弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)与有限元法(FEM)的比较

弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)与有限元法(FEM)的比较1弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)与有限元法(FEM)的比较1.1绪论1.1.1弹性力学数值方法简介弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的学科。在实际工程问题中，物体的形状、材料属性和外力作用往往非常复杂，解析解难以求得。因此，数值方法成为解决这类问题的重要工具。数值方法通过将连续的物理问题离散化，转化为一系列的代数方程，然后通过计算机求解这些方程，从而得到问题的近似解。1.1.2有限体积法与有限元法的历史背景有限体积法(FVM)和有限元法(FEM)是两种广泛应用于弹性力学数值分析的方法。FEM最早由工程师们在1950年代提出，用于解决结构力学问题，随后在60年代被数学家们系统化和理论化。FVM则是在流体力学领域发展起来的，主要用于求解偏微分方程，特别是对流扩散方程。尽管两者的发展背景不同，但它们在解决弹性力学问题时都展现了各自的优势和局限性。1.2有限体积法(FVM)1.2.1原理FVM的核心思想是基于守恒定律，将计算域划分为一系列控制体积，然后在每个控制体积上应用守恒定律，得到控制体积的守恒方程。这些方程组成了整个计算域的离散方程组，通过求解这些方程，可以得到控制体积内的物理量的平均值。在弹性力学中，FVM主要用于求解应力和应变的分布。1.2.2内容在弹性力学中应用FVM，首先需要将物体的计算域离散化为一系列的控制体积。然后，对于每个控制体积，应用弹性力学的基本方程，如平衡方程和本构方程，得到控制体积的守恒方程。这些方程通常是非线性的，需要通过迭代方法求解。1.2.2.1示例假设我们有一个简单的弹性力学问题，需要求解一个长方体在均匀压力作用下的应力分布。我们可以将长方体离散化为一系列的小立方体，每个小立方体作为一个控制体积。然后，对于每个控制体积，应用平衡方程和胡克定律，得到控制体积的守恒方程。这里，我们不提供具体的代码示例，但可以描述一个简单的算法流程：离散化计算域：将长方体离散化为小立方体。定义控制体积：每个小立方体作为一个控制体积。应用守恒定律：对于每个控制体积，应用平衡方程和胡克定律。求解方程组：通过迭代方法求解得到的非线性方程组。后处理：分析和可视化应力分布结果。1.3有限元法(FEM)1.3.1原理FEM的核心思想是将计算域划分为一系列的单元，然后在每个单元上假设物理量的分布形式，通常是多项式函数。通过在单元边界上应用边界条件和在单元内部应用弹性力学的基本方程，可以得到单元的刚度矩阵。将所有单元的刚度矩阵组合起来，形成整个计算域的刚度矩阵，然后求解这个矩阵方程，得到物理量的分布。1.3.2内容在弹性力学中应用FEM，首先需要将物体的计算域离散化为一系列的单元。然后，对于每个单元，假设应力和应变的分布形式，通常是多项式函数。通过在单元边界上应用边界条件和在单元内部应用弹性力学的基本方程，可以得到单元的刚度矩阵。将所有单元的刚度矩阵组合起来，形成整个计算域的刚度矩阵，然后求解这个矩阵方程，得到应力和应变的分布。1.3.2.1示例考虑一个简单的弹性力学问题，需要求解一个长方体在均匀压力作用下的应力分布。我们可以将长方体离散化为一系列的三角形或四边形单元。然后，对于每个单元，假设应力和应变的分布形式为线性函数。通过在单元边界上应用边界条件和在单元内部应用弹性力学的基本方程，可以得到单元的刚度矩阵。这里，我们不提供具体的代码示例，但可以描述一个简单的算法流程：离散化计算域：将长方体离散化为三角形或四边形单元。定义单元：每个单元上假设应力和应变的分布形式为线性函数。应用弹性力学方程：在单元边界上应用边界条件，在单元内部应用弹性力学的基本方程。求解方程组：组合所有单元的刚度矩阵，形成整个计算域的刚度矩阵，然后求解这个矩阵方程。后处理：分析和可视化应力分布结果。1.4FVM与FEM的比较1.4.1离散化方法FVM通常使用控制体积进行离散化，而FEM则使用单元进行离散化。FVM的离散化方法更接近于物理守恒定律，而FEM的离散化方法更灵活，可以适应各种复杂的几何形状。1.4.2方程求解FVM得到的方程通常是守恒形式的，而FEM得到的方程通常是变分形式的。FVM的方程求解通常需要迭代方法，而FEM的方程求解通常可以通过直接求解刚度矩阵方程得到。1.4.3应用领域FVM主要应用于流体力学和热力学领域，而FEM则广泛应用于结构力学、热力学、电磁学等多个领域。在弹性力学中，FEM更为常用，因为它可以更好地处理复杂的几何形状和边界条件。1.4.4总结FVM和FEM都是解决弹性力学问题的有效数值方法，但它们的离散化方法、方程求解和应用领域有所不同。选择哪种方法取决于具体问题的性质和求解者的需求。在实际应用中，FEM由于其灵活性和广泛的应用领域，更为常用。然而，FVM在处理守恒问题时，具有其独特的优势，因此在某些特定领域，如流体力学，也得到了广泛的应用。请注意，上述示例中并未提供具体可操作的代码和数据样例，因为这需要详细的数学模型和复杂的数值算法，超出了本教程的范围。但是，通过上述描述，读者可以理解FVM和FEM在弹性力学数值分析中的基本应用流程和它们之间的主要区别。2有限体积法(FVM)基础2.1FVM的基本原理有限体积法(FVM)是一种广泛应用于流体力学、热传导和弹性力学等领域的数值方法。其核心思想是将计算域划分为一系列控制体积，然后在每个控制体积上应用守恒定律。在弹性力学中，FVM通过在每个控制体积上应用平衡方程和本构关系，来求解应力和应变的分布。2.1.1控制体积控制体积是FVM中的基本单元，可以是任意形状，但通常选择为四边形或六面体。每个控制体积的边界上定义了通量，这些通量代表了物理量（如应力）通过边界的变化。2.1.2守恒定律在弹性力学中，守恒定律主要体现在动量守恒和能量守恒上。FVM通过在控制体积上积分这些守恒定律，将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。2.2FVM的离散化过程FVM的离散化过程包括网格划分、通量计算和代数方程组的建立。2.2.1网格划分网格划分是将计算域划分为一系列控制体积的过程。网格的大小和形状直接影响到计算的精度和效率。2.2.2通量计算通量计算是在控制体积边界上进行的，它涉及到物理量的插值和数值积分。在弹性力学中，通量通常表示为应力和应变的函数。2.2.3代数方程组的建立通过在每个控制体积上应用守恒定律，可以得到一系列关于控制体积中心点的物理量（如位移、应力）的代数方程。这些方程组可以通过迭代方法求解。2.3FVM在弹性力学中的应用在弹性力学中，FVM主要用于求解应力和应变的分布。下面通过一个简单的二维弹性力学问题来说明FVM的应用。2.3.1问题描述假设有一个矩形的弹性体，其长为1m，宽为0.5m，受到均匀的横向力作用。弹性体的材料属性为弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。求解弹性体内部的应力分布。2.3.2网格划分首先，将计算域划分为10x5的矩形网格，每个网格的大小为0.1mx0.1m。importnumpyasnp

#网格参数

nx,ny=10,5

dx,dy=0.1,0.1

#创建网格

x=np.linspace(0,1,nx+1)

y=np.linspace(0,0.5,ny+1)

X,Y=np.meshgrid(x,y)2.3.3通量计算在每个网格边界上，计算应力通量。这里假设应力通量与应力成正比，且应力与位移成线性关系。#材料属性

E,nu=200e9,0.3

#应力通量计算

defstress_flux(u,v,x,y):

du_dx=(u[1:]-u[:-1])/dx

dv_dy=(v[:,1:]-v[:,:-1])/dy

sigma_x=E*du_dx/(1-nu**2)

sigma_y=E*dv_dy/(1-nu**2)

tau_xy=E*(du_dy+dv_dx)/(2*(1+nu))

returnsigma_x,sigma_y,tau_xy2.3.4代数方程组的建立通过在每个控制体积上应用平衡方程，可以得到关于位移的代数方程组。这里假设边界条件为固定边界，且外力为均匀分布。#位移初值

u=np.zeros((ny,nx))

v=np.zeros((ny,nx))

#外力

f_x=np.zeros((ny,nx))

f_y=-1e6*np.ones((ny,nx))

#平衡方程

defbalance_equation(u,v,f_x,f_y):

#应力通量

sigma_x,sigma_y,tau_xy=stress_flux(u,v,X,Y)

#应力通量的积分

sigma_x_avg=(sigma_x[1:]+sigma_x[:-1])/2

sigma_y_avg=(sigma_y[:,1:]+sigma_y[:,:-1])/2

#平衡方程

du=(sigma_x_avg[:,:-1]-sigma_x_avg[:,1:])*dy-f_x*dx*dy

dv=(sigma_y_avg[:-1,:]-sigma_y_avg[1:,:])*dx-f_y*dx*dy

returndu,dv

#求解位移

du,dv=balance_equation(u,v,f_x,f_y)2.3.5求解过程上述代码中，stress_flux函数用于计算应力通量，balance_equation函数用于建立平衡方程。通过迭代求解du和dv，可以得到位移的分布，进而求得应力的分布。2.3.6结果分析得到位移分布后，可以进一步计算应力分布，分析弹性体的变形和应力状态。#更新位移

u+=du

v+=dv

#计算应力分布

sigma_x,sigma_y,tau_xy=stress_flux(u,v,X,Y)通过上述过程，可以使用有限体积法求解弹性力学问题，得到应力和应变的分布。FVM在处理复杂几何和边界条件时具有优势，但在处理弹性力学中的非线性问题时，可能需要更复杂的数值方法。3有限元法(FEM)基础3.1FEM的基本概念有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值方法，用于求解复杂的工程问题，如结构分析、热传导、流体动力学等。在弹性力学中，FEM通过将连续的结构体离散成有限数量的单元（或称为“元素”），每个单元用一组节点来表示，从而将连续问题转化为离散问题。这种方法允许我们使用数值技术来逼近真实解，尤其适用于处理边界条件复杂或材料性质不均匀的问题。3.1.1节点与单元节点：结构体上的特定点，用于定义单元的边界。单元：由节点组成的几何体，可以是线、三角形、四边形、六面体等，每个单元内部的物理量（如位移、应力）可以通过节点上的物理量插值得到。3.1.2插值函数FEM中，单元内部的物理量通过插值函数来表达，这些函数通常为多项式，能够根据节点上的物理量值来计算单元内部任意点的物理量值。例如，在一个线性单元中，位移可以表示为节点位移的线性组合。3.2FEM的数学基础3.2.1弱形式在FEM中，原始的微分方程通常被转化为弱形式，即通过积分和加权函数来表达。弱形式允许使用更广泛的函数空间，包括不连续的函数，从而简化了数值求解过程。3.2.2加权残值法加权残值法是将微分方程的残差与一组加权函数相乘并积分，得到一组代数方程。这些加权函数通常为单元的插值函数，确保了方程在每个单元内的连续性和一致性。3.2.3虚功原理虚功原理是FEM中一个重要的概念，它基于能量守恒的原理，通过计算虚拟位移下的外力做功与内力做功的差值，来建立结构的平衡方程。3.3FEM在弹性力学中的实现在弹性力学中，FEM主要用于求解结构的位移、应力和应变。下面通过一个简单的二维弹性力学问题来说明FEM的实现过程。假设我们有一个矩形板，长为1m，宽为0.5m，厚度为0.01m，材料为钢，弹性模量为200GPa，泊松比为0.3。板的一端固定，另一端受到100N的力。我们使用FEM来计算板的位移。3.3.1步骤1：离散化首先，将矩形板离散成多个四边形单元。例如，我们可以将板划分为10x5的网格，每个单元为0.1mx0.1m。3.3.2步骤2：建立单元刚度矩阵对于每个单元，我们需要建立一个刚度矩阵，它描述了单元内部的力与位移之间的关系。刚度矩阵的大小取决于单元的自由度数，对于二维问题，每个节点有两个自由度（x和y方向的位移）。3.3.3步骤3：组装整体刚度矩阵将所有单元的刚度矩阵组装成一个整体刚度矩阵。整体刚度矩阵描述了整个结构的力与位移之间的关系。3.3.4步骤4：施加边界条件在固定端，位移为零，这需要在整体刚度矩阵中进行修改，以反映边界条件。3.3.5步骤5：求解位移使用线性代数求解技术，如高斯消元法或迭代法，求解整体刚度矩阵方程，得到结构的位移。3.3.6步骤6：计算应力和应变最后，根据位移结果，使用弹性力学的公式计算每个单元的应力和应变。3.3.7代码示例下面是一个使用Python和SciPy库来实现上述过程的简单示例。请注意，这仅是一个概念性的示例，实际应用中需要更复杂的代码来处理网格生成、边界条件和材料属性。importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义材料属性

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

nu=0.3#泊松比

t=0.01#板的厚度，单位：m

#定义单元刚度矩阵

defunit_stiffness_matrix(E,nu,t,L,H):

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

B=np.array([[1,0,-1,0],[0,1,0,-1],[0,L/H,0,L/H]])

K=t*np.dot(np.dot(B.T,D),B)/(L*H)

returnK

#定义整体刚度矩阵

defglobal_stiffness_matrix(units,nodes):

n_nodes=len(nodes)

n_dofs=2*n_nodes

K=lil_matrix((n_dofs,n_dofs))

forunitinunits:

#获取单元节点的全局编号

n1,n2,n3,n4=unit

#计算单元刚度矩阵

K_unit=unit_stiffness_matrix(E,nu,t,nodes[n2][0]-nodes[n1][0],nodes[n2][1]-nodes[n1][1])

#将单元刚度矩阵添加到整体刚度矩阵中

foriinrange(4):

forjinrange(4):

K[2*n1+i%2,2*n1+j%2]+=K_unit[i,j]

K[2*n1+i%2,2*n2+j%2]+=K_unit[i,j+1]

K[2*n3+i%2,2*n3+j%2]+=K_unit[i+2,j]

K[2*n3+i%2,2*n4+j%2]+=K_unit[i+2,j+1]

returnK.tocsr()

#定义节点和单元

nodes=np.array([[0,0],[0.1,0],[0.1,0.1],[0,0.1]])

units=np.array([[0,1,2,3]])

#创建整体刚度矩阵

K=global_stiffness_matrix(units,nodes)

#定义外力向量

F=np.zeros(2*len(nodes))

F[2]=100#在节点2的y方向施加100N的力

#施加边界条件

K[0,:]=0

K[1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,1]=0

K[0,0]=1

K[1,1]=1

F[0]=0

F[1]=0

#求解位移

U=spsolve(K,F)

#输出位移结果

print("位移结果：",U)在这个示例中，我们首先定义了材料属性和单元刚度矩阵的计算方法。然后，我们创建了一个整体刚度矩阵，并定义了外力向量。接着，我们施加了边界条件，最后使用spsolve函数求解位移。输出的位移结果可以进一步用于计算应力和应变。请注意，实际应用中，网格生成、边界条件的处理和材料属性的定义会更加复杂，需要根据具体问题进行调整。此外，计算应力和应变通常需要使用更复杂的公式，这在本示例中没有涉及。4弹性力学数值方法：有限体积法(FVM)与有限元法(FEM)的比较4.1离散化策略的对比在弹性力学的数值模拟中，有限体积法(FVM)和有限元法(FEM)是两种广泛使用的离散化技术。它们各自基于不同的数学原理和物理概念，从而在处理特定问题时展现出不同的优势和局限性。4.1.1有限体积法(FVM)FVM是基于守恒定律的离散化方法，它将计算域划分为一系列控制体积，然后在每个控制体积上应用守恒定律。这种方法特别适用于处理流体动力学和传热问题，但在弹性力学中也有应用。FVM的核心在于积分形式的守恒方程，它确保了质量、动量和能量在控制体积内的守恒。4.1.1.1原理FVM的基本思想是将连续的偏微分方程在控制体积上进行积分，从而得到离散方程。对于弹性力学中的平衡方程，FVM通过在每个控制体积上积分应力和应变的关系，来求解位移和应力场。4.1.1.2内容控制体积的划分：计算域被划分为一系列不重叠的控制体积，每个控制体积的边界上定义了通量。守恒定律的应用：在每个控制体积上应用守恒定律，得到离散的平衡方程。通量的计算：通过数值方法（如中心差分、上风差分）计算控制体积边界上的通量。4.1.2有限元法(FEM)FEM是一种基于变分原理的离散化方法，它将计算域划分为一系列有限的单元，并在这些单元上使用插值函数来逼近解。FEM能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用于广泛的工程问题，包括弹性力学。4.1.2.1原理FEM通过将弹性力学问题的微分方程转化为能量泛函的极值问题，然后使用有限维空间中的插值函数来逼近解。这种方法允许在每个单元内使用高阶多项式，从而提高解的精度。4.1.2.2内容单元的划分：计算域被划分为一系列有限的单元，每个单元内定义了插值函数。变分原理的应用：将弹性力学问题转化为能量泛函的极值问题。插值函数的选择：使用线性、二次或更高阶的多项式作为插值函数，以逼近位移和应力场。4.2适用问题的范围4.2.1有限体积法(FVM)FVM更适合处理涉及守恒定律的问题，如流体动力学中的质量、动量和能量守恒。在弹性力学中，FVM可以用于处理应力和应变的守恒问题，尤其是在处理大变形和非线性材料时，FVM的守恒特性可以提供更准确的解。4.2.2有限元法(FEM)FEM的适用范围更广，它能够处理复杂的几何形状、边界条件和材料属性。在弹性力学中，FEM是解决线性和非线性问题的首选方法，特别是在需要高精度解和处理复杂结构时。4.3计算效率与精度分析4.3.1有限体积法(FVM)FVM的计算效率通常较高，因为它在控制体积上直接应用守恒定律，避免了复杂的变分过程。然而，FVM的精度可能受到控制体积大小和通量计算方法的影响。在处理复杂几何和边界条件时，FVM可能需要更精细的网格划分，从而增加计算成本。4.3.2有限元法(FEM)FEM的精度通常较高，因为它允许在每个单元内使用高阶插值函数。然而，这种高精度是以计算成本为代价的。FEM的计算效率可能受到单元划分、插值函数选择和求解线性方程组的影响。在处理大规模问题时，FEM可能需要更高效的求解器和并行计算技术。4.3.3示例分析假设我们有一个简单的弹性力学问题，需要求解一个受力的矩形板的位移和应力场。我们使用FEM和FVM来比较它们的计算效率和精度。4.3.3.1有限元法(FEM)示例#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义问题的尺寸和材料属性

length=1.0

width=1.0

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

#单元划分

n_elements_x=10

n_elements_y=10

element_size_x=length/n_elements_x

element_size_y=width/n_elements_y

#创建全局刚度矩阵和力向量

K=lil_matrix((n_elements_x*n_elements_y*2,n_elements_x*n_elements_y*2))

F=np.zeros(n_elements_x*n_elements_y*2)

#定义单元刚度矩阵和插值函数

defelement_stiffness_matrix(E,nu,size_x,size_y):

#简化示例，实际应用中需要更复杂的插值函数和积分过程

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

B=np.array([[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0]])

returnD@B.T@B*size_x*size_y

#填充全局刚度矩阵

foriinrange(n_elements_x):

forjinrange(n_elements_y):

#简化示例，实际应用中需要考虑单元的连接和边界条件

K[i*n_elements_y*2:(i+1)*n_elements_y*2,j*n_elements_y*2:(j+1)*n_elements_y*2]+=element_stiffness_matrix(E,nu,element_size_x,element_size_y)

#应用边界条件和外力

#简化示例，实际应用中需要更复杂的边界条件处理

F[-1]=1000#在最后一个节点上施加1000N的力

#求解位移向量

U=spsolve(K.tocsr(),F)

#计算应力场

#简化示例，实际应用中需要使用插值函数和单元刚度矩阵

stress=np.zeros((n_elements_x,n_elements_y,3))

foriinrange(n_elements_x):

forjinrange(n_elements_y):

#简化示例，实际应用中需要考虑单元的连接和边界条件

u=U[i*n_elements_y*2:(i+1)*n_elements_y*2,j*n_elements_y*2:(j+1)*n_elements_y*2]

stress[i,j]=element_stiffness_matrix(E,nu,element_size_x,element_size_y)@u4.3.3.2有限体积法(FVM)示例#导入必要的库

importnumpyasnp

#定义问题的尺寸和材料属性

length=1.0

width=1.0

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

#控制体积划分

n_volumes_x=10

n_volumes_y=10

volume_size_x=length/n_volumes_x

volume_size_y=width/n_volumes_y

#创建全局平衡方程矩阵和力向量

A=np.zeros((n_volumes_x*n_volumes_y*2,n_volumes_x*n_volumes_y*2))

F=np.zeros(n_volumes_x*n_volumes_y*2)

#定义控制体积上的通量计算

defflux(E,nu,size_x,size_y,u_left,u_right):

#简化示例，实际应用中需要更复杂的通量计算方法

D=E/(1-nu**2)*np.array([[1,nu,0],[nu,1,0],[0,0,(1-nu)/2]])

returnD@(u_right-u_left)/(size_x*size_y)

#填充全局平衡方程矩阵

foriinrange(n_volumes_x):

forjinrange(n_volumes_y):

#简化示例，实际应用中需要考虑控制体积的连接和边界条件

ifi<n_volumes_x-1:

A[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,(i+1)*n_volumes_y*2:(i+2)*n_volumes_y*2]-=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,0,1)

A[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2]+=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,0,1)

ifj<n_volumes_y-1:

A[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,i*n_volumes_y*2+2:(i+1)*n_volumes_y*2+2]-=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,0,1)

A[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2]+=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,0,1)

#应用边界条件和外力

#简化示例，实际应用中需要更复杂的边界条件处理

F[-1]=1000#在最后一个控制体积上施加1000N的力

#求解位移向量

U=np.linalg.solve(A,F)

#计算应力场

#简化示例，实际应用中需要使用通量计算方法

stress=np.zeros((n_volumes_x,n_volumes_y,3))

foriinrange(n_volumes_x):

forjinrange(n_volumes_y):

#简化示例，实际应用中需要考虑控制体积的连接和边界条件

u=U[i*n_volumes_y*2:(i+1)*n_volumes_y*2,j*n_volumes_y*2:(j+1)*n_volumes_y*2]

stress[i,j]=flux(E,nu,volume_size_x,volume_size_y,u,u+1)4.3.4结论在上述简化示例中，我们比较了FEM和FVM在解决弹性力学问题时的计算效率和精度。实际应用中，FEM通常能够提供更高的精度，但可能需要更复杂的单元划分和插值函数选择。FVM则在处理守恒问题时表现出较高的计算效率，但在处理复杂几何和边界条件时可能需要更精细的控制体积划分。选择哪种方法取决于具体问题的需求和计算资源的限制。5案例研究5.1FVM与FEM在平面应力问题中的应用在平面应力问题中，结构的厚度远小于其平面尺寸，且在厚度方向上应力均匀分布。这种情况下，可以使用二维模型来简化计算。下面，我们将通过一个具体的案例来比较有限体积法(FVM)和有限元法(FEM)在解决平面应力问题时的差异。5.1.1问题描述考虑一个矩形平板，尺寸为10mx5m，厚度为0.1m，材料为钢，弹性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3。平板受到均匀的面内拉力，大小为100MPa。我们的目标是计算平板内的应力分布。5.1.2有限体积法(FVM)应用FVM通过将计算域划分为一系列控制体积，然后在每个控制体积上应用守恒定律来求解。在平面应力问题中，FVM可以用来直接求解应力和应变的守恒方程。5.1.2.1FVM网格划分假设我们使用一个简单的网格划分，将矩形平板划分为10x5的网格，每个网格的尺寸为1mx1m。5.1.2.2FVM方程离散对于每个网格，我们应用应力平衡方程，即：∂和∂这里，σx和σ5.1.2.3FVM求解过程使用FVM，我们将在每个网格边界上计算应力的通量，然后通过迭代求解来更新每个网格内的应力值，直到满足平衡条件。5.1.3有限元法(FEM)应用FEM通过将结构划分为一系列有限元，然后在每个元上建立局部的位移-应力关系，最后通过全局的平衡方程来求解整个结构的应力和位移。5.1.3.1FEM网格划分同样，我们将矩形平板划分为10x5的网格，每个网格的尺寸为1mx1m。5.1.3.2FEM方程离散对于每个有限元，我们使用位移函数来表示位移，然后通过应变-位移关系和应力-应变关系来建立局部的平衡方程。在平面应力问题中，我们通常使用三角形或四边形的有限元。5.1.3.3FEM求解过程使用FEM，我们将所有局部的平衡方程组合成一个全局的平衡方程，然后通过求解线性方程组来得到整个结构的应力和位移。5.1.4比较分析FVM和FEM在求解平面应力问题时的主要区别在于它们的基本假设和求解策略。FVM直接在控制体积上应用守恒定律，而FEM则通过位移函数来建立局部的平衡方程。在实际应用中，FEM通常提供更准确的解，因为它可以更好地处理复杂的边界条件和材料属性。然而，FVM在处理对流主导的问题时可能更有效，因为它在控制体积上的守恒性质可以更好地捕捉对流效应。5.2FVM与FEM在三维弹性问题中的比较三维弹性问题涉及到结构在三个方向上的应力和应变。在处理这类问题时，FVM和FEM的差异更加明显。5.2.1问题描述考虑一个立方体结构，尺寸为10mx10mx10m，材料为铝，弹性模量E=70GPa，泊松比ν=0.33。结构受到均匀的三维应力，大小分别为100MPa、50MPa和25MPa。我们的目标是计算结构内的三维应力分布。5.2.2有限体积法(FVM)应用在三维弹性问题中，FVM需要在每个控制体积上应用三个方向的应力平衡方程。5.2.2.1FVM网格划分假设我们使用一个简单的网格划分，将立方体结构划分为10x10x10的网格，每个网格的尺寸为1mx1mx1m。5.2.2.2FVM方程离散对于每个网格，我们应用三个方向的应力平衡方程，即：∂∂∂这里，σx、σy和5.2.2.3FVM求解过程使用FVM，我们将在每个网格边界上计算应力的通量，然后通过迭代求解来更新每个网格内的应力值，直到满足平衡条件。5.2.3有限元法(FEM)应用在三维弹性问题中，FEM需要在每个有限元上建立六个方向的位移-应力关系，然后通过全局的平衡方程来求解整个结构的应力和位移。5.2.3.1FEM网格划分同样，我们将立方体结构划分为10x10x10的网格，每个网格的尺寸为1mx1mx1m。5.2.3.2FEM方程离散对于每个有限元，我们使用位移函数来表示位移，然后通过应变-位移关系和应力-应变关系来建立局部的平衡方程。在三维弹性问题中，我们通常使用四面体或六面体的有限元。5.2.3.3FEM求解过程使用FEM，我们将所有局部的平衡方程组合成一个全局的平衡方程，然后通过求解线性方程组