第七章 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章立体几何与空间向量第2讲空间点、直线、平面之间的位置关系

课标要求命题点五年考情命题分析预测借助长方体，在直观

认识空间点、直线、

平面的位置关系的基

础上，抽象出空间

点、直线、平面的位

置关系的定义，了解

4个基本事实和定理.平面的基

本性质及

应用2020新高考卷

ⅠT16；2020全国卷

ⅡT16；2020全国卷

ⅢT19该讲是立体几何的基础，

主要以客观题的形式出

现，考查平面的基本性质

及应用(如作截面)，线线

位置关系的判定等，难度

中等.在2025年高考备考中

要侧重对基本性质的理解

和应用.空间直

线、平面

间的位置

关系2023上海春季T15；

2021新高考卷

ⅡT10；2019全国卷

ⅢT8

1.平面的基本性质(1)三个基本事实基本事实1过①

的三个点，有且只有一个平面.基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3如果两个不重合的平面②

⁠，那么它们有且只有

③

过该点的公共直线.不在一条直线上

有一个公共点

一条

(2)三个推论利用基本事实1和基本事实2，结合“两点确定一条直线”可得到以下推论.推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条④

直线，有且只有一个平面.推论3经过两条⑤

直线，有且只有一个平面.相交

平行

3.空间中直线、平面间的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交

a∩α＝A1个平行

a∥α0个在平面内

a⊂α⑥

⁠个平面与平面平行

α∥β⑦

⁠个相交

α∩β＝l无数个无数

0

说明

分别在两个平行平面内的直线平行或异面.

1.如图，α∩β＝

l

，

A

，

B

∈α，

C

∈β，且

C

∉

l

，直线

AB

∩

l

＝

M

，过

A

，

B

，

C

三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(

D

)A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点MD1232.[多选]以下说法正确的是(

CD

)A.若一条直线上有两个点到一个平面距离相等，则这条直线与该平面平行B.若一个平面上有三个点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行C.若三条直线a，b，c两两平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面D.不共面的四点中，任意三点都不共线[解析]对于A，直线也可能在平面内或与平面相交；对于B，两平面也可能相交；

易知C，D正确.CD1233.[多选]如图是一个正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是

(

CD

)A.AF与CN平行B.BM与AN是异面直线C.AF与BM是异面直线D.BN与DE是异面直线CD123[解析]

把正方体的平面展开图还原，如图，由正方体的结构特征可知，

AF

与

CN

是异面直线，故A错误；

BM

与

AN

平行，故B错误；

BM

⊂平面

BCMF

，

F

∈平面

BCMF

，

A

∉平面

BCMF

，

F

∉

BM

，故

AF

与

BM

是异

面直线，故C正确；

DE

⊂平面

ADNE

，

N

∈平面

ADNE

，

B

∉平面

ADNE

，

N

∉

DE

，故

BN

与

DE

是异面

直线，故D正确.123

命题点1

平面的基本性质及应用例1

已知在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分别为

D

1

C

1，

C

1

B

1的中点，

AC

∩

BD

＝

P

，

A

1

C

1∩

EF

＝

Q

.

求证：(1)

D

，

B

，

F

，

E

四点共面.[解析]

如图所示，连接

B

1

D

1.由题意知

EF

是△

D

1

B

1

C

1的中位线，所以

EF

∥

B

1

D

1.在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

B

1

D

1∥

BD

，所以

EF

∥

BD

，所以

EF

，

BD

确定一个平面，即

D

，

B

，

F

，

E

四点共面.例1训练1例2训练2[解析]

记

A

1，

C

，

C

1三点确定的平面为平面α，平面

BDEF

为平面β.因为

Q

∈

A

1

C

1，所以

Q

∈α.又

Q

∈

EF

，所以

Q

∈β，所以

Q

是α与β的公共点.同理，

P

是α与β的公共点，所以α∩β＝

PQ

.

又

A

1

C

∩β＝

R

，所以

R

∈

A

1

C

，

R

∈α，且

R

∈β，则

R

∈

PQ

，故

P

，

Q

，

R

三点共线.[解析]

因为

EF

∥

BD

且

EF

＜

BD

，所以

DE

与

BF

相交，设交点为

M

，则由

M

∈

DE

，

DE

⊂平面

D

1

DCC

1，得

M

∈平面

D

1

DCC

1，同理，

M

∈平面

B

1

BCC

1.又平面

D

1

DCC

1∩平面

B

1

BCC

1＝

CC

1，所以

M

∈

CC

1.所以

DE

，

BF

，

CC

1三线交于一点.(3)

DE

，

BF

，

CC

1三线交于一点.(2)若

A

1

C

交平面

DBFE

于点

R

，则

P

，

Q

，

R

三点共线.例1训练1例2训练2方法技巧1.证明点共线问题的常用方法基本事实法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根

据基本事实3证明这些点都在交线上.纳入直线法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.2.证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3.证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.辅助平面法先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，

最后证明平面α，β重合.例1训练1例2训练2训练1

如图，已知正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分别是棱

CC

1，

AA

1的中点.(1)画出平面

BED

1

F

与平面

ABCD

的交线，并说明理由.例1训练1例2训练2[解析]如图1所示，直线

PB

为平面

BED

1

F

与平面

ABCD

的交线，理由如下：图1在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，因为

DA

⊂平面

AA

1

D

1

D

，

D

1

F

⊂平面

AA

1

D

1

D

，且

DA

与

D

1

F

不平行，所以在平面

AA

1

D

1

D

内分别延长

D

1

F

，

DA

，则

D

1

F

与

DA

必相交于一点，不妨设

为点

P

，所以

P

∈

AD

，

P

∈

D

1

F

.

图1因为

DA

⊂平面

ABCD

，

D

1

F

⊂平面

BED

1

F

，所以

P

∈平面

ABCD

，

P

∈平面

BED

1

F

，即

P

为平面

ABCD

和平面

BED

1

F

的公共点.连接

PB

，又

B

为平面

ABCD

和平面

BED

1

F

的公共点，所以直线

PB

为平面

BED

1

F

与平面

ABCD

的交线.例1训练1例2训练2[解析]

如图2所示，连接

BD

1，

BD

，

B

1

D

1，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，图2因为

BB

1∥

DD

1，且

BB

1＝

DD

1，所以四边形

BB

1

D

1

D

为平行四边形.因为

H

为直线

B

1

D

与平面

BED

1

F

的交点，所以

H

∈

B

1

D

，又

B

1

D

⊂平面

BB

1

D

1

D

，所以

H

∈平面

BB

1

D

1

D

，又

H

∈平面

BED

1

F

，平面

BED

1

F

∩平面

BB

1

D

1

D

＝

BD1，图2所以

H

∈

BD

1，所以

B

，

H

，

D

1三点共线.(2)设

H

为直线

B

1

D

与平面

BED

1

F

的交点，求证：

B

，

H

，

D

1三点共线.例1训练1例2训练2命题点2

空间直线、平面间的位置关系例2

(1)[2023上海春季高考]如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

P

是

A

1

C

1上的

动点，则下列直线中，始终与直线

BP

异面的是(

B

)A.DD1B.ACC.AD1D.B1CB例1训练1例2训练2[解析]对于A，如图1，当点

P

为

A

1

C

1的中点时，连接

B

1

D

1，

BD

，则

P

在

B

1

D

1

上，

BP

⊂平面

BDD

1

B

1，又

DD

1⊂平面

BDD

1

B

1，所以

BP

与

DD

1共面，故A错误；图1图1例1训练1例2训练2对于B，如图2，连接

AC

，易知

AC

⊂平面

ACC

1

A

1，

BP

⊄平面

ACC

1

A

1，且

BP

∩

平面

ACC

1

A

1＝

P

，

P

不在

AC

上，所以

BP

与

AC

为异面直线，故B正确；当点

P

与

点

C

1重合时，连接

AD

1，

B

1

C

(图略)，由正方体的性质，易知

BP

∥

AD

1，

BP

与

B

1

C

相交，故C，D错误.故选B.图2图2例1训练1例2训练2(2)[2023高三名校联考(一)]设α是空间中的一个平面，

l

，

m

，

n

是三条不同的直

线，则下列说法正确的是(

B

)A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB.若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αC.若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD.若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥mB例1训练1例2训练2[解析]

A选项，若

m

⊂α，

n

⊂α，

l

⊥

m

，

l

⊥

n

，则

l

与α相交、平行或

l

⊂α，如图

1，

m

∥

n

，且满足

m

⊂α，

n

⊂α，

l

⊥

m

，

l

⊥

n

，但此时

l

与α斜交，故A错误；B选

项，因为

l

∥

m

，

m

∥

n

，所以

l

∥

n

，因为

l

⊥α，所以

n

⊥α，故B正确；C选项，

因为

m

⊥α，

n

⊥α，所以

m

∥

n

，因为

l

∥

m

，所以

l

∥

n

，故C错误；D选项，若

m⊂α，

n

⊥α，

l

⊥

n

，则

l

与

m

相交、平行或异面，如图2，满足

m

⊂α，

n

⊥α，

l

⊥

n

，但此时

l

与

m

异面，故D错误.故选B.图1

图2例1训练1例2训练2方法技巧1.判断空间直线、平面间的位置关系时，注意对平面的基本性质及有关定理的应用.2.判断空间直线、平面间位置关系的命题的真假时，常借助几何模型(长方体、正方

体)或实物(墙角、桌面等).3.注意反证法在判断空间两直线位置关系时的应用.例1训练1例2训练2训练2

若直线

l

1和

l

2是异面直线，

l

1在平面α内，

l

2在平面β内，

l

是平面α与平面β的

交线，则下列命题正确的是(

D

)A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条直线相交D.l至少与l1，l2中的一条直线相交D例1训练1例2训练2解法二(模型法)如图1，

l

1与

l

2是异面直线，

l

1与

l

平行，

l

2与

l

相交，故A，B不正

确；如图2，

l

1与

l

2是异面直线，

l

1，

l

2都与

l

相交，故C不正确.[解析]

解法一(反证法)若

l

∥

l

1，

l

∥

l

2，则

l

1∥

l

2，这与

l

1，

l

2是异面直线矛盾.

故

l

至少与

l

1，

l

2中的一条直线相交.例1训练1例2训练2

1.[命题点1]到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(

C

)A.1B.4C.7D.8C12[解析]当空间四点

A

，

B

，

C

，

D

不共面时，则四点构成一个三棱锥.当平面一侧

有一个点，另一侧有三个点时，如图1，当平面过

AD

，

BD

，

CD

的中点时，满足

条件.因为三棱锥有4个面，则此时满足条件的平面有4个.图1图112当平面一侧有两个点，另一侧有两个点时，如图2，当平面过

AB

，

BD

，

CD

，

AC

的中点时，满足条件.因为三棱锥的相对棱有3对，则此时满足条件的平面有3个.所

以满足条件的平面共有7个.故选C.图2图2122.[命题点2/多选]已知

G

，

N

，

M

，

H

分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则

下列表示直线

GH

，

MN

是异面直线的图形是(

BD

)A

B

C

D[解析]

A中，直线

GH

∥

MN

；B中，

G

，

H

，

N

三点共面，但

M

∉平面

GHN

，因

此直线

GH

与

MN

异面；C中，连接

MG

，

GM

∥

HN

，因此

GH

与

MN

共面；D中，

G

，

M

，

N

三点共面，但

H

∉平面

GMN

，因此

GH

与

MN

异面.BD12

1.[2024广东省深圳市第二高级中学模拟]已知平面α，β，γ两两垂直，直线

a

，

b

，

c

满足

a

⊂α，

b

⊂β，

c

⊂γ，则直线

a

，

b

，

c

不可能满足以下哪种关系(

B

)A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面B12345678[解析]如图1，可得

a

，

b

，

c

可能两两垂直；如图2，可得

a

，

b

，

c

可能两两相

交；如图3，可得

a

，

b

，

c

可能两两异面.故选B.图1

图2

图3123456782.[2024河南焦作模拟]已知

m

，

n

为异面直线，

m

⊥平面α，

n

⊥平面β.若直线

l

满足

l

⊥

m

，

l

⊥

n

，

l

⊄α，

l

⊄β，则(

B

)A.α∥β，l∥αB.α与β相交，且交线平行于lC.α⊥β，l⊥βD.α与β相交，且交线垂直于lB12345678[解析]若α∥β，则由

m

⊥平面α，

n

⊥平面β，可得

m

∥

n

，这与

m

，

n

是异面直线

矛盾，故α与β相交.设α∩β＝

a

，过空间内一点

P

，作m'∥

m

，n'∥

n

，m'与n'相交，设m'与n'确定的平面为γ.因为

l

⊥

m

，

l

⊥

n

，所以

l

⊥m'，

l

⊥n'，故

l

⊥γ，因为

m

⊥α，

n

⊥β，所以m'⊥α，n'⊥β，所以

a

⊥m'，

a

⊥n'，所以

a

⊥γ，又因为

l

⊄α，

l

⊄β，所以

l

与

a

不重合，所以

l

∥

a

.故选B.123456783.[多选/2024贵州省遵义市南白中学联考]已知

a

，

b

是两条不重合直线，α，β是两

个不重合平面，则下列说法正确的是(

BC

)A.若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B.若a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线C.若α∥β，a⊂α，则a∥βD.若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交BC12345678[解析]选项正误原因A✕若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面.B√若a∥b，b⊂α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行.C√若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a⊂α，所以a∥β.D✕若α∩β＝b，a⊂α，则当a∥b时，a∥β.123456784.[多选/2023广东省广州市模拟]已知直线

l

与平面α相交于点

P

，则下列结论正确的

是(

ABD

)A.α内不存在直线与l平行B.α内有无数条直线与l垂直C.α内所有直线与l是异面直线D.至少存在一个过l且与α垂直的平面ABD12345678[解析]直线

l

与平面α相交于点

P

，故α内不存在直线与

l

平行，A正确.若

l

⊥α，则α

内的所有直线都与

l

垂直；若

l

与α不垂直，设与

l

在平面α内的射影垂直的直线为

n

，则平面α内与

n

平行的直线都与

l

垂直，有无数条，B正确.平面α内过点

P

的直线

与

l

相交，C错误.若

l

⊥α，则过

l

的任一平面都与α垂直；若

l

与α不垂直，取

l

上异于

点

P

的一点

Q

，过

Q

作

QM

⊥平面α于点

M

，则平面

PQM

⊥α，D正确.故选ABD.123456785.[多选/2023高三名校模拟]下列关于点、线、面的位置关系的命题中不正确的是

(

ABC

)A.若两个平面有三个公共点，则它们一定重合B.空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内C.两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b是异面直线D.正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，

则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面ABC12345678[解析]如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

A

，

D

，

E

三个点在一条直线

上，平面

ABCD

与平面

ADD

1

A

1相交，不重合，故A不正确；从点

A

出发的三条棱

AA

1，

AB

，

AD

不在同一平面内，故B不正确；若

a

∥

b

，则

a

，

b

确定一个平面，

且

a

，

b

分别与直线

c

，

d

的交点都在此平面内，则

c

，

d

共面，与

c

，

d

是异面直线

矛盾，所以直线

a

，

b

可能是异面直线，也可能是相交直线(

c

，

d

中的一条直线过

a

，

b

的交点)，故C不正确；如图，平面

AA

1

C

∩平面

AB

1

D

1＝

AO

，因为直线

A

1

C

交平面

AB

1

D

1于点

M

，所以

M

∈

AO

，即

A

，

M

，

O

三点共线，因为直线和直线外

一点可以确定一个平面，所以

A

，

O

，

C

，

M

四点共面，故D正确.故选ABC.12345678

6.如图，点

N

为正方形

ABCD

的中心，△

ECD

为正三角形，平面

ECD

⊥平面

ABCD

，

M

是线段

ED

的中点，则(

B

)A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线B12345678

123456787.[多选/2024云南昆明高三校考]如图，在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

，

G

，

H

分别是棱

CC

1，

BC

，

CD

，

B

1

C

1的中点，则下列结论正确的是(

AC

)A.AF∥平面A1DEB.AG∥平面A1DEC.A1，D，E