苏教版2024-2025学年六年级数学上册夯实提炼第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】(原卷版+解析)

目录TOC\o"1-1"\h\u【课内精选一】切拼问题其一 3【课内精选二】切拼问题其二 4【课内精选三】不规则立体图形的表面积 5【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用 7【课内精选五】等积变形问题 7【课内精选六】折叠问题 8【课内精选七】排水法求体积 10【奥数拓展一】切拼问题拓展其一 11【奥数拓展二】切拼问题拓展其二 12【奥数拓展三】体积的变化问题 13【奥数拓展四】长方体与生活实际应用 14【奥数拓展五】等积变形问题拓展 15【奥数拓展六】折叠问题拓展 16【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积 17【奥数拓展八】排水法求体积拓展 19【奥数拓展九】表面积最值问题其一 20【奥数拓展十】表面积最值问题其二 21苏教版2024-2025学年六年级数学上册夯实提炼第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】【课内精选一】切拼问题其一。把一个长方体切成两个完全一样的正方体，表面积增加了32平方厘米，如图所示，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米?【专项训练】1.把一个长方体切成三个一样的正方体，表面积增加了40平方厘米，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米?2.如图，一个正方体棱长是8厘米，把它切成两个完全一样的长方体，那么，每个长方体的表面积是多少?3.如图所示，一个正方体木块的表面积是192平方厘米，把它锯成体积相等的8个小正方体木块，那么，每个小正方体木块的表面积是多少?【课内精选二】切拼问题其二。一个长方体木块的长、宽、高依次为8分米、4分米和2分米，现在把它锯成若干个小正方体，再把这些小正方体拼成一个大正方体，那么，这个大正方体的表面积是多少?【专项训练】1.如图所示，大正方体的棱长为4厘米，它由8个小正方体组成，现在把小正方体排成一个长方体，这个长方体的表面积是多少?2.如图所示，大正方体的棱长为6厘米，它由8个小正方体组成.现在把小正方体排成一个长方体，这个长方体的表面积比大正方体增加多少?3.把一个长25厘米、宽10厘米、高4厘米的长方体木块锯成若干个棱长为1厘米的小正方体，然后拼成一个大的正方体.这个大正方体的表面积是多少平方厘米?【课内精选三】不规则立体图形的表面积。如图1、图2所示，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。【专项训练】1.如图，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。2.如图所示，在一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块中挖去一个棱长是2厘米的小正方体的孔，这个长方体现在的表面积是多少?3.如图所示，在一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块上搭上一个棱长是2厘米的小正方体木块。搭成的物体表面积是多少?【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用。一段方钢，长是2米，横截面是一个边长为4厘米的正方形，已知1立方厘米的钢重8.8克，那么，这段方钢重多少千克?【专项训练】1.用500块同样的方砖砌成一堵长10米、宽10厘米、高0.5米的墙，这堵墙的体积是多少立方米?平均每块砖的体积是多少立方分米?2.在一个练功房里，铺设了2600块长50厘米、宽10厘米、厚3厘米的木质地板，这个练功房要铺设多少立方米的地板?3.有一个花坛，高0.5米，底面是边长为1.4米的正方形，那么，花坛所占的空间有多大?【课内精选五】等积变形问题。如图1，有一个长方体容器，长30厘米、宽22厘米、高14厘米，里面的水深7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米?【专项训练】1.如图所示，有一个长方体容器，长22厘米、宽12厘米、高11厘米，里面的水深7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米?2.王师傅准备把三块棱长是4厘米的正方体铁块熔铸成一个大长方体，这个长方体的底面是一个边长为4厘米的正方形，那么，它的高是多少厘米?3.把一个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体铁块和一个棱长是3厘米的正方体铁块熔铸成一块长方体铁条，这块长方体铁条的底面积是3平方厘米，那么，它的高是多少厘米?【课内精选六】折叠问题。如图是四张相同的正方形厚纸，边长都是12厘米，在四个角上各剪去一个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图1、图2、图3、图4中，哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少?【专项训练】1.如图所示是四张相同的正方形厚纸，边长都是16厘米，在四个角上各剪去一个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图1、图2、图3、图4中，哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少?2.一张边长为30厘米的正方形纸，从它的四个角上剪去四个相同的小正方形(小正方形的边长是整厘米数)，将剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的容积最大是多少?3.有一块正方形铁皮，从四个顶点处各剪下一个边长为4分米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒(铁皮的厚度不计)。(1)这个铁皮盒用铁皮多少平方分米?(2)原来铁皮的面积是多少?【课内精选七】排水法求体积。在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米?【专项训练】1.一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，水深3分米，如果把一块棱长为2分米的正方体铁块浸没于水中，水面将上升多少分米?2.一个正方体容器，从里面量棱长为2分米，向容器内倒入5升水，再把一小块石头完全浸入水中，这时容器中的水深1.5分米，求石头的体积。3.一只乌鸦站在一个长8厘米，宽6厘米，高60厘米的长方体玻璃容器前想要喝水，此时玻璃容器里有25厘米高的水，当水位上升到50厘米时，乌鸦就能喝到水了，请问乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水?(假定每块石头的体积相当于棱长为1厘米的小正方体的体积)【奥数拓展一】切拼问题拓展其一。小东摆弄三块长7厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少?【专项训练】1.军军摆弄三块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少?2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是11厘米，宽是7厘米，厚度是15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸(重叠的部分大约需要彩纸80平方厘米)?3.将168个棱长为1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，那么这个最小的表面积是多少平方厘米?【奥数拓展二】切拼问题拓展其二。一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面积增加了80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米?【专项训练】1.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少?2.一个正方体的高增加4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了96平方厘米，求原来正方体的体积。3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面，如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少144平方厘米，原来有多少个小正方体?【奥数拓展三】体积的变化问题。一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。【专项训练】1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。2.如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平方厘米，求图中阴影部分的面积。3.有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀(如图)，切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米，那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米?【奥数拓展四】长方体与生活实际应用。把一堆砖按同一方向垒成长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖的长方体形状，然后给砖的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块?【专项训练】1.用3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长56厘米、宽36厘米、高43厘米，这个木箱的容积是多少立方米?2.要砌一个1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖?3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是2448平方厘米，从一端锯下一个最大的正方体，正方体表面积为216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样的正方体?(注：每锯一次会损耗长2毫米的木料)【奥数拓展五】等积变形问题拓展。有A、B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为30分米×20分米×10分米，高为10分米，里面水深8分米；B储水器的尺寸为20分米×10分米×10分米，高为10分米，里面水深2分米，现在从A储水器中抽一部分水到B储水器中，使两个储水器中的水面一样高，求B储水器中的水面将升高多少分米?【专项训练】1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，现在要把这块地推平整，那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上?2.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中水面同样高，问：乙水池中水面高多少?3.在下图①的容器内放水到18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使水面与ABCD面保持平行，这样，没有水的部分的高度为8厘米，如果再把该容器按下图③那样横着放，现欲让水深变为7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉多少毫升?【奥数拓展六】折叠问题拓展。一块长方形铁皮(厚度不计)的四个角上各剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升.已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。【专项训练】1.有一块长22厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是432立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。2.有一块长方形铁皮(厚度不计)，长32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。3.如图所示，将长16厘米、宽12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长为整厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分别是多少厘米时，这个无盖盒的容积最大?【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积。如图所示，有一个棱长为12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘米?【专项训练】1.在一个棱长为4分米的正方体零件的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长2分米的正方形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少?2.在一个棱长为3分米的正方体模型的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长1分米的正方形的孔，这个模型剩下部分的表面积是多少?3.如图所示，有一个边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方体)，那么，余下部分的表面积是多少平方厘米?【奥数拓展八】排水法求体积拓展。有一个长方体容器，从里面量长6分米、宽5分米、高5分米，给里面注入2分米深的水，如果把一块棱长是3分米的正方体铁块放入水中，正方体铁块的一面与容器底面紧贴，水面上升多少分米?【专项训练】1.一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长为15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁块取出，容器里水深多少厘米?2.如图所示，在长、宽、高分别为10cm、10cm、6cm的长方体容器中盛有深4cm的水，若向容器中放入一个棱长为5cm的正方体铁块，那么，水深变为多少?3.在一个长24分米、宽9分米、高8分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，那么，水位上升多少分米?【奥数拓展九】表面积最值问题其一。棱长分别是3、5、8的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最小的那个立体的表面积是多少?(单位：厘米)【专项训练】1.棱长分别是4厘米、7厘米、10厘米的三个正方体被粘在一起，在这些用各种方式粘在一起的立体中，表面积最大的那个立体的表面积是多少?2.将一个长30厘米、宽20厘米、高10厘米的长方体木块分割成四个完全相同的小长方体，表面积最多增加多少平方厘米?3.如图，将25块边长为1的正方体积木堆放成一个几何体，看谁堆放的几何体的表面积最小?最小的表面积是多少?【奥数拓展十】表面积最值问题其二。一种长方体物品长17厘米、宽7厘米、高3厘米，现要把12件这样的物品拼成一个大长方体包装物，如何包装能使大长方体的表面积最小，最小是多少?【专项训练】1.晓明用10块长7厘米、宽5厘米、高3厘米的长方体积木堆拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少平方厘米?2.将12件长9分米、宽7分米、高5分米的小长方体物品堆放成一个大长方体，这个大长方体的表面积最小是多少?3.一个集装箱，它的内尺寸是18×18×18,现在有一批货箱，它的外尺寸是1×4×9，这只集装箱能装多少只货箱?目录TOC\o"1-1"\h\u【课内精选一】切拼问题其一 3【课内精选二】切拼问题其二 4【课内精选三】不规则立体图形的表面积 6【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用 7【课内精选五】等积变形问题 8【课内精选六】折叠问题 9【课内精选七】排水法求体积 11【奥数拓展一】切拼问题拓展其一 13【奥数拓展二】切拼问题拓展其二 14【奥数拓展三】体积的变化问题 15【奥数拓展四】长方体与生活实际应用 17【奥数拓展五】等积变形问题拓展 18【奥数拓展六】折叠问题拓展 19【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积 21【奥数拓展八】排水法求体积拓展 23【奥数拓展九】表面积最值问题其一 24【奥数拓展十】表面积最值问题其二 26苏教版2024-2025学年六年级数学上册夯实提炼第一单元长方体和正方体·思维素养篇·第二部分【从课内到奥数】【课内精选一】切拼问题其一。把一个长方体切成两个完全一样的正方体，表面积增加了32平方厘米，如图所示，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米?解析：32÷2=16(平方厘米)16×10=160(平方厘米)答：原来这个长方体的表面积是160平方厘米。【专项训练】1.把一个长方体切成三个一样的正方体，表面积增加了40平方厘米，那么，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米?解析：40÷4×(3×4+2)=140(平方厘米)所以，原来长方体的表面积是140平方厘米。2.如图，一个正方体棱长是8厘米，把它切成两个完全一样的长方体，那么，每个长方体的表面积是多少?解析：8×8×2+8×4×4=256(平方厘米)或8×8×4=256(平方厘米)所以，每个长方体的表面积是256平方厘米。3.如图所示，一个正方体木块的表面积是192平方厘米，把它锯成体积相等的8个小正方体木块，那么，每个小正方体木块的表面积是多少?解析：192÷6=32(平方厘米)32÷4×6=48(平方厘米)所以，每个小木块的表面积是48平方厘米。【课内精选二】切拼问题其二。一个长方体木块的长、宽、高依次为8分米、4分米和2分米，现在把它锯成若干个小正方体，再把这些小正方体拼成一个大正方体，那么，这个大正方体的表面积是多少?解析：我们可以先求长方体的体积，得到所拼正方体的棱长，然后求出正方体的表面积。8×4×2=64=4×4×44×4×6=96(平方分米)答：这个大正方体的表面积是96平方分米。【专项训练】1.如图所示，大正方体的棱长为4厘米，它由8个小正方体组成，现在把小正方体排成一个长方体，这个长方体的表面积是多少?解析：4÷2=2(厘米),2×8=16(厘米)16×2×4+2×2×2=128+8=136(平方厘米)所以，这个长方体的表面积是136平方厘米。2.如图所示，大正方体的棱长为6厘米，它由8个小正方体组成.现在把小正方体排成一个长方体，这个长方体的表面积比大正方体增加多少?解析：6÷2=3(厘米)3×8=24(厘米)24×3×4+3×3×2=288+18=306(平方厘米)6×6×6=216(平方厘米)306—216=90(平方厘米)所以，比大正方体增加90平方厘米。3.把一个长25厘米、宽10厘米、高4厘米的长方体木块锯成若干个棱长为1厘米的小正方体，然后拼成一个大的正方体.这个大正方体的表面积是多少平方厘米?解析：大正方体的体积等于原长方体的体积，其值为25×10×4=1000(立方厘米)，又考虑到1000=10×10×10，于是，大正方体的棱长为10厘米，因此，大正方体的表面积为10×10×6=600(平方厘米)。【课内精选三】不规则立体图形的表面积。如图1、图2所示，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。解析：我们把这两个立体图形恢复成图3，从图3中挖去一个正方体变成图1，挖去上面、前面、右面三个1×1=1(平方厘米)的面，同时又增加了下面、后面、左面三个1×1=1(平方厘米)的面，实际上表面积并没有增减，所以，图1的表面积仍是(6×5+5×4+6×4)×2=74×2=148(平方厘米)。再看，从图3中挖去一个正方体变成图2，挖去上面、前面两个1×1=1(平方厘米)的面，同时又增加了下面、后面、左右面共四个1×1=1(平方厘米)的面，因此，表面积增加了两个面，所以，图2的表面积是(6×5+5×4+6×4)×2+1×1×2=74×2+2=150(平方厘米)【专项训练】1.如图，从两个相同的长方体上分别挖去一个棱长为1厘米的小正方体，求这两个立体图形的表面积(单位：厘米)。解析：(5.5×4+5.5×3+4×3)×2=101(平方厘米)(5.5×4+5.5×3+4×3)×2+1×1×2=103(平方厘米)所以，这两个立体图形的表面积分别是101平方厘米和103平方厘米。2.如图所示，在一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体木块中挖去一个棱长是2厘米的小正方体的孔，这个长方体现在的表面积是多少?解析：(6×5+5×4+6×4)×2+2×2×4=164(平方厘米)所以，现在的表面积是164平方厘米。3.如图所示，在一个长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块上搭上一个棱长是2厘米的小正方体木块。搭成的物体表面积是多少?解析：(5×4+5×3+4×3)×2+2×2×4=110(平方厘米)所以，搭成的物体表面积是110平方厘米。【课内精选四】长方体表面积和体积与生活实际应用。一段方钢，长是2米，横截面是一个边长为4厘米的正方形，已知1立方厘米的钢重8.8克，那么，这段方钢重多少千克?解析：2米=200厘米4×4×200=3200(立方厘米)3200×8.8=28160(克)=28.16(千克)答：这段方钢重28.16千克。【专项训练】1.用500块同样的方砖砌成一堵长10米、宽10厘米、高0.5米的墙，这堵墙的体积是多少立方米?平均每块砖的体积是多少立方分米?解析：10×0.1×0.5=0.5(立方米)0.5立方米=500(立方分米)500÷500=1(立方分米)所以，这堵墙的体积是0.5立方米，平均每块砖的体积是1立方分米。2.在一个练功房里，铺设了2600块长50厘米、宽10厘米、厚3厘米的木质地板，这个练功房要铺设多少立方米的地板?解析：0.5×0.1×0.03×2600=3.9(立方米)所以，这个练功房要铺设3.9立方米的地板。3.有一个花坛，高0.5米，底面是边长为1.4米的正方形，那么，花坛所占的空间有多大?解析：1.4×1.4×0.5=0.98(立方米)所以，花坛所占的空间有0.98立方米。【课内精选五】等积变形问题。如图1，有一个长方体容器，长30厘米、宽22厘米、高14厘米，里面的水深7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米?解析：因为长方体容器中水的形状也是一个长方体，水的体积是30×22×7=4620(立方厘米)，当把这个容器竖起来，如图2,底面的面积是22×14=308(平方厘米)，但水的体积并没有变化，将体积除以底面积就可以求出水的深度。30×22×7÷(22×14)=30×7÷14=15(厘米)答：垂直竖起来后水深15厘米。【专项训练】1.如图所示，有一个长方体容器，长22厘米、宽12厘米、高11厘米，里面的水深7厘米，如果把这个容器盖紧，再向右垂直竖起来，容器里面的水深多少厘米?解析：22×12×7÷(12×11)=14(厘米)所以，垂直竖起来后水深14厘米。2.王师傅准备把三块棱长是4厘米的正方体铁块熔铸成一个大长方体，这个长方体的底面是一个边长为4厘米的正方形，那么，它的高是多少厘米?解析：4×4×4×3÷(4×4)=12(厘米)所以，它的高是12厘米。3.把一个长5厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体铁块和一个棱长是3厘米的正方体铁块熔铸成一块长方体铁条，这块长方体铁条的底面积是3平方厘米，那么，它的高是多少厘米?解析：(5×3×2+3×3×3)÷3=19(厘米)所以，它的高是19厘米。【课内精选六】折叠问题。如图是四张相同的正方形厚纸，边长都是12厘米，在四个角上各剪去一个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图1、图2、图3、图4中，哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少?解析：我们不能光凭猜测，不妨先计算一下，再比较就行了。按图1中的剪法，纸盒的长和宽分别是12-4×2=4(厘米),高是4厘米，那么，容积是(12-4×2)²×4=64(立方厘米)；按图2中的剪法，容积是(12—3×2)²×3=108(立方厘米)；按图3中的剪法，容积是(12-2×2)²×2=128(立方厘米)；按图4中的剪法，容积是(12—1×2)²×1=100(立方厘米)显然，按图3的剪法容积最大，容积是128立方厘米。【专项训练】1.如图所示是四张相同的正方形厚纸，边长都是16厘米，在四个角上各剪去一个相同的小正方形，然后分别做成无盖的纸盒，在图1、图2、图3、图4中，哪张厚纸做出的纸盒容积最大?它的容积是多少?解析：按图1的剪法，容积是(16—4×2)²×4=256(立方厘米)；按图2的剪法，容积是(16—3×2)²×3=300(立方厘米)；按图3的剪法，容积是(16—2×2)²×2=288(立方厘米)；按图4的剪法，容积是(16—1×2)²×1=196(立方厘米)显然，按图2的剪法容积最大，为300立方厘米。2.一张边长为30厘米的正方形纸，从它的四个角上剪去四个相同的小正方形(小正方形的边长是整厘米数)，将剩下的部分折成一个无盖的长方体纸盒，这个纸盒的容积最大是多少?解析：尝试计算，假设剪去小正方形的边长分别为1，2，3，4，5，6，7，…，当剪去小正方形的边长为5厘米时，这个纸盒的容积最大，为(30—5×2)×(30—5×2)×5=2000(立方厘米)3.有一块正方形铁皮，从四个顶点处各剪下一个边长为4分米的正方形后，所剩部分正好焊接成一个无盖的正方体铁皮盒(铁皮的厚度不计)。(1)这个铁皮盒用铁皮多少平方分米?(2)原来铁皮的面积是多少?解析：(1)4×4×5=80(平方分米)，所以，这个铁皮盒用铁皮80平方分米；(2)4×4×3×3=144(平方分米)，所以，原来铁皮的面积是144平方分米。【课内精选七】排水法求体积。在一个长15分米、宽12分米的长方体水箱中，有10分米深的水，如果在水中沉入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么，水箱中水深多少分米?解析：30厘米=3分米(15×12×10+3×3×3)÷(15×12)=10.15(分米)答：水箱中水深10.15分米。【专项训练】1.一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，水深3分米，如果把一块棱长为2分米的正方体铁块浸没于水中，水面将上升多少分米?解析：2³÷(5×4)=0.4(分米)所以，水面将上升0.4分米。2.一个正方体容器，从里面量棱长为2分米，向容器内倒入5升水，再把一小块石头完全浸入水中，这时容器中的水深1.5分米，求石头的体积。解析：先求出石头浸入水中后石块和水的体积和，再从中去掉水的体积，就得到石头的体积，2×2×1.5-5=1(立方分米)所以，石头的体积是1立方分米。3.一只乌鸦站在一个长8厘米，宽6厘米，高60厘米的长方体玻璃容器前想要喝水，此时玻璃容器里有25厘米高的水，当水位上升到50厘米时，乌鸦就能喝到水了，请问乌鸦要往水里扔多少块石头才能喝到水?(假定每块石头的体积相当于棱长为1厘米的小正方体的体积)解析：先计算水面上升的这部分水的体积，再将水上升的体积除以每块石头的体积，就可以得到多少块石头。8×6×(50—25)÷1³=1200(块)所以，乌鸦要往水里扔1200块石头才能喝到水。【奥数拓展一】切拼问题拓展其一。小东摆弄三块长7厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少?解析：图1：(7×3×6+7×3×4+6×4)×2=468(平方厘米)图2：(6×3×7+6×3×4+7×4)×2=452(平方厘米)图3：(4×3×7+4×3×6+7×6)×2=396(平方厘米)所以，图3所示拼法的表面积最小，为396平方厘米。【专项训练】1.军军摆弄三块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体积木，要把它们拼成一个表面积最小的大长方体，这个大长方体的表面积是多少?解析：(3×3×6+3×3×4+6×4)×2=228(平方厘米)所以，这个大长方体的表面积是228平方厘米。2.玲玲准备把四盒英语磁带用彩纸包装在一起，每盒磁带的长是11厘米，宽是7厘米，厚度是15毫米，那么，包装这四盒磁带至少需要多少平方厘米的彩纸(重叠的部分大约需要彩纸80平方厘米)?解析：15×4=60(毫米)=6(厘米)(11×7+11×6+7×6)×2+80=450(平方厘米)所以，包装这四盒磁带至少需要450平方厘米的彩纸。3.将168个棱长为1厘米的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，那么这个最小的表面积是多少平方厘米?解析：168=2³×3×7，因此，若将168分解成三个最接近的因数的乘积，则这三个因数分别为4、6、7，这样再计算长方体的表面积：(4×6+4×7+6×7)×2=188(平方厘米)所以，表面积最小是188平方厘米。【奥数拓展二】切拼问题拓展其二。一个正方体的高增加4分米后，得到一个底面不变的长方体，它的表面积比原正方体的表面积增加了80平方分米，原来正方体的体积是多少立方分米?解析：80÷4÷4=5(分米)5×5×5=125(立方分米)答：原来正方体的体积是125立方分米。【专项训练】1.一个长方体，如果高增加3厘米，就变成一个底面不变的正方体，这时表面积比原来增加48平方厘米，原来长方体的表面积和体积分别是多少?解析：48÷3÷4=4(厘米)4—3=1(厘米)(4×4+4×1+4×1)×2=48(平方厘米)4×4×1=16(立方厘米)所以，原来长方体的表面积是48平方厘米，体积是16立方厘米。2.一个正方体的高增加4厘米，就得到一个底面不变的长方体，表面积增加了96平方厘米，求原来正方体的体积。解析：96÷4÷4=6(厘米)6×6×6=216(立方厘米)所以，原来正方体的体积是216立方厘米。3.如图所示，将若干个相同的小正方体叠成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面，如果整个长方体的表面积是2664平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新长方体的表面积比原来减少144平方厘米，原来有多少个小正方体?解析：拿去一个正方体，少了4个正方形的面，144÷4=36(平方厘米)，36=6×6，因此，小正方体的棱长是6厘米，(2664—6×6×2)÷4÷36=18(个)所以，原来有18个小正方体。【奥数拓展三】体积的变化问题。一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。解析：由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20(平方厘米)；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30(平方厘米)；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24(平方厘米)，不难求出长方体的表面积。(20+30+24)×2=148(平方厘米)答：原长方体的表面积是148平方厘米。【专项训练】1.一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米，求原长方体的表面积。解析：(48÷2+65÷5+96÷4)×2=122(平方厘米)所以，原长方体的表面积是122平方厘米。2.如图所示，一个体积是160立方厘米的长方体，有两个面的面积分别是20平方厘米和32平方厘米，求图中阴影部分的面积。解析：高：160÷32=5(厘米)长：160÷20=8(厘米)阴影面积=8×5=40(平方厘米)3.有一个长方体，先后沿着不同方向切了三刀(如图)，切完第一刀后得到的两个小长方体的表面积之和是472平方厘米，切完第二刀后得到的四个小长方体表面积之和是632平方厘米，切完第三刀后得到的8个小长方体的表面积之和是752平方厘米，那么，原来长方体六个面中面积最小的是多少平方厘米?解析：(632-472)÷2=80(平方厘米)(752—632)÷2=60(平方厘米)(472—80×2—60×2)÷4=48(平方厘米)所以，原来长方体六个面中面积最小的是48平方厘米。【奥数拓展四】长方体与生活实际应用。把一堆砖按同一方向垒成长为30块砖，宽为20块砖，高为10块砖的长方体形状，然后给砖的表面涂上石灰水，那么没有洒上石灰水的砖共有多少块?解析：(30—2)×(20—2)×(10—1)=28×18×9=4536(块)答：没有洒上石灰水的砖共有4536块。【专项训练】1.用3厘米厚的木板做成一个无盖的长方体箱子，从外面量，箱子长56厘米、宽36厘米、高43厘米，这个木箱的容积是多少立方米?解析：(56-3×2)×(36—3×2)×(43-3)=60000(立方厘米)=0.06(立方米)所以，这个木箱的容积是0.06立方米。2.要砌一个1米高的砖垛，每层砖都按如图所示的方式来砌，每块砖的厚度都是0.1米，每两块砖之间灰膏的厚度为0.05米，砌好这个砖垛共需要多少块砖?解析：(1-0.1)÷(0.1+0.05)+1=7(层)2×4×7=56(块)所以，砌好这个砖垛共需要56块砖。3.一根截面是正方形的长方体木料，表面积是2448平方厘米，从一端锯下一个最大的正方体，正方体表面积为216平方厘米，这根木料最多能锯出多少个这样的正方体?(注：每锯一次会损耗长2毫米的木料)解析：首先，2毫米=0.2厘米，正方体的表面积为216平方厘米，也就是正方体每个面的面积是216÷6=36(平方厘米)，因此正方体的棱长为6厘米。然后，计算截面是正方形的长方体木料的长为(2448-36×2)÷4÷6=99(厘米)最后用到植树问题的相关知识，一共可以锯出(99+0.2)÷(6+0.2)=16(个)这样的正方体。【奥数拓展五】等积变形问题拓展。有A、B两个长方体储水器，A储水器的尺寸为30分米×20分米×10分米，高为10分米，里面水深8分米；B储水器的尺寸为20分米×10分米×10分米，高为10分米，里面水深2分米，现在从A储水器中抽一部分水到B储水器中，使两个储水器中的水面一样高，求B储水器中的水面将升高多少分米?解析：我们要知道，将水从一个容器抽到另一个容器中，那么两个容器中水的体积和是不变的，因此，不妨先算出水的体积和，现在是放在两个储水器的底面积上，也就是说，已经有了水的体积和底面积，求水面的高度，这样，就不难知道水面升高多少分米了。30×20×8+20×10×2=5200(立方分米)30×20+20×10=800(平方分米)5200÷800=6.5(分米)6.5—2=4.5(分米)答：B储水器中的水面将升高4.5分米。【专项训练】1.如图所示，有一块长方形土地，甲部分比乙部分高50厘米，现在要把这块地推平整，那么，要从甲部分取下多少厘米厚的土填在乙部分上?解析：0.5-30×60×0.5÷(100×30)=0.2(米)=20(厘米)所以，要从甲部分取下20厘米厚的土填在乙部分上。2.有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米，现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个池中水面同样高，问：乙水池中水面高多少?解析：设水面高x分米，8×6×(3-x)=6×4×x，x=23.在下图①的容器内放水到18厘米高，然后，把它像下图②那样倒过来放，使水面与ABCD面保持平行，这样，没有水的部分的高度为8厘米，如果再把该容器按下图③那样横着放，现欲让水深变为7.5厘米，则应把开始注入的水倒掉多少毫升?解析：容器的总容积为12×15×(18+8)=4680(立方厘米)，若将它按图3那样横放，则水的体积应是4680÷(15÷7.5)=2340(立方厘米)所以，倒掉的水应该是12×15×18—2340=900(立方厘米)。【奥数拓展六】折叠问题拓展。一块长方形铁皮(厚度不计)的四个角上各剪去边长为2.8分米的正方形，焊成一个长方体铁皮盒，可以盛水546升.已知这块长方形铁皮的长是21.2分米，求长方形铁皮的面积。解析：546升也就是546立方分米，我们先计算长方体铁盒的宽，才能知道长方形铁皮的宽，然后再计算长方形铁皮的面积。546÷[(21.2-2.8×2)×2.8]=546÷43.68=12.5(分米)21.2×(12.5+2.8×2)=383.72(平方分米)答：长方形铁皮的面积为383.72平方分米。【专项训练】1.有一块长22厘米的长方形铁皮，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长是3厘米的正方形，然后焊接成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是432立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。解析：432÷3÷(22—3×2)=9(厘米)22×(9+3×2)=330(平方厘米)所以，原来长方形铁皮的面积是330平方厘米。2.有一块长方形铁皮(厚度不计)，长32厘米，在这块铁皮的四个角上各剪去一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体盒子，已知这个盒子的容积是768立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。解析：768÷4÷(32-4×2)=8(厘米)32×(8+4×2)=512(平方厘米)所以，原来长方形铁皮的面积是512平方厘米。3.如图所示，将长16厘米、宽12厘米的长方形铁片的四个角上各剪掉一个边长为整厘米的小正方形，然后做成一个无盖的长方体盒，当这个盒的长、宽、高分别是多少厘米时，这个无盖盒的容积最大?解析：设四个角上去掉的小正方形的边长为a厘米，则无盖盒的长为(16—2a)厘米，宽为(12-2a)厘米，高为a厘米容积为V=(16—2a)(12-2a)a=4a(8—a)(6—a)当a=1时，V=140;当a=2时，V=192；当a=3时，V=180;当a=4时，V=128；当a=5时，V=60.所以，当a=2，即长、宽、高依次为12、8、2厘米时，容积最大。【奥数拓展七】不规则立体图形的表面积和体积。如图所示，有一个棱长为12厘米的正方体木块，从它的上面、前面、左面中心分别凿穿一个边长为4厘米的正方形孔，那么，穿孔后木块的体积是多少立方厘米?解析：12³-4²×12×3+4³×2=4³×3³—4²×4×3×3+4³×2=4³×3³—4³×(9—2)=4³×(27—7)=1280(立方厘米)答：穿孔后木块的体积是1280立方厘米。【专项训练】1.在一个棱长为4分米的正方体零件的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长2分米的正方形的孔，这个零件穿孔后的体积是多少?解析：4×4×4-(2×2×4×3-2×2×2×2)=64—32=32(立方分米)所以，这个零件的体积是32立方分米。2.在一个棱长为3分米的正方体模型的6个面中心向对面凿穿一个横截面是边长1分米的正方形的孔，这个模型剩下部分的表面积是多少?解析：如图所示，剩下部分的表面积可分为两种情况：一种是在棱中间的正方体A，有12个，表面积为1×1×1×4×12=48(平方分米)；另一种是在顶点处的正方体B，有8个，表面积为1×1×3×8=24(平方分米)48+24=72(平方分米)。所以，这个模型剩下部分的表面积是72平方分米。3.如图所示，有一个边长为5厘米的立方体木块，在它的每个角以及每条棱和每个面的中间各挖去一个边长为1厘米的小立方体(即图中画有阴影的那些小立方体)，那么，余下部分的表面积是多少平方厘米?解析：挖在角上，表面积无增减；挖在棱上，每次增加两个正方形的面积；挖在面上，每次增加四个正方形的面积.5×5×6+1×1×2×12+1×1×4×6=198(平方厘米)，所以，余下部分的表面积是198平方厘米。【奥数拓展八】排水法求体积拓展。有一个长方体容器，从里面量长6分米、宽5分米、高5分米，给里面注入2分米深的水，如果把一块棱长是3分米的正方体铁块放入水中，正方体铁块的一面与容器底面紧贴，水面上升多少分米?解析：解决这类问题，关键是要先判断铁块是否完全浸没在水中，假设铁块完全浸没在水中，这时，水面的高度是(6×5×2+3×3×3)÷(6×5)=87÷30=2.9(分米)。而铁块的棱长只有3分米，3>2.9，因此，铁块没有完全浸没在水中，这也就是说，容器中的水被放入的铁块排开在周围，由于“正方体铁块的一面与容器底面紧贴”，此时水的底面积是容器底面积与铁块底面积的差，可以先求出此时水面的高度，再看上升了多少分米。(6×5×2)÷(6×5—3×3)=60÷21≈2.86(分米)2.86—2=0.86(分米)答：水面大约上升0.86分米。【专项训练】1.一个长方体容器的底面是一个边长为60厘米的正方形，容器里直立着一个高1米、底面边长为15厘米的正方形的长方体铁块，这时容器里的水深0.5米，如果把铁块取出，容器里水深多少厘米?解析：0.5米=50厘米，容器里水深(60×60—15×15)×50÷(60×60)=46.875(厘米)2.如图所示，在长、宽、高分别为10cm、10cm、6cm的长方体容器中盛有深4cm的水，若向容器中放入一个棱长为5cm的正方体铁块，那么，水深变为多少?解析：先判断铁块是否完全浸没在水中，(10×10×4+5×5×5)÷(10×10)=5.25(cm)5.25>5，说明此时水面的高度大于铁块的高度，完全浸没的所以，水深变为5.25cm。3.在一个长24分米、宽9分米、高8分米的水槽中，注入4分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，那么，水位上升多少分米?解析：假设铁块完全浸没。(24×9×4+6×6×6)÷(24×9)=1080÷216=5(分米)5<6，说明没有完全浸没。(24×9×4)÷(24×9—6×6)=864÷180=4.8(分米)4.