第六章 第5讲 解三角形应用举例

第六章平面向量、复数第5讲解三角形应用举例

课标要求命题点五年考情命题分析预测能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.余弦定理、正弦定理应用举例2021全国卷乙T9；2021全国卷甲T8

本讲知识单一，主要考查利用正、余弦定理求解距离、高度、角度问题，对数学建模能力的要求较高，一般以选择题形式出现，难度中等.在2025年高考的备考中要提升阅读理解能力，要能够从文字信息中提取出解三角形的模型.

测量中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在竖直平面内的目标视线与水平视线所成的角

中，目标视线在水平视线①

⁠的叫做仰

角，目标视线在水平视线②

⁠的叫做俯

角.

上方下方术语名称术语意义图形表示方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0≤θ＜2π.

术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α.

北偏东α南偏西α坡角与坡度坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角.坡面的垂

直高度h和水平宽度l的比叫坡度.

1.如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取

A

，

B

两点(

A

，

B

与树所在的直线

在同一平面内)，从

A

，

B

两点测得树尖

P

的仰角分别为30°和45°，且

A

，

B

两点之

间的距离为60m，则树的高度为(

A

)

A

1232.[易错题]两座灯塔

A

和

B

与海岸观察站

C

的距离相等，灯塔

A

在观察站北偏东

40°，灯塔

B

在观察站南偏东60°，则灯塔

A

在灯塔

B

的(

B

)A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°[解析]灯塔

A

，

B

的相对位置如图所示，由已知得∠

ACB

＝80°，∠

CAB

＝∠

CBA

＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°，故选B.B123

A123

命题点

余弦定理、正弦定理应用举例角度1

距离问题例1

[2023合肥市二检]如图，某地需要经过一座山两侧的

D

，

E

两点修建一条穿山隧

道.工程人员先选取直线

DE

上的三点

A

，

B

，

C

，在隧道

DE

正上方的山顶

P

处测得

A

处的俯角为15°，

B

处的俯角为45°，

C

处的俯角为30°，且测得

AB

＝1.4km，

BD

＝0.2km，

CE

＝0.5km，则拟修建的隧道

DE

的长为

⁠.0.7km

例1例2例3训练

例1例2例3训练

BA.346B.373C.446D.473例1例2例3训练

例1例2例3训练角度3

角度问题例3

如图所示，位于

A

处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的

B

处有一艘渔船

遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的

C

处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线

CB

前往

B

处救援，则cosθ＝

⁠.

例1例2例3训练

例1例2例3训练方法技巧1.解三角形实际问题的一般求解步骤(1)分析.理解题意，分析已知与未知，画出示意图.(2)建模.根据已知条件与求解目标，把已知量与所求量尽量集中在相关的三角形中，

建立一个解三角形的模型.(3)求解.利用正、余弦定理解三角形，求得数学模型的解.(4)检验.检验上述所求出的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.2.对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一类是竖直放置的平面，通常

要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形.例1例2例3训练

A.30mB.35mC.40mD.45mC例1例2例3训练

例1例2例3训练

A.AD＝24海里B.CD＝12海里C.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D.∠CDA＝60°ABD例1例2例3训练

例1例2例3训练

36

12

12

122.[角度2]如图，为测量山高

MN

，选择

A

和另一座山的山顶

C

为测量观测点，从点

A

测得点

M

的仰角∠

MAN

＝60°，点

C

的仰角∠

CAB

＝45°以及∠

MAC

＝75°；从点

C

测得∠

MCA

＝60°，已知山高

BC

＝100m，则山高

MN

＝

⁠m.150

12

12

1.

[2024黑龙江省实验中学开学考试]中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运

城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名遐迩.如图，某同

学为测量鹳雀楼的高度

MN

，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物

AB

，高约为37

m，在地面上点

C

处(

B

，

C

，

N

三点共线)测得建筑物顶部

A

，鹳雀楼顶部

M

的仰角

分别为30°和45°，在

A

处测得鹳雀楼顶部

M

的仰角为15°，则鹳雀楼的高度

MN

约为

(

B

)

BA.64mB.74mC.52mD.91m12345678

12345678

A.∠BCD，∠BDCB.∠ACD，∠ADCC.∠BCD，∠ACDD.∠BCD，∠ADCABD12345678[解析]对于A，根据

CD

，∠

BCD

，∠

BDC

，可解三角形求得

CB

，从而在Rt△

ABC

中求得

AB

，所以A符合题意.对于B，根据

CD

，∠

ACD

，∠

ADC

，可解三角形求得

AC

，从而在Rt△

ABC

中求

得

AB

，所以B符合题意.对于C，根据

CD

，∠

ACB

，∠

BCD

，∠

ACD

四个条件，无法通过解三角形求得

AB

，所以C不符合题意.对于D，第一步，∠

ACB

已知，在Rt△

ABC

中，用

AB

表示出

BC

，

AC

；第二步，

在△

BCD

中，根据余弦定理用

AB

表示出

BD

，在△

ACD

中，根据正弦定理用

AB

表

示出

AD

；第三步，在Rt△

ABD

中，利用勾股定理列方程，即可求得

AB

.

所以D符

合题意.12345678

12345678

12345678

12345678(2)如果有游客想直接从小岛

A

出发到小岛

C

，求游船航行的方向.

12345678

5.[2023贵州诊断]镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型

中，已知人眼距离地面高度

h

＝1.5m，某建筑物高

h

1＝4.5m，将镜子(平面镜)置于

平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离

a

1＝

1.2m，将镜子后移

am，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离

a

2＝3.2m，则

a

＝(

A

)A.6B.5C.4D.3A12345678[解析]如图，设建筑物最高点为

A

，建筑物底部为

O

，第一次观察时镜面位置为

B

，第一次观察时人眼睛位置为

C

，第二次观察时镜面位置为

D

，设

O

到

B

之间的

距离为

a

0m，

123456786.[背景创新]1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的

什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长(即视角最大，视角是指由物体两端引出的两条

光线在眼球内交叉而成的角)？这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以

悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方

根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十

分广泛.某人观察一座山顶上的铁塔，塔高90m，山高160m，此人站在对塔“最大

视角”(忽略人身高)的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为

(

B

)B12345678

123456787.[2024青岛市检测]海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保

留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示某蓝洞口边缘

A

，

B

两点间的距离，现

在珊瑚群岛上取两点

C

，

D

，测得

CD

＝8海里，∠

ADB

＝135°，∠

BDC

＝∠

DCA

＝15°，∠

ACB

＝120°，则

A

，

B

两点间的距离为

海里.

12345678

123456788.[2024北京市密云二中月考]某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两

个相距12km的观测站

A

和

B

，观测人员分别在

A

，

B

处观测该动物种群.如图，某

一时刻，该动物种群出现在点

C

处，观测人员从两个观测站分别测得∠

B