备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题08 数列（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（新高考专用）含答案

备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题08数列（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（新高考专用）含答案专题08数列易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：(，为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：．（2）前项和公式：．（3）等差数列与函数的关系=1\*GB3①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．=2\*GB3②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.已知数列是等差数列，是其前项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：．（2）若，则．（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．（4）若是等差数列，则也是等差数列．2、等差数列前项和的性质（1）；（2）；（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.（4）数列，，，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为，则，；（2）若项数为，则，，，.最值问题：解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.例．已知等差数列的前n项和为，且，，求取得最大值时对应的n值.变式1．数列是等差数列，，．(1)从第几项开始有？(2)求此数列的前项和的最大值．变式2．记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的最小值．变式3．等差数列，，公差．(1)求通项公式和前项和公式；(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（

）A．20 B．17 C．19 D．212．已知等差数列的前n项和为，，且，则取得最小值时n的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（

）A．15 B．750 C． D．4．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．40435．设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论正确的是（

）.A． B．C． D．与均为的最大值6．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．设的前项和为，则时，的最大值为277．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（

）A．是为等差数列的充要条件B．可能为等比数列C．若，，则为递增数列D．若，则中，，最大8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．有最大值9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当时， D．当或4时，取得最大值10．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为．11．记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝．易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。数学语言表达式：(，为非零常数)．2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：.（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.已知是等比数列，是数列的前项和．（等比中项）1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）若，则有口诀：角标和相等，项的积也相等推广：（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。易错提醒：若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。例．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20变式1．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则(

)A． B． C． D．变式2．已知，如果，，，，成等比数列，那么（

）A．， B．，C．， D．，变式3．已知等比数列中，，，则（

）A． B． C．或 D．1．已知等差数列的前项和为，公差不为0，若满足、、成等比数列，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．不存在2．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（

）A．1 B．2 C．81 D．803．已知，，则使得成等比数列的充要条件的值为（

）A．1 B． C．5 D．4．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则错误的是（

）A． B． C． D．5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（

）A．4 B．8 C．32 D．646．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为（

）A． B． C．或 D．或77．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（

）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要8．在数列中，，，则（

）．A． B．C． D．9．已知是等差数列，公差，前项和为，若，，成等比数列，则A．， B．， C．， D．，10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（

）A．， B．， C．， D．，11．已知数列是等差数列，，其中公差，若是和的等比中项，则（

）A．398 B．388C．189 D．199易错点三：忽略等比数列求和时对的讨论（等比数列求和）等比数列前项和的性质（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；（2）对，有；（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论..例．设等比数列的前n项和为.已知，，则.变式1．记为等比数列的前n项和，若，，则．变式2．在等比数列中，，，令，求数列的前n项和．变式3．数列前项和满足，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列前项和．1．已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．162．已知正项等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．3．已知，，（，），为其前项和，则（

）A． B． C． D．4．在等比数列中，，，则（

）A．的公比为4 B．的前20项和为170C．的前10项积为 D．的前n项和为5．已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为.6．已知等比数列的前n项和为，，且－3，，成等差数列，则数列的通项．7．设为等比数列的前项和，若，，则8．已知正项等比数列的前项和为，若，且，则．9．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则．10．数列的前n项和为，且，，则满足的最小的自然数n的值为．11．在正项等比数列中，已知，，则公比．易错点四：由求时忽略对“”的检验（求通项公式）类型1观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型2公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．类型3累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．类型4累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型5构造数列法：（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．类型6对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．类型7倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．类型8形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式易错提醒：在数列问题中，数列的通项与其前n项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验.例．已知数列和，其中的前项和为，且，.(1)分别求出数列和的通项公式；(2)记，求证：.变式1．数列的前n项和，已知，，k为常数.(1)求常数k和数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，证明：变式2．设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.变式3．已知数列的前项和为，且（）.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.1．已知数列的前项和为，且.(1)当时，求；(2)若为等比数列，求的值.2．已知数列的前项和为，且与的等差中项为.(1)求数列的通项公式.(2)设，求数列的前项和.3．已知数列的前n项和为，且，.(1)求；(2)记，求数列的前n项和.4．已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.(1)求的通项公式；(2)当时，设数列的前项和为，证明：.5．在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．6．已知数列的前项和是，且.(1)证明：是等比数列.(2)求数列的前项和.7．已知首项为4的数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．8．设数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．9．设各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．(1)求出数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求时，n的最小值．10．已知为数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，，求数列的前项和．11．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．易错点五：裂项求和留项出错（数列求和）常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则积累裂项模型6：阶乘（1）（2）常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。例．已知数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)设，证明：.变式1．记为数列的前n项和，满足，.(1)求的通项公式；(2)证明：.变式2．已知首项为1的数列，其前项利为，且数列是公差为1的等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．变式3．已知数列为非零数列，且满足.(1)求及数列的通项公式；(2)若数列的前项和为，且满足，证明：.1．已知是数列的前项和，，且成等比数列．(1)求数列的通项公式．(2)设，数列的前项和为，证明：．2．已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.(1)求的通项公式；(2)当时，设数列的前项和为，证明：.3．在数列中，为数列的前项和，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)若.求数列的前项和.4．设数列前n项和为，，.(1)求，及的通项公式；(2)若，证明：.5．已知等差数列的前n项和为，且，数列的前n项之积为，，且．(1)求；(2)令，求正整数n，使得“”与“是，的等差中项”同时成立；(3)设，，求数列的前2n项和．6．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.(1)求，的通项公式(2)设，求；(3)设，数列的前项和为，求.7．已知数列满足.(1)求数列的通项公式(2)若，数列的前n项和为，证明：.8．设为数列的前项和，(1)求的通项公式；(2)若数列的最小项为第项，求；(3)设数的前项和为，证明：9．已知正项数列的前项和为，且.(1)求；(2)设，数列的前项和为，证明：.10．已知数列满足，且.(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；(2)已知数列满足，求的前项和.

专题08数列易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题）1、等差数列的定义（1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；（2）符号语言：(，为常数)．2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项．3、通项公式与前n项和公式（1）通项公式：．（2）前项和公式：．（3）等差数列与函数的关系=1\*GB3①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列．=2\*GB3②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0.已知数列是等差数列，是其前项和．1、等差数列通项公式的性质：（1）通项公式的推广：．（2）若，则．（3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为．（4）若是等差数列，则也是等差数列．2、等差数列前项和的性质（1）；（2）；（3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为.（4）数列，，，…构成等差数列．3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质（1）若项数为，则，；（2）若项数为，则，，，.最值问题：解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错.例．已知等差数列的前n项和为，且，，求取得最大值时对应的n值.【详解】在等差数列中，，则，而，于是公差，因此，由，得，显然数列是递减等差数列，前5项都是非负数，从第6项起为负数，所以的最大值为，此时或.变式1．数列是等差数列，，．(1)从第几项开始有？(2)求此数列的前项和的最大值．【详解】（1）因为，，所以．令，则．由于，故当时，，即从第项开始各项均小于；（2）方法1：．当取最接近于的自然数，即时，取到最大值．方法2：因为，，由（1），知，，所以，且．所以．变式2．记为等差数列的前n项和，已知，．(1)求的通项公式；(2)求的最小值．【详解】（1）设公差为，，∴，解得，∴．（2）∵，，∴＝，∴当时，最小，最小值为．变式3．等差数列，，公差．(1)求通项公式和前项和公式；(2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少．【详解】（1）由为等差数列的前项和，则，解得，，则，.（2）由，则数列为递减数列，由，，则当时，取得最大值，即最大值为.1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（

）A．20 B．17 C．19 D．21【答案】C【分析】可判断数列是递减的等差数列，利用前项和公式和等差数列的性质可得进而可得的最大值．【详解】因为，所以和异号，又等差数列的前项和有最大值，所以数列是递减的等差数列，所以，，所以，，所以当时，的最大值为19．故选：C．2．已知等差数列的前n项和为，，且，则取得最小值时n的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由等差数列的通项公式，求得，，进而得到当当时，，当时，，即可求解.【详解】由等差数列的通项公式，得，又，所以则等差数列中满足，，且，数列为递增数列，且当时，，当时，，所以当取得最小值时，n的值为.故选：B.3．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（

）A．15 B．750 C． D．【答案】C【分析】由题意可得数列是以首项为25，公差的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前n项和的性质分析运算.【详解】由，可得，所以数列是以首项为25，公差的等差数列，且为单调递减数列，其通项公式为．当且时，Sn最大，解得且，则，即数列{an}的前15项均为非负值，第16项开始为负值，故S15最大，.故选：C．4．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（

）A．2021 B．2022 C．4042 D．4043【答案】C【分析】根据题意得，，再结合，，求解即可．【详解】根据,得，，所以，因为，所以，所以使前项和成立的最大自然数是4042．故选：C5．设是等差数列，是其前n项和，且，，则下列结论正确的是（

）.A． B．C． D．与均为的最大值【答案】BD【分析】对于B：根据题意结合前n项和分析可得；对于A：根据等差数列的定义分析判断；对于C：根据等差数列的性质分析可得，进而可得结果；对于D：根据等差数列的正负性结合前n项和的性质分析判断.【详解】因为，，则，故B正确；设等差数列的公差为，则，故A错误；可知数列为递减数列，可得，可得，所以，故C错误；因为为最后一项正数，根据加法的性质可知：为的最大值，又因为，所以与均为的最大值，故D正确；故选：BD.6．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．设的前项和为，则时，的最大值为27【答案】BC【分析】由已知求得，，解公差为的取值范围，利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.【详解】∵，，∴，，∴，，∴，A选项错误；又∵，即，∴，解得，B选项正确；∵，故C选项正确；因为等差数列的前n项和为，所以，即，由，∴数列为等差数列，设，因为当时，，当时，，所以当时，，当时，，所以，，因为，所以可能为正数，也可能为负数，所以D选项不正确．故选：BC．7．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（

）A．是为等差数列的充要条件B．可能为等比数列C．若，，则为递增数列D．若，则中，，最大【答案】ABD【分析】计算，当时，，验证知A正确，当时是等比数列，B正确，举反例知C错误，计算得到D正确，得到答案.【详解】，；当时，，当时，，满足通项公式，数列为等差数列；当为等差数列时，，，故A正确；当时，，是等比数列，B正确；，取，则，C错误；当时，从第二项开始，数列递减，且，故，故，最大，D正确.故选：ABD8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（

）A．是等差数列 B．C． D．有最大值【答案】AB【分析】由与的关系求出数列的通项，从而可判断AB，根据数列性质可判断C，根据前项和的函数性质可判断D.【详解】当时，，当时，，符合，故，所以，，所以数列是等差数列，首项为，公差，A正确；，B正确；因为公差，所以数列是递减数列，所以，C错误；，易知当或时，有最大值，D错误.故选：AB9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当时， D．当或4时，取得最大值【答案】CD【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误.的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；，故B错误；当时，，故C正确；因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.故选：CD.10．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为．【答案】21【分析】先求得数列的通项公式，由此求得数列的通项公式，可知数列是等差数列，然后根据通项公式的特征求得前项和的最大值．【详解】由于等比数列中，，，所以，解得，所以，所以，所以数列是首项为6，公差为的等差数列，当1≤n≤6时，；当n＝7时，；当n＞7时，，则当n＝6或n＝7时，数列的前n项和取得最大值，最大值为6＋5＋4＋3＋2＋1＝21．故答案为：21．11．记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝．【答案】【分析】由求出和的关系，结合等差数列前项和公式即可求解.【详解】设等差数列的公差为，由可得：，所以，因为，所以，则是关于的二次函数，开口向下，对称轴，由二次函数的图象和性质可得：当时，取最大值，故答案为：.易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它）1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。数学语言表达式：(，为非零常数)．2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.注意：同号的两个数才有等比中项。3、通项公式及前n项和公式（1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；通项公式的推广：.（2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，.已知是等比数列，是数列的前项和．（等比中项）1、等比数列的基本性质（1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）若，则有口诀：角标和相等，项的积也相等推广：（4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。（5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。易错提醒：若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中项，“”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。例．已知各项均为正数的等比数列中，，则等于（

）A．5 B．10 C．15 D．20【详解】解：由等比数列的性质可得a2a4＝a32，a4a6＝a52，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a32＋2a3a5＋a52＝（a3＋a5）2＝25，又等比数列各项均为正数，∴a3＋a5＝5，选项A正确变式1．已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则(

)A． B． C． D．【详解】由题意可知，得，解得或，因为，故，所以.故选：A.变式2．已知，如果，，，，成等比数列，那么（

）A．， B．，C．， D．，【详解】因为是和的等比中项，所以，设公比为，则，所以b与首项-1同号，所以．又a，c必同号，所以．故选：B变式3．已知等比数列中，，，则（

）A． B． C．或 D．【详解】解：由等比数列性质可知，所以或，但，可知，所以，则，故选：B1．已知等差数列的前项和为，公差不为0，若满足、、成等比数列，则的值为（

）A．2 B．3 C． D．不存在【答案】A【分析】根据题意，利用等比中项公式列出方程求得，结合，即可求解.【详解】由等差数列的前项和为，公差不为0，若满足，，成等比数列，可得，即，整理得，因为，所以，又由.故选：A.2．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前9项的和为（

）A．1 B．2 C．81 D．80【答案】C【分析】由题知，，进而根据等差数列通项公式解得，再求和即可.【详解】因为，所以，解得.又，，成等比数列，所以.设数列的公差为，则，即，整理得.因为，所以.所以.故选:C.3．已知，，则使得成等比数列的充要条件的值为（

）A．1 B． C．5 D．【答案】B【分析】根据等比中项的性质求解即可.【详解】若成等比数列，则，即，当时，满足，成等比数列，故使得成等比数列的充要条件的b值为.故选：B4．已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出公差，根据题干条件列出方程，求出公差，求出通项公式，再利用通项公式和前n项和公式对四个选项一一计算，进行判断.【详解】设等差数列的公差为d（）.因为且成等比数列，所以.解得：，所以.对于A：.故A正确；对于B：因为，所以.故B正确；对于C：.故C错误；对于D：因为，所以当时，，即.故D正确.故选：C5．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（

）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【分析】依题意是与的等差中项，可求出公比，进而由求出，根据等比中项求出的值.【详解】由题意可知，是与的等差中项，所以，即，所以，或（舍），所以，，故选：D.6．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为（

）A． B． C．或 D．或7【答案】C【分析】根据等比中项可求，然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线，根据离心率的公式即可求解.【详解】实数4，，9构成一个等比数列，可得，当时，圆锥曲线为椭圆,则其离心率为：．当时，圆锥曲线为双曲线,其离心率为：．故选：C．7．数列为等比数列，，，命题，命题是、的等比中项，则是的（

）条件A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.【详解】因为数列为等比数列，且，，若，则，则是、的等比中项，即；若是、的等比中项，设的公比为，则，因为，故，即.因此，是的充要条件.故选：A.8．在数列中，，，则（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】由等比数列定义可知数列为等比数列，结合等比数列性质可知数列是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】，，即，数列是以为首项，为公比的等比数列，，，，…，，又数列是以为首项，为公比的等比数列，.故选：D.9．已知是等差数列，公差，前项和为，若，，成等比数列，则A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】首先由，，成等比数列可得，然后计算得出，再由可得，最后由等差数列的前项和公式即可得出的表达式，进而得出所求的答案．【详解】因为，，成等比数列，所以，即，即，因为，所以；而，故选：．10．数1与4的等差中项，等比中项分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可.【详解】若等差中项为m，则，可得；若等比中项为n，则，可得；故选：B11．已知数列是等差数列，，其中公差，若是和的等比中项，则（

）A．398 B．388C．189 D．199【答案】C【分析】数列是等差数列，，其中公差，由是和的等比中项，可得，解得即可得出．【详解】解：数列是等差数列，，其中公差，是和的等比中项，，化为，．所以，则．故选：C．易错点三：忽略等比数列求和时对讨论（等比数列求和）等比数列前项和的性质（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；（2）对，有；（3）若等比数列共有项，则，其中，分别是数列的偶数项和与奇数项和；（4）等比数列的前项和，令，则（为常数，且）易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论..例．设等比数列的前n项和为.已知，，则.【详解】当的公比为1时，由可知显然不成立，故公比不为1，由得，所以时，，相减可得，故公比，又，故，故答案为：变式1．记为等比数列的前n项和，若，，则．【详解】等比数列中，，，显然公比，设首项为，则①，②，化简②得，解得或（不合题意，舍去），代入①得，所以．故答案为：变式2．在等比数列中，，，令，求数列的前n项和．【详解】设等比数列的公比为，，，所以，解得：，所以，又，所以.变式3．数列前项和满足，数列满足．(1)求数列和的通项公式；(2)对任意，将数列中落入区间内项的个数记为，求数列前项和．【详解】（1），①，当时，，当时，②，两式①-②得，即，其中，也满足上式，故是以为首项，为公比的等比数列，故；；（2），令，解得，又，故，则，故，所以为等比数列，首项为，公比为3，所以.1．已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】根据等比数列的前项和公式求出首项，进而可得，再结合对数运算即可得答案.【详解】依题意，，，解得，因此，所以.故选：C2．已知正项等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等比数列的前项和公式直接计算即可.【详解】设等比数列的公比为，当时，，不符合题意，（注意对情况的讨论），所以，由得，得，（注意等比数列为正项数列，故），因此.故选：C．3．已知，，（，），为其前项和，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用递推关系构造得是一个以3为首项，2为公比的等比数列，再赋值，结合等比数列的前n项和公式求答案.【详解】由（，）可得，已知，，所以，即是一个以3为首项，2为公比的等比数列，所以，即，，，，，，，故选B.4．在等比数列中，，，则（

）A．的公比为4 B．的前20项和为170C．的前10项积为 D．的前n项和为【答案】ABC【分析】利用等比数列的性质、等差数列、等比数列的求和公式计算即可.【详解】由题意可知，所以，所以，，A对；由上可知：，所以，B对；而，C对；记的前n项和为，则的前n项和，D错，故选：ABC.5．已知正项等比数列的前n和为，若，且，则满足的n的最大值为.【答案】5【分析】利用等比数列的性质与求和公式求解基本量，再由解关于的不等式.【详解】设等比数列公比为q，因为，所以，解得，或.由数列为正项等比数列，则，所以.又由，即，解得，因为，所以，得，解得，因为，即，又，所以的最大值为.故答案为：.6．已知等比数列的前n项和为，，且－3，，成等差数列，则数列的通项．【答案】【分析】根据条件求和，从而可得数列的通项公式.【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得，又－3，，成等差数列，得，即，，解得，所以.故答案为：.7．设为等比数列的前项和，若，，则【答案】【分析】结合等比数列通项公式可求得公比，代入等比数列求和公式中可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，.故答案为：.8．已知正项等比数列的前项和为，若，且，则．【答案】【分析】根据条件求等比数列的基本量及等比数列求和公式计算即可.【详解】设公比为，则，由，，解之得或（舍去），故.故答案为：9．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则．【答案】【分析】设等比数列的公比为q，则，显然，根据题意求出，的值，再根据等比数列的通项公式求解即可.【详解】解：设等比数列的公比为q，则，显然，因为，，所以，即，解得,所以．故答案为：10．数列的前n项和为，且，，则满足的最小的自然数n的值为．【答案】【分析】对递推公式进行变形构造等比数列，根据等比数列前n项和公式、比较法进行求解即可.【详解】，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，因此，所以，设，所以数列是单调递增数列，因此有，即，所以数列是单调递增数列，而，，因此满足的最小的自然数n的值为，故答案为：11．在正项等比数列中，已知，，则公比．【答案】3【分析】利用等比数列的前n项和公式求解.【详解】解：因为在正项等比数列中，，，所以，即，即，解得或（舍去），故答案为：3易错点四：由求时忽略对“”检验（求通项公式）类型1观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型2公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．类型3累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．类型4累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型5构造数列法：（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．类型6对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．类型7倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．类型8形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式易错提醒：在数列问题中，数列的通项与其前n项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验.例．已知数列和，其中的前项和为，且，.(1)分别求出数列和的通项公式；(2)记，求证：.【详解】（1）当时，，所以，时，①，②，①-②得，即，，所以是以首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以；（2），即③，④，④-③，得，因为，，所以.变式1．数列的前n项和，已知，，k为常数.(1)求常数k和数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，证明：【详解】（1）由得，，两式相减的，整理得，当时，得，，当时，，，，，相加得，所以，，当，2时符合，所以，则，，则，即.（2）由（1）得，所以，因为，，所以，综上可得，.变式2．设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为.证明：对一切正整数，.【详解】（1）因为，即，当时，解得或（舍去），当时，所以，即，即，则，因为，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以数列的通项公式是（2）由（1）可得，所以，，所以，所以，因为，所以.变式3．已知数列的前项和为，且（）.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【详解】（1）当时，，当时，，故，故数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故.（2）由（1）得，所以由题意，故，则，故，则.1．已知数列的前项和为，且.(1)当时，求；(2)若为等比数列，求的值.【答案】(1)(2)5【分析】（1）利用与之间的关系将已知等式转化为之间的关系式，然后利用之间的关系求的值，进而求的值；（2）利用（1）得之间的关系式，分和讨论，利用等比数列性质列式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，又，所以，解得，故，所以，解得；（2）由（1）知，．①当时，，此时，这与矛盾，所以不成立，即；②当时，，所以，所以，，因为为等比数列，所以，即，解得.综上，的值为5.2．已知数列的前项和为，且与的等差中项为.(1)求数列的通项公式.(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差中项，构造数列，等比数列的知识得出；（2）采用裂项相消法，注意分为奇数偶数.【详解】（1）因为与的等差中项为，所以，即.当时，，则.当时，，所以，所以，可变形为，所以，且也符合，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，即数列的通项公式为.（2）方法一当为奇数时，.当为偶数时，.所以数列的前项和为.方法二..3．已知数列的前n项和为，且，.(1)求；(2)记，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据的关系可得是等差数列，即可求解，进而可得，（2）根据错位相减法即可求解.【详解】（1），，又.数列是公差为2，首项为的等差数列.,即.当时，，故.（2）时，时，.设的前n项和为，则，..（）当时，也符合，所以4．已知数列的前项和为，且满足，，当时，是4的常数列.(1)求的通项公式；(2)当时，设数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题目条件得到，故数列，均为公比为4的等比数列，从而得到通项公式；（2）裂项相消得到，从而求和，得到不等式.【详解】（1）当时，为等比数列，即是4的常数列，故，当时，，当时，，∴数列，均为公比为4的等比数列，，，.（2），∴当时，数列的前项和为.5．在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）先应用等差数列求，再应用计算通项公式；（2）应用错位相减法求和即可．【详解】（1）由已知得，，所以，①当时，，②，得，也符合该式，所以．（2）由（1）得，所以，③，④，得．故．6．已知数列的前项和是，且.(1)证明：是等比数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2).【分析】（1）先对进行化简构造出，并结合等比数列定义可求解；（2）根据（1）求出，然后构造关于的方程组并利用错位相减法可求解.【详解】（1）证明：当时，，得：；当时，得：，将两式相减得：，得：，所以得：当时，是等比数列，通项公式为：，当，也符合，故可证：数列为等比数列.（2）由（1）得：，则得：，则：①②①-②得：，化简得：.所以：数列的前项和：.7．已知首项为4的数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据，得出与的关系，进一步变形得出等比数列；（2）利用分组求和法及等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）由题意，即，故，即，又，故数列是以-1为首项，-1为公比的等比数列.（2）由（1）知，，即．数列的前n项和为，数列的前n项和为，故．8．设数列的前项和为，且，．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，结合探讨数列的特征，再求出通项公式即得.（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助单调性推理即得.【详解】（1）依题意，当时，，解得，当时，，整理得，即有，两式相减得，因此数列为等差数列，由，，得公差，所以数列的通项公式．（2）由（1）知，，因此，则，显然数列是递增数列，即有，而，所以．9．设各项均为正数的数列的前n项和为，且满足．(1)求出数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求时，n的最小值．【答案】(1).(2)n的最小值为20.【分析】（1）利用求通项公式；（2）先写出数列的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式求出，最后解不等式得出答案.【详解】（1），当时，有，解得当时，有，因为，所以，化简可得.数列是以1为首项，2为公差的等差数列.数列的通项公式为.（2），，即数列是以3为首项，4为公差的等差数列.，解得或.n为正整数n的最小值为20.10．已知为数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：根据得到，从而得到，可得的奇数项和偶数项分别为等差数列，求出奇数项和偶数项的通项公式，得到答案；法二：变形得到，结合，得到，利用求出答案；（2）变形得到，当为奇数时，，当为偶数时，，分为奇数和偶数两种情况，求和，得到答案.【详解】（1）法一:当时，，即，由，得，由，得，两式相减得：．又，满足上式．所以当时，，又当时，，两式相减得：，所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，所以（n为奇数），数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，所以（n为偶数），所以，即的通项公式是．法二：因为，所以，同理可得，故，因为，所以，即，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式是.（2）因为，故当时，①，当时，②，①、②两式相减得：，因为，，所以，因为，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，所以；当n为偶数时，,当n为奇数时，，综上，.11．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，（且）．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用（）化简题中条件，可得列是以1为首项，1为公差的等差数列，求得，再根据（），即可求解；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）当时，，即，解得．因为（），所以（），又（，），，所以（），又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，所以．当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，所以，所以，所以，所以．易错点五：裂项求和留项出错（数列求和）常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则积累裂项模型6：阶乘（1）（2）常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。例．已知数列的前项和为，，.(1)求的通项公式；(2)设，证明：.【详解】（1）因为，当时，，，，，当时，由得，两式相减得，，，，所以有，从而，所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，偶数项是以为首项，为公差的等差数列，，所以.（2）由，且，所以.变式1．记为数列的前n项和，满足，.(1)求的通项公式；(2)证明：.【详解】（1）因为，∴当时，，所以，整理得：，即，∴显然对于也成立，∴的通项公式（2）∴由于，所以，故得证.变式2．已知首项为1的数列，其前项利为，且数列是公差为1的等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【详解】（1）数列是公差为1的等差数列，且，即，，当时，，当时，，满足，综上，的通项公式为．（2）由题