随机过程：平稳随机过程

随机过程第二章随机过程的基本概念本章学习的主要内容★随机过程的概念和定义★随机过程的统计特性分析★平稳随机过程★各态历经过程★随机过程的联合分布与互相关函数★随机过程的功率谱密度2.3平稳随机过程★平稳随机过程的特点★平稳随机过程的定义★平稳随机过程相关函数的特性★平稳随机过程的相关系数和相关时间★其他平稳随机过程的概念2.4各态历经随机过程★各态历经过程的概念和定义★各态历经性条件本堂课的作业★第100页习题2.312.322.332.3.1平稳随机过程的特点★平稳随机过程的特点

在无线电技术中，平稳随机过程是最常见的，因而也是最重要的一类随机过程。它的主要特点是：其统计特性不随时间的平移而变化，它的初始时间可以任意选择，其统计特性与时间起点的选择无关。也就是说，平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。2.3.1平稳随机过程的特点★平稳随机过程的特点（续）

严格地说，现实存在的所有信号（过程）都是非平稳的。一般说来，如果产生某一随机过程的主要物理条件在时间进程中不改变时，则此过程便可认为是平稳的，因为平稳随机过程的分析要容易得多。例如噪声发生器在接上电源后，当温度和其它物理条件未达到稳定状态时，输出噪声是非平稳的，达到稳定状态后，则可认为是平稳的。2.3.2平稳随机过程的定义★狭义平稳随机过程的定义如果随机过程X(t)的任意n维概率密度在时间上平移任意△t后，此函数不变，则称X(t)为狭义平稳随机过程。即有

fX(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)=fX(x1,x2,…,xn;t1+

△t,t2+

△t,…,tn

+

△t)狭义平稳随机过程的任意维概率密度与时间起点无关，即X(t)与X(t+

△t)有相同的统计特性。2.3.2平稳随机过程的定义★狭义平稳随机过程的定义（续）由定义可知，狭义平稳随机过程的一维概率密度与时间无关，即有fX(x,t)=fX(x,t+

△t)=fX(x,0)=fX(x)由此可以求得X(t)的数学期望和方差都是与时间无关的常数，即有2.3.2平稳随机过程的定义★狭义平稳随机过程的定义（续）同理，狭义平稳随机过程的二维概率密度仅与时间间隔τ=t1－t2有关，即有

fX(x1,x2;t1,t2)=fX(x1,x2;

τ)由此可以求得X(t)的相关函数也只是τ的函数，即2.3.2平稳随机过程的定义★广义平稳随机过程的定义如果随机过程X(t)的数学期望为一常数，其相关函数仅与时间间隔τ=t1－t2有关，即有

E[X(t)]=mXRX(t1,t2)=RX(t1-t2)=RX(τ)则称X(t)为广义平稳随机过程。显然，狭义平稳平稳随机过程必定是广义平稳的，而广义平稳的随机过程则未必是狭义平稳的。2.3.2平稳随机过程的定义★广义平稳随机过程的定义（续）由于在许多工程技术问题中，常常仅在相关理论（即只限于研究随机过程一、二阶矩的理论）的范围内讨论平稳随机过程，因此划分出广义平稳随机过程来。而相关理论之所以重要，是因为在工程技术中，它能给出有关平稳过程的平均功率的几个主要指标。例如：如果随机过程X(t)代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给出直流分量、交流分量、平均功率及功率在频域上的分布等。在许多工程技术问题中，大都只研究广义平稳过程。以后除特别声明外，凡是提到平稳性，都指的是广义平稳。2.3.2平稳随机过程的定义★平稳随机过程的例题[例2.3.1]设随机过程X(t)=umsin(ω0t+Φ)，其中um和ω0皆为常数，Φ为在[0,2π]上均匀分布的随机变量。试证X(t)为一平稳随机过程。[证明]X(t)的数学期望为2.3.2平稳随机过程的定义★平稳随机过程的例题（续）

X(t)的相关函数为可见，X(t)的数学期望为0，相关函数仅与τ有关，故X(t)为平稳随机过程。2.3.2平稳随机过程的定义★平稳随机过程的例题（续）[例2.3.2]设随机过程X(t)=At，A为在[0,1]上均匀分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？[解]X(t)的数学期望为2.3.2平稳随机过程的定义★平稳随机过程的例题（续）

X(t)的相关函数为可见X(t)不是平稳随机过程。2.3.2平稳随机过程的定义★平稳随机过程的例题（续）[例2.3.3]设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，－∞<t<∞，其中X，Y为相互独立的随机变量，并分别以概率2/3、1/3取值-1和2。试证Z(t)为广义平稳随机过程，而非狭义平稳随机过程。2.3.2平稳随机过程的定义★平稳随机过程的例题（续）[解]因为可见，Z(t)是广义平稳随机过程。2.3.2平稳随机过程的定义★平稳随机过程的例题（续）又因为即Z(t)的三阶矩就与时间t有关，故Z(t)不是狭义平稳随机过程。2.3.2平稳随机过程的定义★平稳随机过程的例题（续）[例2.3.4]设随机过程X(t)=X(k)

，k=…-2，-1,0,1,2…，X(k)为相互独立且具有相同分布的随机变量序列，已知E[X(k)]=0，E[X2

(k)]=σ2X。试证X(t)既是广义平稳随机过程，又是狭义平稳随机过程。2.3.3平稳随机过程相关函数的的特性★平稳随机过程相关函数的主要特性1、RX(τ)为偶函数，即RX(τ)＝RX(－τ)由于平稳随机过程的相关函数与计时起点无关，因而有：

RX(τ)＝E[X(t)X(t－τ)]＝E[X(t－τ)X(t)]＝RX(－τ)2.3.3平稳随机过程相关函数的的特性★平稳随机过程相关函数的主要特性（续）2、RX(τ)在τ=0时有最大值，即RX(0)≥|RX(τ)|因为任何正函数的统计均值恒为非负值，于是有：

E{[X(t)±X(t－τ)]2}≥0

或者E{X2(t)±2X(t)X(t－τ)＋X2(t－τ)}≥0由于X(t)为平稳过程，所以上式中的

E[X2(t)]=E[X2(t－τ)]=RX(0)代入上式中，即有2RX(0)±2RX(τ)≥0或者表示为RX(0)≥|RX(τ)|2.3.3平稳随机过程相关函数的的特性★平稳随机过程相关函数的主要特性（续）3、对于非周期的平稳随机过程，当τ→∞时，RX(τ)的极限等于其数学期望的平方，即从物理意义上可以想象到，当τ增大时，X(t)与X(t+τ)之间的相关性便要减弱。在τ→∞的极限情况下，二者变为互相独立的随机变量，于是

2.3.3平稳随机过程相关函数的的特性★平稳随机过程相关函数的主要特性（续）4、如果平稳随机过程中含有周期分量，那么相关函数中也含有周期分量。例如：随机过程X(t)=Acos(ωt+Φ)+N(t)，其中A和ω是常数，Φ在（0,2）上均匀分布，N(t)是与Φ统计独立的平稳随机过程，则

RX(τ)＝A2cosωτ/2＋RN(τ)2.3.3平稳随机过程相关函数的的特性★平稳随机过程相关函数的主要特性（续）5、当τ＝0时，RX(τ)等于方差和数学期望平方之和，即：因为：或者：2.3.3平稳随机过程相关函数的的特性★平稳随机过程相关函数的主要特性（续）6、平稳随机过程的相关函数具有非负定性，即对于任意n个复数a1,a2,…,an以及任意n个实数t1,t2,…,tn，皆有不等式式中的＊号代表取复共轭。2.3.3平稳随机过程相关函数的的特性★利用平稳随机过程相关函数特性的例题[例2.2.5]设有平稳随机电报过程X(t)，对于任何瞬时t，只有“1”和“0”两个值，出现的概率皆为1/2。

X(t)从“1”到“0”或从“0”到“1”变换的时刻是随机的，在任一给定时间段内，变换的次数k的概率服从泊松分布，即式中λ为单位时间内变换的平均数目。试求X(t)的数学期望和相关函数。2.3.4平稳随机过程的相关系数和相关时间★平稳随机过程的相关系数为便于比较随机过程相关函数的特性，还经常引用相关系数的概念。相关系数是对协方差函数进行归一化的结果，即有时也叫归一化的相关函数或标准协方差函数。显然有γ(0)=1和|γX(τ)|≤1。2.3.4平稳随机过程的相关系数和相关时间★平稳随机过程的相关时间对于平稳随机过程，当τ→∞时，γX(τ)＝γX(∞)＝0。这说明，当τ→∞时，X(t)和X(t-τ)之间是互不相关的。实际上，当τ大到一定程度时，γX(τ)就已经很小了，可以认为这时X(t)和X(t-τ)已不相关。因此，在工程技术中通常定出一时间τ0，当τ＞τ0时，可以认为X(t)和X(t-τ)实际上已不相关，该时间τ0叫做相关时间。2.3.4平稳随机过程的相关系数和相关时间★平稳随机过程的相关时间（续）在工程上常取|γX(τ0)|≤0.05。

相关时间τ0小，意味着相关系数γX(τ)随τ的增大而迅速减小，这说明随机过程随时间而激烈变化；反之，相关时间τ0大，则说明随机过程随时间变化缓慢。2.3.5其他平稳的概念★k阶严平稳随机过程★渐进平稳随机过程★循环平稳随机过程2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的概念

随机过程是大量样本函数的集合。要得到随机过程的统计特性，就需要观测大量的样本函数并进行统计。显然，其试验工作量很大，处理方法也很复杂，因而促使人们思索着去寻求较为简单的方法。2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的概念（续）根据平稳随机过程的统计特性与时间起点无关这一特点，设想如果一个样本函数在足够长的时间内经历了该随机过程的各种可能状态，那么就有可能从一个样本函数中提取随机过程的全部信息，即任何一个样本函数的特性就可代表整个随机过程的特性。这就是各态历经性假说。2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的概念（续）经证明，平稳随机过程在具备一定的补充条件下，于足够长的时间对其一个样本函数取得的时间平均依概率意义趋近于该过程的统计平均（集合平均）。这样的随机过程称为具有各态历经性的过程。2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的概念（续）例如：在稳定状态下工作的一个噪声源，在较长时间T内观测它的噪声电压。将T均分为N等分，分别测出每个等分时刻点上的电压值，得到N个数据。只要等分时间间隔足够小，N值足够大，则这N个数据的算术平均值近似等于电压的时间均值。又设有N个相同的噪声源，工作在相同的条件下，任选某一固定时刻，测出N个电压数据并求出其统计均值。这样，在概率意义上看，前次取得的时间均值应与后次取得的统计均值相等。用同样方法求得的时间相关函数也在概率意义下近似地等于集合相关函数。2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的定义

1、时间均值和时间相关函数设随机过程X(t)，定义它的时间均值为(2.4.1)时间相关函数为(2.4.2)2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的定义（续)

2、如果下式

MXT=E[X(t)]=mX

(2.4.3)

依概率1成立，则称X(t)的均值具有各态历经性。2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的定义（续)

3、如果下式

RXT(τ)=E[X(t)X(t-τ)]=RX(τ)

(2.4.4)

依概率1成立，则称X(t)的相关函数具有各态历经性。2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的定义（续)

4、如果随机过程X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性，则称随机过程X(t)为各态历经过程，或称随机过程X(t)具有各态历经性。2.4.1各态历经过程的概念和定义★各态历经过程的物理意义

一般说来，时间平均是随机变量，但对于各态历经的随机过程而言，时间平均趋于一个常数，这就表明，各态历经随机过程的各个样本函数的时间平均可以认为是相同的，因此随机过程的均值可以用它的一个样本函数的时间均值来代替。同样，相关函数亦可以用一个样本函数的时间相关函数来代替。也就是说，各态历经随机过程的一个样本函数经历了随机过程所有可能的状态。这一性质，在实际应用中是很有用的，因为我们可以通过对一个样本函数的观测，就可以估计出该随机信号的均值、方差和相关函数。2.4.2各态历经性条件★各态历经过程必