苏科版2024-2025学年八年级数学上册2.3线段、角的轴对称性知识梳理与考点分类讲解(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题2.3线段、角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】线段的轴对称性

1.线段是轴对称图形：线段的垂直平分线和它本身所在的直线是它的对称轴；2.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．3.线段的垂直平分线的性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.【知识点二】角的轴对称性角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

【要点提示】用符号语言表示角的平分线的性质定理：如图，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

（2）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.【要点提示】用符号语言表示角的平分线的判定：如图，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

（3）角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】角平分线的性质定理【例1】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，．【题型2】角平分线的判定定理【例2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，．（1）求证：平分；（2）若，，，则的长为．【变式1】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是．【题型3】尺规作图——作角平分线【例3】（2024·河南商丘·模拟预测）请你完成命题“三角形两个角的平分线的交点一定在另一个角的平分线上”的证明．已知：如图，在中，的平分线交于点D，连接．求证：__________．请你用无刻度直尺和圆规完成作图，将“求证”补充完整，并写出证明过程．【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O；③作射线，交于点E．已知，，则的面积为（

）A．5 B．7 C．9 D．14【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则°．【题型4】线段垂直平分线的性质定理【例4】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．

（1）若的周长为19，的周长为7，求的长．（2）若，，求的度数．【变式1】（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【变式2】（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为．【题型5】线段垂直平分线的判定定理【例5】（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．求证：（1)；（2）直线是线段的垂直平分线．【变式1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为(

)

A． B． C． D．【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为．

【题型6】尺规作图——作垂直平分线和垂线【例6】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（）A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为．

【题型7】轴对称的综合变换【例7】（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点P是外一点，点M、N分别是两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若，，，则线段QR的长为多少．【变式1】（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（

）A．7 B．8 C．10 D．12【例2】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为．

2、拓展延伸【例1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图，的角平分线交的角平分线的反向延长线于点P，直线交于点N，若，则°【例2】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，．（1）求证：平分（2）如图2，连接交于点，若与的面积相等，求证：专题2.3线段、角的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】线段的轴对称性

1.线段是轴对称图形：线段的垂直平分线和它本身所在的直线是它的对称轴；2.线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．3.线段的垂直平分线的性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【要点提示】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.【知识点二】角的轴对称性角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴（1）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

【要点提示】用符号语言表示角的平分线的性质定理：如图，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

（2）角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.【要点提示】用符号语言表示角的平分线的判定：如图，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

（3）角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.射线OC即为所求.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】角平分线的性质定理【例1】（22-23八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，点是的中点，平分．求证：．【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，作于点，根据角平分线的性质可得，根据中点的性质可得，再根据全等三角形的判定可得，，由此可得，，由此即可求解．解：证明：如图所示，作于点，则，∵，∴，∵平分，∴，∵点是的中点，∴，∴，在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，且，∴．【变式1】（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等．过点作垂线交于点，根据角平分线的性质即可得到的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可．解：过点作垂线交于点，∵平分，，，∴，∴的面积为．故选：B．【变式2】（2024·四川达州·模拟预测）如图，在中，于E，于F，为的平分线，的面积是，，，．【答案】2【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．根据的面积是，列式得，即可得到答案．解：在中，于E，于F，为的平分线，，的面积是，，即，，，故答案为：．【题型2】角平分线的判定定理【例2】（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，于点，于点，．（1）求证：平分；（2）若，，，则的长为．【答案】(1)详见解析(2)【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题；（2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题．解：（1）证明：如图，连接，于点，于点，，在和中，，，，于点，于点，平分；（2）解：，，，，，，，，故答案为：4．【变式1】（23-24八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，，点在上，连接，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线的判定以及三角形的内角和性质，根据，以及，得出，证明是的角平分线，结合，，得出，即可作答．解：如图：过点D作∵∴∵∴∴是的角平分线∴∵，∴∴的度数为故选：C．【变式2】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知点分别是的三边上的点，，，且，则的值是．【答案】/84度【分析】本题考查了三角形面积公式、角平分线的判定与性质，作于，于，由三角形面积公式得出，从而得出平分，再由角平分线的性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．解：如图，作于，于，，，，，，，，，平分，，故答案为：．【题型3】尺规作图——作角平分线【例3】（2024·河南商丘·模拟预测）请你完成命题“三角形两个角的平分线的交点一定在另一个角的平分线上”的证明．已知：如图，在中，的平分线交于点D，连接．求证：__________．请你用无刻度直尺和圆规完成作图，将“求证”补充完整，并写出证明过程．【分析】本题考查尺规作图—角平分线，全等三角形的判定与性质，命题与证明，根据命题可知求证：点在的平分线上．过点作，证明可得，即可得到结论．解：完成作图如图所示．求证：点在的平分线上．证明：过点作，如图所示．是的角平分线，．，又，．，即点在的平分线上．【变式1】（23-24七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N；②再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O；③作射线，交于点E．已知，，则的面积为（

）A．5 B．7 C．9 D．14【答案】B【分析】此题考查了角平分线的性质定理，根据角平分线的性质得到点E到和的距离相等，点E到的距离等于的长度，利用三角形面积公式即可得到答案．解：由基本作图得到平分B，∴点E到和的距离相等，∴点到的距离等于的长度，即点到的距离为，∴．故选：B．【变式2】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则°．【答案】40【分析】本题考查了作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，则，，从而得到，由三角形内角和定理求出，即可得到答案．解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：40．【题型4】线段垂直平分线的性质定理【例4】（22-23八年级下·甘肃张掖·期末）如图，在中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D．连接．

（1）若的周长为19，的周长为7，求的长．（2）若，，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案；（2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案．解：（1）解：∵是线段的垂直平分线，∴，，∵的周长为19，的周长为7，∴，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．【变式1】（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长的周长，即可得结论．解：以为圆心，两弧分别交于，直线交于点D，是的中垂线，，，的周长，故选：A．【变式2】（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线交于点P，连接．若的周长比的周长大，则的周长为．【答案】8【分析】本题考查了尺规作图-作垂直平分线，根据作图可得，根据的周长比的周长大，求得，再根据周长公式计算即可得到答案．解：由作图可知是线段的垂直平分线，，，的周长为，，的周长为，的周长比的周长大，，，的周长为，故答案为：8．【题型5】线段垂直平分线的判定定理【例5】（2024·湖南长沙·一模）如图，中，，平分，于E．求证：（1)；（2）直线是线段的垂直平分线．【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定；（1）根据角平分线的性质可得，从而证明，即可证明；（2）根据垂直平分线的判定证明即可．解：（1）证明：∵，平分，，∴，∴，∴；（2）∵，∴点A在线段的垂直平分线上，∵，∴点D在线段的垂直平分线上，∴是线段的垂直平分线．【变式1】（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为(

)

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案．解：以点A为圆心，的长为半径作弧，，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，，且，，，，，，，，．故选D．【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为．

【答案】【分析】如图所示，取的中点F，连接，则可证明在的垂直平分线上，得到，证明得到，同理可得，设，则，由三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可．解：如图所示，取的中点F，连接，∵，∴在的垂直平分线上，∴三点共线，且，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∵平分，∴，设，∴，∵，∴，∴．

故答案为：．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．【题型6】尺规作图——作垂直平分线和垂线【例6】（23-24七年级下·辽宁阜新·期中）现有两条高速公路、和C，D两个城镇（如图），准备建立一个燃气中心站M使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出中心站位置．【分析】本题主要考查了角平分线的性质及垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到C，D两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点M的位置．解：如图：（1）做出的角平分线；（2）连接，作的垂直平分线；（3）的垂直平分线和的交点，即为所求点M．【变式1】（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出．解：在中，，，，由作图可知，平分，垂直平分，，，，，故选：C．【变式2】（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为．

【答案】/厘米【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解．解：由画图可知：是的垂直平分线，，，的周长为，即，，的周长为，即，，故答案为：．【题型7】轴对称的综合变换【例7】（20-21七年级上·黑龙江大庆·期末）如图，点P是外一点，点M、N分别是两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若，，，则线段QR的长为多少．【答案】，理由见解析【分析】由题意根据对称性可得，，进而利用线段间的等量代换得出进行计算即可．解：，理由如下：点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，，．，，，，，．．【点拨】本题考查对称问题，熟练掌握利用线段间的等量代换进行分析是解题的关键．【变式1】（21-22七年级下·全国·单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用最短路径直接将点对称，然后连线求两线段和的最小值即可．解：将关于对称至点，连接，∴，∴，∴，∵，，，且，∴是中点，∴．∴故选：B【点拨】此题考查最短路径，解题关键是将一个定点对称，当三点共线时线段之和最短．【变式2】（20-21七年级下·四川成都·期末）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，以大于AB长为半径作弧，两弧交于点M和点N，在直线MN上取一点C，连接CA，CB，点D是线段AC的延长线上一点，且CD＝AC，点P是直线MN上一动点，连接PD，PB，若BC＝4，则PD+PB的最小值为．【答案】6【分析】根据轴对称的性质和垂直平分线的性质判断即可；解：由作法得MN垂直平分AB，∴CA＝CB＝4，PA＝PB，∵CD＝AC＝2，∴AD＝6，∵PA+PD≤AD（点A、P、D共线时取等号），∴PA+PD的最小值为6，∴PB+PD的最小值为6．故答案为6．【点拨】本题主要考查了垂直平分线的性质和轴对称最短距离问题，准确分析计算是解题的关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（