第十章 突破2 概率与统计的综合

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布突破2概率与统计的综合学生用书P250命题点1

概率与统计图表综合例1[2022新高考卷Ⅱ]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者

的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表).

例1训练1例2训练2例3训练3(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率.[解析]

(2)该地区一位这种疾病患者的年龄位于

区间[20，70)的概率

P

＝(0.012＋0.017×2＋0.023

＋0.020)×10＝0.89.(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1％，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该

地区总人口的16％.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人

患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于

该区间的概率，精确到0.0001).例1训练1例2训练2例3训练3[解析]

(3)设从该地区任选一人，年龄位于区间

[40，50)为事件

A

，患这种疾病为事件

B

，则

P

(

A

)＝16％＝0.16，

P

(

B

)＝0.001，由频率分布直方图知这种疾病患者年龄位于区间

[40，50)的概率为0.023×10＝0.23，即

P

(

A

｜

B

)＝0.23，所以

P

(

AB

)＝

P

(

B

)

P

(

A

｜

B

)＝0.001×0.23＝0.00023，

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧此类问题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决此类问题的关

键.在弄清统计图表的含义的基础上要掌握好样本的数字特征、各类概率及随机变量

的分布列、均值与方差的求解方法.例1训练1例2训练2例3训练3训练1[2023重庆市模拟]某校随机抽取100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得

到学生每天学习时间(单位：h)的频率分布直方图如下.若被抽取的这100名学生中，

每天学习时间不低于8h的有30人.(1)求频率分布直方图中实数

a

，

b

的值；[解析]

(1)由(

b

＋0.22)×0.5×100＝30，得

b

＝0.38.∵0.5×(0.14＋

a

＋0.42＋0.58＋0.38＋0.22)＝1，∴

a

＝0.26.例1训练1例2训练2例3训练3

(2)每天学习时间在[6.0，6.5)的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽取2人进

行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；例1训练1例2训练2例3训练3(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在[6.0，6.5)和[7.0，7.5)的学生中按比例分

层随机抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时

间在[6.0，6.5)的人数的分布列和数学期望.

例1训练1例2训练2例3训练3

X012P

例1训练1例2训练2例3训练3命题点2

概率与回归分析综合例2[2023湖北荆荆宜三校联考]近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省

市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四

所大学2022年毕业生人数及自主创业人数(单位：千人)，得到下表：A大学B大学C大学D大学2022年毕业生人数x/千人3456自主创业人数y/千人0.10.20.40.5

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.(i)若该市

E

大学2022年毕业生人数为7千人，根据(1)的结论估计该市政府要给

E

大学

选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额；

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧概率与回归分析综合问题的解题思路(1)充分利用题目中提供的成对样本数据(散点图)作出判断，确定是线性问题还是非

线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的

目的.(2)明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型解题.例1训练1例2训练2例3训练3训练2某校课题小组为了研究粮食产量与化肥施用量以及与化肥有效利用率间的关

系，收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据做了初步处理，得

到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为

x

(单位：千克)，

粮食亩产量为

y

(单位：百千克).例1训练1例2训练2例3训练365091.552.51478.630.5151546.5表中

ti

＝lnxi

，

zi

＝lnyi

(

i

＝1，2，…，10).(1)根据散点图，判断

y

＝

cxd

作为粮食亩产量

y

关于每亩化肥施用量

x

的经验回归方

程类型比较适宜.请根据表中数据，建立

y

关于

x

的经验回归方程，并预测每亩化肥

施用量为27千克时，粮食亩产量

y

的值.(预测时取e≈2.7)例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)结合文献可知，当化肥施用量达到一定程度，粮食产量的增长将趋于停滞，已知

某化肥有效利用率

Z

～

N

(0.54，0.022)，那么这种化肥的有效利用率超过56％的概率

为多少？

例1训练1例2训练2例3训练3命题点3

概率与独立性检验综合例3[2023全国卷甲]一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随

机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高

浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重

的增加量(单位：g).(1)设

X

表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求

X

的分布列和数学期望.例1训练1例2训练2例3训练3.[解析]

(1)

X

的所有可能取值为0，1，2，

所以

X

的分布列为X012P

[解析]

(1)

X

的所有可能取值为0，1，2，X012P

例1训练1例2训练2例3训练3(2)试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2

18.8

20.2

21.3

22.5

23.2

25.826.5

27.5

30.1

32.6

34.3

34.8

35.635.6

35.8

36.2

37.3

40.5

43.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.823.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5例1训练1例2训练2例3训练3(i)求40只小白鼠体重的增加量的中位数

m

，再分别统计两样本中小于

m

与不小于

m

的数据的个数，完成如下列联表：＜m≥m对照组试验组

列联表如下：＜m≥m对照组614试验组146＜m≥m对照组614试验组146例1训练1例2训练2例3训练3

所以有95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有

差异.

P(K2≥k)0.100

0.050

0.010k2.706

3.841

6.635例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧概率与独立性检验综合问题的解题思路(1)收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得

X

2的值后进行比较并判断；(2)按照随机变量满足的概率模型求解.例1训练1例2训练2例3训练3训练3[2022新高考卷Ⅰ]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生

习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查

了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，

得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

1.[命题点1]某科技公司开发出一款生态环保产品.已知该环保产品每售出1件预计利

润为0.4万元，当月未售出的环保产品，每件亏损0.2万元.根据市场调研，该环保产

品的市场月需求量

x

(单位：件)在[155，205]内取值，将月需求量区间平均分成5

组，以各组区间的中点值代表该组的月需求量，得到如图所示的频率分布折线图.123

(1)请根据频率分布折线图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值及方差；

123(2)设市场月需求量为

M

件，由题意知，

M

的所有可能值为160，170，180，190，

200，则

M

的分布列为M160170180190200P0.050.20.40.30.05(2)以频率分布折线图的频率估计概率，若该公司计划环保产品的月产量

n

∈[180，

190]，

n

∈N*(单位：件)，求月利润

Y

(单位：万元)的数学期望的最大值.

123当180≤

n

≤190，

n

∈N*时，若市场月需求量为160，则

Y

＝96－0.2

n

；若市场月需求量为170，则

Y

＝102－0.2

n

；若市场月需求量为180，则

Y

＝108－0.2

n

；若市场月需求量为190或200，则

Y

＝0.4

n

.故

E

(

Y

)＝(96－0.2

n

)×0.05＋(102－0.2

n

)×0.2＋(108－0.2

n

)×0.4＋0.4

n

×0.35＝

68.4＋0.01

n

.又

n

∈[180，190]，故当

n

＝190时，月利润

Y

的数学期望取得最大值，为70.3万元.1232.[命题点2/多选/2023沈阳市三检]下列命题中正确的是(

ABD

)A.已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50％分位数是7.5B.已知随机变量X～N(2，σ2)，且P(X＞3)＝0.3，则P(1＜X＜2)＝0.2ABD123

1233.[命题点3/2024平许济洛第一次质检]“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民

俗活动，为国家级非物质文化遗产之一.每年农历正月十三为书会正日，届时来自各

地的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、琴书等曲种应有

尽有，规模壮观.为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统

计，得到如下列联表：单位：人不喜爱喜爱合计男性90120女性25合计200123(1)完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，判断人们对该活动的喜

爱程度是否与性别有关联.[解析]

(1)补全的2×2列联表如下：单位：人不喜爱喜爱合计男性3090120女性255580合计55145200

123

①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；

123②设随机变量

X

表示戏迷乙正确完成题的个数，求

X

的分布列及数学期望.

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828123

X234P

123

学生用书·作业帮P3981.第31届世界大学生夏季运动会(简称“成都大运会”)于2023年7月28日在四川成都

开幕，这是中国西部第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良

好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学

生，他们的答题得分(满分100分)的频率分布直方图如图所示(分组区间为[50，60)，

[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]).123456(2)若从样本中任选2名得分在[50，70)内的学生，求这2人中恰有1人的得分在[60，

70)内的概率.

(2)由已知可得得分在[50，60)内的学生人数为0.01×10×20＝2，得分在[60，70)内

的学生人数为0.02×10×20＝4.(1)求频率分布直方图中

a

的值及这20名学生得分的80％分位数；123456

1234562.在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复

习方法的效果，在

A

，

B

两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试.已知

A

校

采用大单元复习教学法，

B

校采用传统的复习教学法.在经历两个月的实践后举行了

考试，现从

A

，

B

两校高三年级各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩(满分

150分)在各个分数段对应的人数如下表所示：[0，90)[90，110)[110，130)[130，150]A校6145030B校14263822123456(1)若把数学成绩不低于110分评定为数学成绩优秀，低于110分评定为数学成绩不优

秀，完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析复习教学法与评

定结果是否有关；单位：人数学成绩不优秀数学成绩优秀总计A校B校总计123456[解析]

(1)由题意完成2×2列联表如下：单位：人数学成绩不优秀数学成绩优秀总计A校2080100B校4060100总计60140200

123456(2)在

A

校抽取的100名学生中按分层随机抽样的方法从成绩在[0，90)和[90，110)内

的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩

在[0，90)内的人数为

X

，求

X

的分布列与数学期望.

α0.100.010.001xα2.7066.63510.828123456

X0123P

1234563.[2024广西玉林模拟]2023年5月10日，长征七号遥七运载火箭剑指苍穹，搭载天舟

六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇

宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，神舟十六号发射成功.在“神箭”“神舟”

的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期5个月

的太空科研之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间

站发展的消息6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现

从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如下表所示：123456单位：人航天达人非航天达人合计男8040120女305080合计11090200123456(1)依据小概率值α＝0.01的

X

2独立性检验，能否认为是否为“航天达人”与性别有

关联？

123456(2)①从随机抽取的这200名学生中采用分层随机抽样的方法抽取20人，再从这20人

中随机抽取3人.记事件

A

＝“至少有2名是男生”，事件

B

＝“至少有2名既是‘航天

达人’又是男生”，事件

C

＝“至多有1名既是‘航天达人’又是女生”.试计算

P

(

A

)·

P(

B

｜

A

)

P

(

C

｜

AB

)和

P

(

ABC

)的值，并比较它们的大小.②由①中

P

(

ABC

)与

P

(

A

)

P

(

B

｜

A

)

P

(

C

｜

AB

)的大小关系能否推广到更一般的情

形？请写出结论，并说明理由.

α0.100.050.01xα2.7063.8416.635123456

123456

1234564.[2023河南驻马店6月模拟]2023年是充满挑战的一年，为应对复杂的经济形势，各

地出台了促进经济发展的各项政策，并取得了较好的效果.某市零售行业为促进消

费，开展了新一轮的让利促销活动，活动之初，利用各种媒体进行了大量的广告宣

传，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场(分

别编号为1，2，3，…，6)，得到其宣传费用

x

(单位：万元)和销售额

y

(单位：万元)

的数据如下：123456x/万元2356812y/万元303440455060123456(1)求

y

关于

x

的经验回归方程，并预测当宣传费用至少多少万元时(结果取整数)，销

售额能突破100万元.

123456(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比值，在这次促销活动中，设销售额与投

入的宣传费用的比值为λ，若λ＞10，称这次宣传策划是高效的；否则为非高效的.从

这6家卖场中随机抽取3家.①若抽取的3家中含有宣传策划高