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文档简介
解题帮快速破解规范解答大题规范1函数与导数
函数与导数解答题,难度较大,从其在2023年新高考卷Ⅰ中的位置来看,
难度有所下降,说明难度定位更灵活.从近几年的命题情况来看,常涉及的背景函数有:指数函数、对数函数、分式函
数、三次函数、三角函数.涉及的命题点有:求切线方程,判断单调性,求单调区
间、极值、最值、参数范围,零点问题,证明不等式问题,不等式恒成立问题等.常
涉及的数学思想有:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归
思想等.解题时,无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问题,一般需要先求出函数的
导数,然后通过导数研究函数的单调性来求解,因此掌握导数与函数的单调性的关
系尤为重要.求解过程中,注意内容书写的规范性和完整性.
(2)思路一
思路二
(1)因为
f
(
x
)=
a
(e
x
+
a
)-
x
,所以f'(
x
)=
a
e
x
-1,
(1分)
正确求导是关键.当
a
≤0时,f'(
x
)<0,所以函数
f
(
x
)在(-∞,+∞)上单调递减;
(2分)
注意单调区间的范围.当
a
>0时,令f'(
x
)<0,得
x
<-lna
,令f'(
x
)>0,得
x
>-lna
,所以函数
f
(
x
)在(-∞,-lna
)上单调递减,在(-lna
,+∞)上单调递增.
(4分)
有一处不等式解错,但单调性判断对,这一步只给1分.综上可得:当
a
≤0时,函数
f
(
x
)在(-∞,+∞)上单调递减;当
a
>0时,函数
f
(
x
)在(-∞,-lna
)上单调递减,在(-lna
,+∞)上单调递增.
(5分)
下结论不可少,否则,就会失去结论分.(2)解法一(最值法)由(1)得,当
a
>0时,函数
f
(
x
)=
a
(e
x
+
a
)-
x
的最小值为
f
(-lna
)=
a
(e-lna
+
a
)+lna
=1+
a
2+lna
,
(6分)
第(1)问中没有别的条件,其结论可以在第(2)问中合理使用.
解法二(分析法)当
a
>0时,由(1)得,
f
(
x
)min=
f
(-lna
)=1+
a
2+lna
,
(6分)
第(1)问没有别的条件,其结论可以在第(2)问中合理利用.
构造函数
u
(
a
)=lna
-(
a
-1)(
a
>0),
所以函数
u
(
a
)在(1,+∞)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以
u
(
a
)≤
u
(1)=0,即lna
≤
a
-1,
(9分)
根据函数
u
(
a
)的单调性,可得出
u
(
a
)的最大值.
函数与导数问题的答题策略1.定义域优先.在利用导数讨论函数的单调性时,要先确定函数的定义域,求单调区
间必须在定义域内进行.2.正确运用公式与法则.熟练利用基本初等函数的求导公式与法则,正确求导是解题
的关键.注意对复合函数求导法则的运用.3.分类讨论做到不重不漏.分类讨论是难点,需明晰分类的标准,要做到合理分类,
不重不漏.4.会构造函数.正确构造函数,利用导数判断新构造函数的单调性,利用函数的性质
求解.5.会转化.会把不等式问题转化为函数的最值问题,会分离参数或用分析法转化,简
化后求解.
[12分]已知函数
f
(
x
)=
x
2-
a
(lnx
-
a
).
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