小升初拓展培优：和倍问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第1页（共1页）和倍问题(知识归纳+典例分析+高频考题+答案解析)1、和倍问题定义和倍问题是一类常见的数学应用题，它要求根据两个数的和以及它们之间的倍数关系来求解这两个数各是多少。具体来说，如果已知两个数的和以及其中一个数是另一个数的几倍，我们就可以通过特定的方法或公式来求出这两个数。2、解题规律与公式（1）、确定小数（1倍数）：首先，我们需要找出两个数中的较小数（或称为1倍数）。这通常通过将和除以（倍数+1）来实现，即

和÷(倍数+1)=小数。（2）、确定大数（几倍数）：然后，我们可以用求得的小数乘以倍数来得到大数（或称为几倍数），即

小数×倍数=大数。另外，大数也可以通过总和减去小数来求得，即

和-小数=大数。【典例1】小宁、小玲和小亮共有邮票180张，小宁说：我的邮票是小玲的2倍，小玲说：我的邮票最少，小亮说：我的邮票是他俩的总和。他们各有邮票多少张？【答案】30张；60张；90张。【思路分析】把小玲邮票的张数看作1份，小宁邮票的张数是2份，小亮邮票的张数是3份，再用3人邮票的总数量除以总份数，可以计算出小玲邮票的张数，用小玲邮票的张数乘2，可以计算出小宁邮票的张数，最后把小玲和小宁的邮票张数相加，可以计算出小亮邮票的张数。【解答】解：1+2＝3180÷（1+2+3）＝180÷6＝30（张）30×2＝60（张）30+60＝90（张）答：小玲有30张邮票，小宁有60张邮票，小亮有90张邮票。【名师点评】本题解题关键是把小玲邮票的张数看作1份，小宁邮票的张数是2份，小亮邮票的张数是3份，再根据总数量÷总份数＝1份数，列式计算。【典例2】小方与爸爸、妈妈一起坐火车到爷爷家，买车票时爸爸付了100元，找回40元，小方的票是学生票，学生票是成人票的一半，一张学生票是多少元？【答案】12元。【思路分析】设一张学生票x元，由“学生票是成人票的一半”可知，成人票就是2x元，由“付了100元，找回40元”根据总票价＝由付出的钱﹣找回的钱，求出总票价，由“小方与爸爸、妈妈一起坐火车到爷爷家”可知购买了一张儿童票，两张成人票，据此根据等量关系式：两张成人票+一张儿童票＝总票价，列方程解答。【解答】解：设一张学生票x元。x+2x+2x＝100﹣405x＝60x＝12答：一张学生票12元。【名师点评】完成这类题列方程解答，设其中的一个未知量为x，另一个用含有x的数代替即可。【典例3】周末毛超到马小跳家玩，马小跳爸爸对毛超说：“我和马小跳的年龄加起来是48岁，我的年龄是马小跳的5倍”。小朋友们请你帮毛超猜一猜马小跳和他爸爸分别是多大？【答案】8岁；40岁。【思路分析】根据和倍问题公式：和÷（倍数+1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数或较大数＝和﹣较小数，代入数据计算即可。【解答】解：48÷（5+1）＝48÷6＝8（岁）8×5＝40（岁）答：马小跳8岁，他爸爸40岁。【名师点评】熟练掌握和倍问题公式：和÷（倍数+1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数或较大数＝和﹣较小数是解题的关键。【典例4】书店购进《成语故事》和《数学故事》共540本，其中《成语故事》的本数是《数学故事》的2倍。购进《数学故事》多少本？【答案】180。【思路分析】书店购进《成语故事》和《数学故事》共540本，《成语故事》的本数是《数学故事》的2倍，两种数的本数和就是《数学故事》本数2+1＝3倍，用540除以3即可求出《数学故事》的本数。【解答】解：540÷（2+1）＝540÷3＝180（本）答：购进《数学故事》180本。【名师点评】已知两个数的和与倍数关系，根据和倍公式：和÷（倍数+1）＝较小数进行解答。【典例5】甲、乙两个粮库原来共存粮食78吨，甲粮库运进粮食18吨，乙粮库运出粮食18吨后，甲粮库粮食重量是乙的2倍。原来甲粮库存粮食多少吨？【答案】34吨。【思路分析】根据题意，用78吨加上甲运进的18吨，减去乙运出的18吨，求出现在甲、乙两个粮库存粮的重量，即78+18﹣18＝78吨，这时甲粮库粮食重量是乙的2倍，那么它们的存粮的重量和就是现在乙粮库的2+1＝3倍，用78÷3＝26（吨），求出现在乙粮库存粮的重量，再加上运出的18吨，求出原来乙粮库存粮的重量，最后用原来甲、乙两个粮库存粮食的重量减去原来乙粮库存粮的重量，就是原来甲粮库存粮的重量。【解答】解：（78+18﹣18）÷（2+1）＝78÷3＝26（吨）78﹣（26+18）＝78﹣44＝34（吨）答：原来甲粮库存粮食34吨。【名师点评】本题关键是求出现在两个粮库存粮的重量和，根据倍数关系，由和倍公式：和÷（倍数+1）＝较小数，求出现在乙粮库存粮的重量，然后再进一步解答。1．把一根长360米的绳子剪成两段，第二段的长度是第一段的2倍。这两段绳子的长度分别是多少？2．甲、乙两个书柜共放148本书，甲书架上的图书是乙书架上的3倍，甲、乙两个书加上各放多少图书？3．甲、乙两个数的和是690，若把甲数的最后一个数字去掉，则就与乙数相等。甲、乙两数分别是多少？4．一筐苹果、一筐梨和一筐葡萄共重48千克，苹果的质量是葡萄的2倍，梨的质量是葡萄的3倍。算一算，苹果、梨和葡萄各有多少千克？5．少先队员参加植树活动，六年级植树的棵数是五年级的1.5倍，两个年级一共植树120棵。五年级和六年级各植树多少棵？6．已知甲桶有水88千克，乙桶有水50千克，将甲桶中的水倒入乙桶多少千克后，乙桶中水的质量是甲桶中水的质量的5倍？7．学校将480本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的3倍，二、三两个年级各分得多少本图书？8．甲、乙两桶油共重428千克，其中甲桶油的质量是乙桶油的3倍，甲、乙两桶油各重多少千克？（先画线段图，再列式计算）9．学校有月季花与玫瑰花一共264棵。其中月季花的数量比玫瑰花的4倍多4棵。月季花与玫瑰花各有多少棵？10．六年级举行篮球比赛。六（1）班全场得了42分，其中下半场得分是上半场的一半。六（1）班上半场和下半场各得多少分？11．诗朗诵表演赛时，小丁的妈妈给他买了一套礼服，一共用去360元。其中裤子的价钱是上衣的一半，上衣是多少元？12．植树节到了，三（2）班的师生们去植树。他们一共种了60棵树，学生种的树是老师的3倍。老师和学生各种了多少棵树？13．功夫熊猫阿宝一天早晨、中午和晚上一共吃了130个包子，中午吃的个数是早晨的2倍，晚上吃的个数比早晨的2倍还多5个。那么阿宝这天晚上吃了多少个包子？14．一个橘子、一个苹果、一个梨共重700克，已知苹果的质量是橘子的2倍，梨的质量是橘子的4倍。这个橘子重多少克？15．某厂有职工360人，其中女工人数比男工人数的3倍少40人。这个厂男女职工各有多少人？16．甲、乙两桶油共重80千克，如果从甲桶倒出12千克油给乙桶，那么甲桶油剩下的重量是乙桶的3倍，原来甲、乙两桶油各重多少千克？17．图书角有198本书，其中文艺类的有120本，是科技类的3倍，其余的是工具书。图书角有工具书多少本？18．果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？（列方程解）19．星期天，乐乐和妈妈一起去看童话剧，买门票一共花了111元，妈妈的门票价格是乐乐的2倍。请你计算一下，乐乐和妈妈的门票价格分别是多少元？20．公园里共栽种迎春花和月季花共186棵，其中月季花的棵数是迎春花的5倍。月季花和迎春花各栽种多少棵？21．把一根长360米木棍截成两段，第一段的长度是第二段长度的3倍。这两段木棍的长度分别是多少米？22．小明和小红一共做了46朵花，小明做的比小红的4倍多1朵。小明和小红分别做了多少朵？23．李师傅和徒弟一起加工700个零件，已知师傅加工的个数是徒弟的2.5倍，求师傅和徒弟各加工零件多少个？24．师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？25．红红到超市去买了饼干、薯片和巧克力，买饼干一共用了12元，她发现巧克力的价格是薯片的4倍，她付了一张100元，但售货员忙中出错，把它当成50元，只找给她18元。巧克力和薯片的价格分别是多少元？26．小明、小华两位同学共向河南灾区捐款180元，其中小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的2倍，小明、小华各捐款多少元？27．果园里的梨树和桃树共有380棵，桃树的棵数比梨树的3倍还多8棵，桃树和梨树各有多少棵？（先画线段图再解答）28．妈妈买回苹果和梨子一共花了25元钱，买苹果的钱是买梨子的钱的4倍，苹果和梨子各花了多少钱？29．为迎接“县体育联赛”，实验小学积极组织学生报名参赛。其中三、四年级共45名同学报名，四年级报名人数是三年级的4倍。三、四年级各有多少人报名？30．果园里有桃树和梨树共312棵，桃树棵数是梨树的5倍，请你算出果园里有桃树多少棵？梨树多少棵？

1．【答案】240米和120米。【思路分析】把第二段的长度看作1份，则第一段的长度占2份，一共是3份，3份是360米，用360除以3即可求出第二段的长度，用第二段的长度乘2即可求出第一段的长度。【解答】解：360÷（1+2）＝360÷3＝120（米）120×2＝240（米）答：这两段绳子的长度分别是240米和120米。【名师点评】本题主要考查了和倍问题，关键是根据数量和除以数量的倍数和，求出1倍数量是多少，再求出多倍的数量是多少。2．【答案】甲：111本；乙：37本。【思路分析】甲书架上的图书是乙书架上的3倍，那么可以把甲书架上的图书看成3个乙书架上的图书。两个书柜共放148本书，可以看成4个乙书架的图书一共148本，所以用148除以4即可得到乙书架上的图书数。然后再用乙书架上的图书数乘上3即可得到甲书架上的图书数。【解答】解：1+3＝4乙：148÷4＝37（本）甲：37×3＝111（本）答：甲书架上放了111本图书，乙书架上放了37本图书。【名师点评】本题主要考查了和倍问题，关键是得出两个书柜共放148本书，可以看成4个乙书架的图书一共148本。3．【答案】628；62。【思路分析】由题意可知，甲数一定是一个三位数，且前两位与乙数相同。如果甲数个位为0，则甲数是乙数的10倍。甲数前两位为62，乙数为62，余数是甲数的个位。【解答】解：690÷（10+1）＝690÷11＝62……8答：甲数是628，乙数是62。【名师点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。4．【答案】苹果16千克，梨24千克，葡萄8千克。【思路分析】把葡萄的质量看作1份，则苹果的质量是同样的2份，梨的质量是同样的3份，（1+2+3）份合计48千克，根据除法的意义，用苹果、梨和葡萄的质量除以份数和即是1份量，即葡萄的质量，用1份量乘2即是苹果的质量，用1份量乘3即是梨的质量。【解答】解：48÷（1+2+3）＝48÷6＝8（千克）8×2＝16（千克）8×3＝24（千克）答：苹果有16千克，梨有24千克，葡萄有8千克。【名师点评】本题考查了和倍问题的应用。5．【答案】五年级48棵，六年级72棵。【思路分析】根据题意可知五年级植树棵数+六年级植树棵数＝120，设五年级植树棵数是x，则六年级植树棵数是1.5x。则x+1.5x＝120，求解x即可求出五年级植树棵数，进而求出六年级植树棵数，据此解答。【解答】解：设五年级植树棵数是x，则六年级植树棵数是1.5x。x+1.5x＝1202.5x＝120x＝120÷2.5x＝481.5x＝1.5×48＝72答：五年级植树48棵，六年级植树72棵。【名师点评】本题考查了用列方程解决和倍问题的方法。6．【答案】65千克。【思路分析】先用加法计算出两桶水的总质量，要使乙桶中水的质量是甲桶中水的质量的5倍，那么将甲桶中水的质量看作1份，则乙桶中水的质量为5份；用两桶水的总质量除以（1+5），计算出1份的质量，用甲桶中原有水的质量减去1份的质量，计算出甲桶中的水要倒入乙桶多少千克；据此解答。【解答】解：88+50＝138（千克）138÷（5+1）＝138÷6＝23（千克）88﹣23＝65（千克）答：将甲桶中的水倒入乙桶65千克后，乙桶中水的质量是甲桶中水的质量的5倍。【名师点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。7．【答案】120本；360本。【思路分析】根据题意，三年级所分得的本数＝二年级所分得的本数×3，三年级所分得的本数+二年级所分得的本数＝480本，二年级所分得的本数＝480÷（3+1）＝120（本），据此解答。【解答】解：480÷（3+1）＝480÷4＝120（本）120×3＝360（本）答：二年级分得120本，三年级分得360本。【名师点评】本题考查了和倍问题，解决本题的关键是求出二年级分得的本数。8．【答案】甲321千克，乙107千克。【思路分析】把乙桶油的质量看作1份，则甲桶油有同样的3份，甲乙两桶油合计（1+3）份共重428千克，据此求出1份量，即乙桶油的质量，用乙桶油的质量乘3即是甲桶油的质量。【解答】解：如下图所示：428÷（1+3）＝428÷4＝107（千克）107×3＝321（千克）答：甲桶油重321千克，乙桶油重107千克。【名师点评】本题考查了和倍问题的应用。9．【答案】月季花212棵，玫瑰花52棵。【思路分析】把玫瑰花的棵数看作1份，则月季花有同样的4份还多4棵，用月季花和玫瑰花的棵数之和减去4即是5份，根据除法的意义求出1份数即是玫瑰花的棵数，用月季花和玫瑰花的棵数之和减去玫瑰花的棵数即是月季花的棵数。据此解答。【解答】解：（264﹣4）÷（1+4）＝260÷5＝52（棵）264﹣52＝212（棵）答：月季花有212棵，玫瑰花有52棵。【名师点评】本题考查了和倍问题的应用。10．【答案】见试题解答内容【思路分析】假设上半场的得分是x分，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，则下半场的得分是12x【解答】解：设上半场的得分是x分，则下半场的得分是12xx+1232xx＝2828×1答：六（1）班上半场得分是28分，下半场得分是14分。【名师点评】此题的解题关键是弄清题意，把上半场的得分设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。11．【答案】240元。【思路分析】由题意可知，裤子的价钱是上衣的一半，也就是上衣的价格是裤子的2倍，而360元是裤子价格的3倍，用360除以3即可求出裤子的价格，裤子的价格乘2即可求出上衣的价格。【解答】解：360÷（1+2）×2＝360÷3×2＝120×2＝240（元）答：上衣是240元。【名师点评】本题主要考查和倍问题，熟练掌握公式：两数和÷份数和＝小数。12．【答案】45棵，15棵。【思路分析】把老师植树的棵数看成1份，老师植树的棵数就是3份，用总棵数除以（1+3），即可求出老师植树的棵数，用老师植树的棵数乘3，即可求出学生植树的棵数。【解答】解：60÷（1+3）＝60÷4＝15（棵）15×3＝45（棵）答：学生植树45棵，老师植树15棵。【名师点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。13．【答案】55个。【思路分析】把早晨吃包子的个数看作“1”份，则中午吃的个数是“2”份，晚上吃的个数比早晨的2倍还多5个；如果晚上吃的个数减少5个，则晚上吃的个数也是“2”份，那么一天吃包子的总数变为：130﹣5＝125（个），是早晨吃的（1+2+2）倍，据此解答即可。【解答】解：早晨吃了：（130﹣5）÷（1+2+2）＝125÷5＝25（个）中午吃了：25×2＝50（个）晚上吃了：25×2+5＝50+5＝55（个）答：阿宝这天晚上吃了55个包子。【名师点评】本题主要考查和倍问题，关键是理解：早上吃的包子个数的（1+2+2）倍是（130﹣5）个，由此根据已知一个数的几倍是多少，用除法求出早上吃包子的个数，进而得出结论。14．【答案】100克。【思路分析】橘子的质量是1份，则苹果的质量是2份，梨的质量是4份，求1份量用总量除以（1+2+4）即可。【解答】解：1+2+4＝7（份）700÷7＝100（克）答：这个橘子重100克。【名师点评】此题是典型的和倍问题，一般都是用总量除以几份量求出1份量即可解答。15．【答案】100人，260人。【思路分析】用总人数加上40人，再除以（3+1），即可求出男职工的人数，用总人数减去男职工的人数，即可求出女职工的人数。【解答】解：（360+40）÷（3+1）＝400÷4＝100（人）360﹣100＝260（人）答：男职工有100人，女职工有260人。【名师点评】本题考查和倍问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。16．【答案】甲桶油重72千克，乙桶油重8千克。【思路分析】根据题意，甲桶倒出12千克给乙桶，甲桶里油的重量是乙桶里油的重量的3倍，即甲桶油为3份，乙桶油为1份，则每份为80÷4＝20（千克），再解答即可。【解答】解：甲桶与乙桶共4份，每份为80÷4＝20（千克）乙桶油20×1＝20（千克）乙桶油原来有20﹣12＝8（千克）80﹣8＝72（千克）答：原来甲桶油重72千克，乙桶油重8千克。【名师点评】根据题意，先求出总份数，以及两桶油各自的份数，求出后来乙桶油的重量，进而解决问题。17．【答案】38本。【思路分析】先用文艺类的书除以3求出科技类的书，再用总本数减去文艺类和科技类的书即可。【解答】解：198﹣120﹣120÷3＝78﹣40＝38（本）答：图书角有工具书38本。【名师点评】解答本题的关键是求出科技类的书的本数。18．【答案】见试题解答内容【思路分析】根据题干分析可得，此题等量关系是：“桃树的棵数+杏树的棵数＝总棵数180棵”，由此设桃树x棵，则杏树就是3x棵，根据等量关系列出方程即可解答问题．【解答】解：设桃树x棵，则杏树就是3x棵，根据题意可得方程：x+3x＝180，4x＝180，x＝45，则杏树有：45×3＝135（棵），答：桃树45棵，杏树135棵．【名师点评】此题也可以利用和倍公式解答：把总棵数看做4份，则桃树占其中的1份，杏树占其中的3份，则根据除法的意义求出1份就是桃树的棵数，再乘3就是杏树的棵数：180÷4＝45（棵），45×3＝135（棵），答：桃树45棵，杏树135棵．19．【答案】见试题解答内容【思路分析】把乐乐的门票价格看作1份，则妈妈门票的价格是2份，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，计算出乐乐的门票价格，再计算出妈妈门票的价格。【解答】解：111÷（2+1）＝111÷3＝37（元）37×2＝74（元）答：乐乐的门票价格是37元，妈妈的门票价格是74元。【名师点评】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。20．【答案】155棵，31棵。【思路分析】由题意可知186棵相当于迎春花的6倍，所以186除以6，商就是迎春花的棵数，据此解答即可。【解答】解：186÷（5+1）＝186÷6＝31（棵）31×5＝155（棵）答：月季花有155棵，迎春花栽种31棵。【名师点评】求出迎春花的棵数，是解答此题的关键。21．【答案】270，90。【思路分析】由题意可得，这根木棍总长相当于截得的第二段木棍的（3+1）倍，两段木棍的长度即可求。【解答】解：360×（3+1）＝360÷4＝90（米）90×3＝270（米）答：第一段木棍长270米，第二段木棍长90米。【名师点评】明确总长与各段长度之间的倍数关系是解决本题的关键。22．【答案】9朵，37朵。【思路分析】根据题意可知：小红做的花×4+1＝小明做的花，小红做的花+小明做的花＝46，设小红做了x朵，据此列方程解答。【解答】解：设小红做了x朵。x+4x+1＝465x＝45x＝946﹣9＝37（朵）答：小红做了9朵，小明做了37朵花。【名师点评】本题有两个未知量，解答时要注意根据已知条件，设其中的一个未知量为x，把另一个未知量用含x的量代替，这样比较容易理解。23．【答案】500个；200个。【思路分析】把徒弟加工零件的个数看作1份，则师傅加工零件的个数是2.5份，再根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，求出徒弟加工了多少个零件，再用徒弟加工零件的个数乘2.5，计算出师傅加工零件的个数。【解答】解：700÷（2.5+1）＝700÷3.5＝200（个）200×2.5＝500（个）答：师傅加工了500个零件，徒弟加工了200个零件。【名师点评】本题考查和倍问题的解题方法，解题关键是找出题中的数量和以及数量和所对应的份数关系各是多少，然后根据和倍问题的计算公式：和÷（倍数+1）＝1份数，列式计算。24．【答案】见试题解答内容【思路分析】根据题意，设徒弟加工的零件数是x个，利用关系式：师傅加工的零件数+徒弟加工的零件数＝加工的零件总数．把数代入列方程求解即可．【解答】解：设徒弟加工的零件数是x个，x+3x+5＝1054x＝100x＝2525×3+5＝75+5＝80（个）答：师傅加工了80个，徒弟加工了25个．【名师点评】本题主要考查和倍问题，一般都是用倍数的等量关系设出未知数，用和的等量关系列出方程即可解决此类问题．25．【答案】16，4。【思路分析】红红到超市去买了饼干、薯片和巧克力共用去50﹣18＝32（元），然后根据和倍问题公式：和÷（倍数+1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数，分别求出巧克力和薯片的价格。【解答】解：（50﹣18﹣12）÷（1+4）＝20÷5＝4（元）4×4＝16（元）答：巧克力的价格是16元，薯片的价格是4元。【名师点评】熟练掌握和倍问题公式是解决此题的关键。26．【答案】小明捐款120元，小华捐款60元。【思路分析】小明、小华两位同学共向河南灾区捐款180元，其中小明捐款的钱数是小华捐款的钱数的2倍，那么他们两人捐款和就是小华捐款的钱数的2