第58讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

第十单元

排列、组合与二项式定理、概率第58讲

分类加法计数原理与分步乘法计数原理课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.◆

知识聚焦

◆分类加法计数原理与分步乘法计数原理内容区别与联系分类加法计数原理区别:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才能完成.#b#联系：复杂问题中，需要两个计数原理综合应用.某一类中可能需要再分步，某一步中有可能需要再分类分步乘法计数原理

◆

对点演练

◆题组一

常识题

120

2.［教材改编］

音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，从中任选一首歌曲进行播放，有____种不同的选法.21

3.［教材改编］

5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有____种.若没有任何限制，每位同学随意报名，则不同的报名方法共有_______种.321024

题组二

常错题◆

索引：对“完成一件事”的含义理解不准确；计数时有重复或遗漏，不知道何时该分类，何时该分步，不区分元素是否可重复使用.4.书架的第1层放有6本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有4本不同的外语书.从书架中任取1本书，共有____种不同的取法；从书架中的第1，2，3层各取1本书，共有______种不同的取法.15120

5.我们把中间数位上的数字最大，而两边减小的多位数称为“凸数”，如132，341等，那么由1，2，3，4，5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是____.20

6.（1）

有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有____种不同的送法；60

（2）

有5种不同的书（每种不少于3本），从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有______种不同的送法.125

例1（1）

[2023·安徽马鞍山三模]

据史书的记载，最晚在春秋末年，人们已经掌握了完备的十进位制记数法，普遍使用了算筹这种先进的计算工具.算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横式，以此类推，遇零则置空.如图所示：探究点一

分类加法计数原理如：10记为&1&

，26记为&2&

，71记为&3&

.现有4根算筹，则可表示的两位数的个数为(

)

CA.8

B.9

C.10

D.12

［思路点拨］（1）由题意，分为4类：十位1根，个位3根；十位2根，个位2根；十位3根，个位1根；十位4根，个位0根.根据分类加法计数原理求解.（2）

[2023·浙江乐清模拟]

一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形的个数为___.8［思路点拨］（2）利用圆的对称性，将等边三角形分两类：相邻2个点和圆心构成的等边三角形、相间隔的3个点构成的等边三角形.根据分类加法计数原理即可求出结果.

①②[总结反思]（1）分类加法计数原理的实质:完成一件事的各类方法相互独立,每类中的各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.（2）使用分类加法计数原理遵循的原则:有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则.

AA.10

B.12

C.20

D.35

（2）

有编号分别为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲、乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法的种数为(

)

BA.10

B.14

C.16

D.12

探究点二

分步乘法计数原理

CA.24

B.36

C.72

D.81

［思路点拨］（1）根据题意，先排男生再排女生，由分步乘法计数原理可得答案.（2）

[2024·湖南永州一中月考]

某校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生分成两个小组去两地参加志愿者活动，每个小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有(

)

CA.20种

B.4种

C.60种

D.80种［思路点拨］（2）先安排男生，再安排女生，在安排女生时，利用间接法分析运算，根据分步乘法计数原理，即可求解.

[总结反思]（1）分步乘法计数原理的实质：完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,缺少其中的任何一步都不能完成这件事,只有当每个步骤都完成后,才能完成这件事.（2）使用分步乘法计数原理应注意的问题:①明确题目中所要完成的这件事是什么,确定完成这件事需要几个步骤.②将完成这件事划分成几个步骤来执行,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,这件事才能完成,这是分步的基础,也是关键.变式题（1）

书写汉字时，笔顺对书写的速度和字形的美观有非常关键的影响.为了满足课堂教学的需要，我们制定了一套现代汉语通用字的笔顺规范，但在进行书法创作时，笔顺则更加灵活多变，比如“必”字有五笔：左点、上点、右点、撇、卧钩.若要求第一笔不写卧钩，且最后一笔写右点，则“必”字不同的笔顺有(

)

BA.12种

B.18种

C.24种

D.30种

（2）

用红、黄、蓝三种颜色给下图着色，要求有公共边的两块区域不同色.在所有着色方案中，①③⑤着相同颜色的方案有(

)

BA.96种

B.24种

C.48种

D.12种

探究点三

两个计数原理的综合例3（1）

若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选三个数字，组成没有重复数字的三位数，则这样的三位偶数一共有(

)

CA.20个

B.48个

C.52个

D.120个［思路点拨］（1）由于0不能为百位数字，故分2种情况讨论：0在个位和0不在个位，再由分类加法计数原理计算可得答案.

（2）

某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则不同的种植方法有(

)

CA.120种

B.360种

C.420种

D.480种［思路点拨］（2）利用分类加法计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.

[总结反思]（1）复杂问题中,两个计数原理可以综合应用:可以先分类,在各类中再分步,或先分步,到某一步时按需要再分类处理.（2）涂色问题一般综合利用两个计数原理求解,但也有两种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,用分类加法计数原理分析.

CA.180个

B.300个

C.468个

D.564个

现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有(

)

CA.1050种

B.1260种

C.1302种

D.1512种

教师备用习题【备选理由】例1考查分类加法计数原理;例2考查分步乘法计数原理;例3考查综合应用两个计数原理解决问题.难点是根据题意明确两个计数原理的适用条件,即何时分类,何时分步,何时分类、分步综合应用.例1

［配例1使用］

一个楼梯共有11级台阶，甲同学正好站在第11级台阶上，现在他每步可迈1级、2级或3级台阶，甲从第11级台阶走到第6级台阶（只能从上往下走），不同的走法共有(

)

CA.11种

B.12种

C.13种

D.14种

例2

［配例2使用］

[2023·泰安肥城模拟]

整数3528有____个不同的正因数.36

例3

［配例3使用］

[2023·大连育明高级中学一模]

汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用5种不同的颜色对这四个直角三角形和一个正方形区域涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有(

)

DA.180种

B.192种

C.300种

D.420种

作业手册◆

基础热身

◆1.三名同学分别从英语和日语中选修一门外语课程，则不同的选法种数为(

)

C

123456789101112131415162.有5本不同的语文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，从中任取一本，不同的取法有(

)

BA.3种

B.12种C.60种

D.以上答案均不正确

123456789101112131415163.为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有(

)

BA.48种

B.36种

C.24种

D.12种

12345678910111213141516

DA.43

680

B.14

800

C.2880

D.576

12345678910111213141516

8

123456789101112131415166.用1，5，9，13中任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可构造____个不同的分数，可构造____个不同的真分数.1610

12345678910111213141516◆

综合提升

◆7.现有壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆和伍拾圆的人民币各1张，用它们可以组成的不同币值的种数为(

)

AA.31

B.32

C.63

D.64

123456789101112131415168.一个盒子里有4个分别标有号码1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号的最大值是4的取法有(

)

CA.17种

B.27种

C.37种

D.47种

12345678910111213141516

CA.6

B.12

C.24

D.3012345678910111213141516

12345678910111213141516

DA.27

B.24

C.18

D.1612345678910111213141516

12345678910111213141516

AA.96种

B.84种

C.72种

D.12种

1234567891011121314151612.（多选题）有4位同学报名参加3个不同的社团,则下列说法正确的是(

)

AC

1234567891011121314151613.（多选题）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是(

)

BCA.可组成360个不重复的四位数B.可组成156个不重复的四位偶数C.可组成96个能被3整除的不重复的四位数D.若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个四位数为231012345678910111213141516

1234567891011121314