第一象限为增函数，，所以，因为在第一象限为增函数，，所以，所以，故选：B.4．（2024高一上·湖南邵阳）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为在定义域上是增函数，所以，因为在定义域上是减函数，所以，所以,即.故选：A.5．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，，又，所以的大小关系是.故选：B重难点四简单的指数不等式的解法【【解题思路】简单的指数不等式的解法(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式．(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)<g(x)(0<a<1)．【例7-1】（2024·江苏宿迁）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：函数的定义域为R，函数分别是R上的增函数和减函数，因此函数是R上的增函数，由，得，解得，所以原不等式的解集是.故选：A解法二：特值当时，，排除B，D，当时，，排除C，对A：当时，，因为函数是R上的增函数，所以，故A成立.故选A．【例7-2】（23-24贵州六盘水·期中）已知定义在上的奇函数为单调递增函数，若恒成立，则t的取值范围是．【答案】【解析】由得，因为为上的奇函数，所以，故，又因在上单调递增，所以即，设，则恒成立，则，因，当且仅当即，时等号成立,故.故答案为：【变式】1．（2023春·辽宁）已知函数（且），若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数定义域为，且，所以函数为偶函数，则，因为，则，即，所以，所以可以转化为，则，所以，故选：B.2．（2024陕西咸阳）已知函数若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】得，当以及时，均为单调递增函数，且当时，当时，因此为上的单调递增函数，由得，故选：D3．（2024·黑龙江鹤岗）已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，所以为奇函数，不等式，等价于，即，因为为奇函数，所以，因为均为减函数，根据单调性的性质可知，为减函数，则，解得：故选：B重难点五指数函数的综合运用【例8】（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知函数．(1)若函数是定义在上的奇函数，求函数的解析式；(2)在（1）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）函数是定义在上的奇函数，所以，即恒成立.所以，，解得，或.当时，，无意义，不满足定义域为，舍去.当时，，满足题意.故.（2），所以.所以，因为任意且，不等式恒成立，，当且仅当时，等号成立.令，得到恒成立，即恒成立.因为，当且仅当时，等号成立，故，所以的最大值为.【变式】1．（23-24高一上·天津滨海新·期中）已知函数，．(1)证明函数在上单调递减；(2)若，，使得，求实数a的取值范围；(3)若关于x的不等式：在上有解，求实数a的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【解析】（1）证明：任取，，,,即函数在上单调递减.（2）由（1）的结论知在上单调递减，则，因为在上单调递增，所以若，使得，则即，解得.（3）由题意得在上有解，即在上有解，所以，设，因为在单调递减，在单调递减，所以在上单调递减，所以，所以.2．（23-24高一上·广东广州·期中）函数，．(1)若，求的最大值．(2)若时，图象恒在图象的上方，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【解析】（1），设，，，故，函数对称轴为，当，即时，最大值为；当，即时，最大值为；综上所述：当时，函数最大值为；当时，函数最大值为.（2）图象恒在图象的上方，即恒成立，即，设，，则.，即恒成立，，当且仅当时等号成立故，即.单选题1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为在上单调递减，所以在上的值域为.故选：C2．（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】内函数，其在上单调递增，而外函数在上单调递减，则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为，故选：B.3．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若，则的图象为：可知在上单调递增；若，则的图象为：可知在上单调递减；综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.故选：C．4．（2023春·湖南长沙）已知的值域为，则x的取值范围可以为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，则，由题知，，解得或，即或，解得或.故选：D5．（2024北京）函数（）的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；当时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C．6．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，由复合函数的单调性可知：的单调递减区间为函数的单调递减区间，又函数，即函数为偶函数，结合图象，如图所示，可知函数的单调递减区间为和，即的单调递减区间为和．故选：C．7．（23-24江西鹰潭·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，因为在定义域上单调递减，要使函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减，所以，解得，所以的取值范围为.故选：C8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，则，所以为奇函数．又，则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的，所以图象的对称中心为，所以．因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，则在上单调递增，因为，所以，所以，解得，故满足的的取值范围为．故选：B多选题9．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（

）A． B． C． D．2【答案】BC【解析】当时，函数单调递减，，解得当时，函数单调递增，，解得．故选：BC．10．（23-24高一上·湖北宜昌·期中）已知函数是常数，且在区间上有最大值3，最小值，则的可能取值是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】令，因为，可得，当时，可得，所以，因为函数在区间上有最大值，最小值，可得，解得；当时，可得，所以，因为函数在区间上有最大值，最小值，可得，解得，综上可得，或.故选:AD.11（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（

）A．函数的定义域为RB．函数的值域为C．函数在上单调递增D．【答案】ABD【解析】令，则．对于选项A，的定义域为，故A正确；对于选项B，因为，的值域为，所以函数的值域为,故B正确；对于选项C，因为在上单调递增，且在上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C不正确；对于选项D，由于函数在上单调递减，则，故D正确．故选:ABD．填空题12．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是.【答案】【解析】若，则，不满足题意；若，则，当，即时，的值域为，满足题意.故答案为：.13．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是．【答案】【解析】因为，所以；因为，所以；所以，故答案为：.14．（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是．【答案】【解析】指数函数过点，则函数过点，若图像不经过第二象限，则，即．故答案为