第32讲 平面向量的综合问题

第五单元

平面向量与复数第32讲

平面向量的综合问题课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.◆

知识聚焦

◆1.用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”（1）建立平面几何与向量的联系，用_______表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为____________；向量向量问题（2）通过____________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；向量运算（3）把运算结果“翻译”成几何关系.2.三角形

“四心”的概念与性质（1）重心——三角形的三条中线的交点.（2）垂心——三角形的三条垂线的交点.（3）内心——三角形的三个内角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）.（4）外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）.

3.向量在物理中的应用（1）向量有着丰富的物理背景,如物理学中的力、速度、加速度都是既有大小又有方向的量.力的做功是向量数量积的物理背景;向量加法的三角形和平行四边形法则与位移的合成、力的合成、速度的合成有着密切的联系.（2）用向量法解决物理问题的一般步骤:①问题的转化:把物理问题转化成数学问题.②模型的建立:建立以向量为主体的数学模型.③参数的获取:求出数学模型的相关解.④问题的答案:利用建立起来的数学模型,解释和回答相关的物理现象.常用结论

2.平面向量与平面几何综合的有关结论

◆

对点演练

◆题组一

常识题

5

题组二

常错题◆

索引：不理解各心的概念致误.

重

外心

探究点一

平面向量与三角形的“四心”

BA.重心，外心，内心

B.重心，外心，垂心C.外心，重心，内心

D.外心，重心，垂心

［思路点拨］（1）由三角形“四心”的性质即可判断出答案.

CA.垂心

B.外心

C.内心

D.重心

C

探究点二

平面向量基本定理与数量积综合问题

B

A

（2）建立坐标系，引入坐标运算，即把数量积通过坐标运算转化为含有参数的目标函数，进而求得最值.（3）基底表示，即把所求数量积的向量分别用已知“基底向量”来表示，进而转化为“基底向量”的数量积.（4）通过几何意义，利用数形结合的思想求得最值或范围.

D

探究点三

平面向量数量积与构图

D

[总结反思]条件中的向量运算结果如果可构成特殊的几何图形（如直线或圆等）,且所求向量问题与几何图形中的某条线段或角相关,可考虑利用几何意义处理.

A

教师备用习题【备选理由】例1考查三角形垂心、外心的判断与性质，考查平面向量的内积运算，考查学生的运算能力以及化归转化能力；例2考查平面向量基本定理、内积的运算等基础知识，考查学生转化化归能力以及发现问题解决具体问题的能力；例3考查平面向量的模、内积运算、数形转化等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力.

ACD

D

C

作业手册◆

基础热身

◆

DA.矩形

B.等腰梯形

C.正方形

D.菱形

12345678910111213141516

D

12345678910111213141516

B

12345678910111213141516

12345678910111213141516

C

12345678910111213141516

ABD

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516◆

综合提升

◆

CA.14

B.15

C.16

D.1712345678910111213141516

12345678910111213141516

D

12345678910111213141516

D

12345678910111213141516

ACD

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

2012345678910111213141516

12345678910111213141516

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能力拓展

◆

ACD

12345678910111213141516

123456789101112