第八章 第5讲 椭圆

第八章平面解析几何第5讲椭圆

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.掌握椭圆的定

义、标准方程及

简单几何性质.椭圆的

定义及

其应用2023全国卷甲T7；2023全国

卷甲T12；2021新高考卷

ⅠT5；2021全国卷甲T15；

2020新高考卷ⅠT9该讲是高考命题的热

点，主要体现：(1)以

定义作为命题思路求

解椭圆的标准方程、

离心率等；课标要求命题点五年考情命题分析预测2.了解椭

圆的简单

应用.椭圆的

标准方

程2023全国卷乙T20；2022全国卷甲T11；

2022全国卷乙T20；2021新高考卷

ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020新高考

卷ⅡT21；2020全国卷ⅠT20；2020全国卷

ⅡT19；2020全国卷ⅢT20；2019全国卷

ⅠT10；2019全国卷ⅡT21(2)以特殊的几何图

形为命题背景，求

解三角形的面积，

弦长等.题型既有小

题也有大题，难度

中等偏上.课标要求命题点五年考情命题分析预测3.体会数

形结合的

思想.椭圆的

几何性

质2023新高考卷ⅠT5；2022新高考卷

ⅠT16；2022全国卷乙T20；2022全国

卷甲T10；2021全国卷

乙T11；2020

全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅢT15在2025年高考的备考

中，应关注椭圆的定

义和几何性质在解题

中的应用.

1.椭圆的定义和标准方程(1)定义平面内与两个定点

F

1，

F

2的距离的和等于①

(大于｜

F

1

F

2｜)的点的轨迹

叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的②

，两焦点间的距离叫做椭圆的③

⁠

⁠.集合语言：

P

＝{

M

｜｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝2

a

，2

a

＞｜

F

1

F

2｜}，｜

F

1

F

2｜＝2

c

，其中

a

＞

c

＞0，且

a

，

c

为常数.注意

若2

a

＝｜

F

1

F

2｜，则动点的轨迹是线段

F

1

F

2；若2

a

＜｜

F

1

F

2｜，则动点

的轨迹不存在.常数

焦点

焦距(2)标准方程

a.中心在坐标原点，焦点在

x

轴上的椭圆的标准方程为④

(

a

＞

b

＞

0)；b.中心在坐标原点，焦点在

y

轴上的椭圆的标准方程为⑤

(

a

＞

b

＞0).

思维拓展椭圆的第二定义、第三定义

椭圆的第三定义：{

P

｜

kPA

·

kPB

＝

e

2－1，0＜

e

＜1，其中

kPA

，

kPB

分别表示点

P

与

两定点

A

，

B

连线的斜率，

e

为离心率}.注意

椭圆的第三定义中的两个定点(椭圆的顶点)在

x

轴上，且利用椭圆第三定义

得出的轨迹方程不包括这两个定点.2.椭圆的几何性质标准方程图形

标准方程几

何

性

质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：⑥

.对称中心：⑦

⁠焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，

－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b，0)，B2(b，0)轴线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为

⑧

，短轴长为⑨

⁠焦距｜F1F2｜＝2c离心率a，b，c的关系⑪

⁠2a

2b

(0，1)

a2＝b2＋c2

x轴、y轴

原点

常用结论1.椭圆的焦点三角形以椭圆上的点

P

(

x

0，

y

0)与两焦点

F

1，

F

2为顶点的△

PF

1

F

2叫做焦点三角形.如图所示，设∠

F

1

PF

2＝θ.

1.(1)的推导过程：在焦点三角形

PF

1

F

2中，由余弦定理可得｜

F

1

F

2｜2＝｜

PF

1｜2

＋｜

PF

2｜2－2｜

PF

1｜｜

PF

2｜cosθ，

又函数

y

＝cos

x

在(0，π)上单调递减，∴当

P

为短轴的端点时，θ最大.

C123456

A.a2＝2b2B.3a2＝4b2C.a＝2bD.3a＝4b

B1234563.[多选]下列说法正确的是(

CD

)A.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆C.关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆CD1234564.[易错题]平面内一点

M

到两定点

F

1(－6，0)，

F

2(6，0)的距离之和等于12，则点

M

的轨迹是

⁠.[解析]由题意知｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝12，但｜

F

1

F

2｜＝12，即｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝｜

F

1

F

2｜，所以点

M

的轨迹是线段

F

1

F

2.线段

F

1

F

2

123456

[解析]当焦点在

x

轴上时，10－

m

＞

m

－2＞0，10－

m

－(

m

－2)＝4，∴

m

＝4.当

焦点在

y

轴上时，

m

－2＞10－

m

＞0，

m

－2－(10－

m

)＝4，∴

m

＝8.4或8

1234566.已知椭圆的一个焦点为

F

(6，0)，且

B

1，

B

2是短轴的两个端点，△

FB

1

B

2是等边

三角形，则这个椭圆的标准方程是

⁠.

123456

命题点1

椭圆的定义及其应用

A.1B.2C.4D.5

B训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

A.13B.12C.9D.6

C训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4(3)动圆

M

与圆

M

1：(

x

＋1)2＋

y

2＝1外切，与圆

M

2：(

x

－1)2＋

y

2＝25内切，则动

圆圆心

M

的轨迹是

⁠.[解析]设圆

M

的半径为

R

.

因为圆

M

与圆

M

1外切，与圆

M

2内切，所以｜

MM

1｜

＝1＋

R

，｜

MM

2｜＝5－

R

，所以｜

MM

1｜＋｜

MM

2｜＝1＋

R

＋5－

R

＝6＞｜

M

1

M

2｜＝2，所以

M

的轨迹是椭圆.椭圆

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4方法技巧1.椭圆定义的主要应用(1)确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为椭圆；(2)解决与焦点有关的距离或范

围问题.2.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义以及余弦定理.训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

B训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

A.3[解析]设椭圆的右焦点为

F

2(1，0)，则｜

AF

2｜＝1，｜

PA

｜＋｜

PF

｜＝｜

PA

｜

＋4－｜

PF

2｜＝4＋｜

PA

｜－｜

PF

2｜.又｜｜

PA

｜－｜

PF

2｜｜≤｜

AF

2｜＝1，

所以－1≤｜

PA

｜－｜

PF

2｜≤1，所以｜

PA

｜＋｜

PF

｜的最小值为3(此时点

P

是

射线

F

2

A

与椭圆的交点).A训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4(3)已知△

ABC

的周长为20，且顶点

B

(0，－4)，

C

(0，4)，则顶点

A

的轨迹方程

是

⁠.

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4命题点2

椭圆的标准方程例2

(1)[2023南京模拟]已知椭圆的两个焦点分别为

F

1(0，2)，

F

2(0，－2)，

P

为椭圆

上任意一点，若｜

F

1

F

2｜是｜

PF

1｜，｜

PF

2｜的等差中项，则此椭圆的标准方程

为(

D

)

D训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

B训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4方法技巧求椭圆标准方程的两种方法1.定义法先根据椭圆的定义确定

a

，

b

，

c

的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程.2.待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出

a

，

b

的值；若焦

点位置不明确，则需要分焦点在

x

轴上和

y

轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为

mx

2＋

ny

2＝1(

m

＞0，

n

＞0，

m

≠

n

)，用待定系数法求出

m

，

n

的值.训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

B训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4命题点3

椭圆的几何性质角度1

离心率

A训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

A

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

C训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4方法技巧1.求椭圆离心率的方法

(3)构造关于

a

，

c

的齐次式求离心率.可以不求出

a

，

c

的具体值，而是得出

a

与

c

的

关系，从而求得

e

.注意

将余弦定理与椭圆的定义结合列方程，是常见的构造关于

a

，

b

，

c

的齐次

式的方法.2.求椭圆离心率范围时，要注意对几何图形的临界情况的应用.训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

B训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4(2)已知

F

1，

F

2是椭圆

C

的两个焦点，

P

是

C

上的一点.若

PF

1⊥

PF

2，且∠

PF

2

F

1

＝60°，则

C

的离心率为(

D

)

D训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

D.2A训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

A.(0，1]∪[9，＋∞)C.(0，1]∪[4，＋∞)A训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路(1)代数法，设坐标，利用坐标构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值

或范围；(2)几何法，通过数形结合、几何意义等结合椭圆性质求解.训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

A.3B.4C.5D.6A训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

训练2例1训练1例2训练3例3训练4例4

1.[命题点1，2]已知△

ABC

中，

A

为动点，

B

(－2，0)，

C

(2，0)且满足sin

C

＋sin

B

＝2sin

A

，则点

A

的轨迹方程为

⁠.

12345

B.｜PA｜＋｜PF2｜＜5D.｜PA｜＋｜PF1｜＞1AD12345

12345

12345

12345

12345

12345

1)12345

12345

12345

D.(2，6]C12345

将

x

轴下方半平面沿着

x

轴翻折，使之与

x

轴上方半平面所成的角为直角，如

图所示，12345

12345

A.4B.8C.4或8D.12[解析]当椭圆的焦点在

x

轴上时，10－

m

＞

m

－2＞0，且10－

m

－(

m

－2)＝4，

∴

m

＝4.当椭圆的焦点在

y

轴上时，

m

－2＞10－

m

＞0，且

m

－2－(10－

m

)＝4，∴

m

＝8.∴

m

＝4或8.C12345678910111213141516171819

C123456789101112131415161718193.[2024陕西检测]已知两定点

F1(－1，0)，

F2(1，0)和一动点

P

，若｜F

1

F

2｜是｜

PF

1｜与｜

PF

2｜的等差中项，则动点

P

的轨迹方程为(

B

)

B12345678910111213141516171819

B12345678910111213141516171819

A12345678910111213141516171819

A12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

B123456789101112131415161718198.[多选/2023福州5月质检]已知椭圆

C

：

px

2＋

qy

2＝

r

，且

p

，

q

，

r

依次成公比为2

的等比数列，则(

BC

)A.C的长轴长为2D.C与圆(x－3)2＋y2＝1有2个公共点BC12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

[解析]因为

P

，

Q

为

C

上关于坐标原点对称的两点，且｜

PQ

｜＝｜

F

1

F

2｜，所

以四边形

PF

1

QF

2为矩形.8

解法一设｜

PF

1｜＝

m

，｜

PF

2｜＝

n

，则

m

＋

n

＝8，

m

2＋

n

2＝｜

F

1

F

2｜2＝

48，所以(

m

＋

n

)2＝

m

2＋2

mn

＋

n

2＝48＋2

mn

＝64，可得

mn

＝8，即四边形

PF

1

QF

2的面积等于8.

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

12345678910111213141516171819

(1)若△

POF

2为等边三角形，求

C

的离心率；

12345678910111213141516171819

即

c

｜

y

｜＝16

①，

x

2＋

y

2＝

c

2

②，

(2)如果存在点

P

，使得

PF

1⊥

PF

2，且△

F

1

PF

2的面积等于1