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文档简介

解题帮快速破解规范解答大题规范1函数与导数

函数与导数解答题,难度较大,从其在2023年新高考卷Ⅰ中的位置来看,

难度有所下降,说明难度定位更灵活.从近几年的命题情况来看,常涉及的背景函数有:指数函数、对数函数、分式函

数、三次函数、三角函数.涉及的命题点有:求切线方程,判断单调性,求单调区

间、极值、最值、参数范围,零点问题,证明不等式问题,不等式恒成立问题等.常

涉及的数学思想有:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归

思想等.解题时,无论是单调性、极值、最值问题还是不等式问题,一般需要先求出函数的

导数,然后通过导数研究函数的单调性来求解,因此掌握导数与函数的单调性的关

系尤为重要.求解过程中,注意内容书写的规范性和完整性.

(2)思路一

思路二

(1)因为

f

(

x

)=

a

(e

x

a

)-

x

,所以f'(

x

)=

a

e

x

-1,

(1分)

正确求导是关键.当

a

≤0时,f'(

x

)<0,所以函数

f

(

x

)在(-∞,+∞)上单调递减;

(2分)

注意单调区间的范围.当

a

>0时,令f'(

x

)<0,得

x

<-lna

,令f'(

x

)>0,得

x

>-lna

,所以函数

f

(

x

)在(-∞,-lna

)上单调递减,在(-lna

,+∞)上单调递增.

(4分)

有一处不等式解错,但单调性判断对,这一步只给1分.综上可得:当

a

≤0时,函数

f

(

x

)在(-∞,+∞)上单调递减;当

a

>0时,函数

f

(

x

)在(-∞,-lna

)上单调递减,在(-lna

,+∞)上单调递增.

(5分)

下结论不可少,否则,就会失去结论分.(2)解法一(最值法)由(1)得,当

a

>0时,函数

f

(

x

)=

a

(e

x

a

)-

x

的最小值为

f

(-lna

)=

a

(e-lna

a

)+lna

=1+

a

2+lna

(6分)

第(1)问中没有别的条件,其结论可以在第(2)问中合理使用.

解法二(分析法)当

a

>0时,由(1)得,

f

(

x

)min=

f

(-lna

)=1+

a

2+lna

(6分)

第(1)问没有别的条件,其结论可以在第(2)问中合理利用.

构造函数

u

(

a

)=lna

-(

a

-1)(

a

>0),

所以函数

u

(

a

)在(1,+∞)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以

u

(

a

)≤

u

(1)=0,即lna

a

-1,

(9分)

根据函数

u

(

a

)的单调性,可得出

u

(

a

)的最大值.

函数与导数问题的答题策略1.定义域优先.在利用导数讨论函数的单调性时,要先确定函数的定义域,求单调区

间必须在定义域内进行.2.正确运用公式与法则.熟练利用基本初等函数的求导公式与法则,正确求导是解题

的关键.注意对复合函数求导法则的运用.3.分类讨论做到不重不漏.分类讨论是难点,需明晰分类的标准,要做到合理分类,

不重不漏.4.会构造函数.正确构造函数,利用导数判断新构造函数的单调性,利用函数的性质

求解.5.会转化.会把不等式问题转化为函数的最值问题,会分离参数或用分析法转化,简

化后求解.

[12分]已知函数

f

(

x

)=

x

2-

a

(lnx

a

).

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