2.7.1抛物线的标准方程课件高二上学期数学人教B版选择性

第二章平面解析几何抛物线的标准方程人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概念,明确p的几何意义;2.掌握抛物线的标准方程及其推导,能根据条件求标准方程;3.能用抛物线方程解决一些相关实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1抛物线的定义定点F

定直线l过关自诊1.定义中为什么加上条件“l不过F”?解

若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.2.[北师大版教材习题]如图,动圆P过定点A,且与定直线l相切,请指出圆心P的轨迹是什么,并说明理由.解

圆心P的轨迹是以A为焦点,以l为准线的抛物线,理由是点P到定点A与到定直线l(不过点A)的距离相等,符合抛物线的定义.知识点2抛物线的标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)抛物线的焦点到准线的距离是p.(

)(2)抛物线的开口方向由一次项确定.(

)2.抛物线的准线为直线x=-4,则抛物线的标准方程为(

)A.x2=16y B.x2=8yC.y2=16x D.y2=8x√√C3.[人教A版教材习题改编]抛物线x2=y的焦点坐标是

,准线方程是

.

4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线,那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗?解

抛物线对应的方程不一定是二次函数.如y2=4x是抛物线,但不是函数,更不是二次函数.重难探究·能力素养全提升探究点一求抛物线的标准方程【例1】

分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.(1)经过点(-3,-1);解

因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),

(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.规律方法

1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤

2.注意事项:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.变式训练1[北师大版教材习题]根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)准线方程为y=-;(2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6.解

(1)x2=6y;(2)y2=12x或y2=-12x.探究点二抛物线定义的应用【例2】

(1)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐标.(2)平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.(方法二)由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,则当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).变式探究若将例2(1)中的点A(3,2)改为点(0,2),求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.规律方法

1.抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.2.解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.变式训练2(1)已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解

设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以直线y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.(2)[北师大版教材例题]已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5,求点P的坐标.解

(方法一)由抛物线方程y2=4x,可得焦点F(1,0).所以点P的坐标为(4,4)或(4,-4).(方法二)设点P的坐标为(x0,y0),由点P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,得

=4x0.由抛物线方程y2=4x,可得其准线方程为x=-1.由点P到焦点F的距离为5可知,点P到抛物线的准线的距离也为5,即x0-(-1)=5,解得x0=4.将x0=4代入y2=4x,得

=16,即y0=±4.所以点P的坐标为(4,4)或(4,-4).探究点三抛物线的实际应用【例3】

河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5m时,水面宽为8m,一小船宽4m,高2m,载货后船露出水面上的部分高0.75m,问:水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时,小船开始不能通航?解

如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.当船面两侧和抛物线接触时,船开始不能通航,设此时船面宽为AA',则

又知船露出水面上的部分高为0.75

m,所以h=|yA|+0.75=2(m),所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2

m时,小船开始不能通航.规律方法

首先确定与实际问题相匹配的数学模型是解决问题的关键.此问题中拱桥是抛物线型,因此可考虑利用抛物线的有关知识解决此问题,其操作步骤可概括为:(1)建系:建立适当的坐标系;(2)假设:设出合适的抛物线标准方程;(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程;(4)求解:求出需要求出的量;(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.变式训练3[人教A版教材习题]如图,吊车梁的鱼腹部分AOB是抛物线的一段,宽为7m,高为0.7m.根据图中的坐标系,求这条抛物线的方程.解

设所求抛物线的方程为x2=2py(p>0),依题意,知点B(3.5,0.7)在抛物线上,将点B的坐标代入方程x2=2py,得3.52=2p×0.7,解得2p=17.5,∴所求抛物线的方程为x2=17.5y.成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练12345678910111213141516171.[探究点一]对抛物线x2=4y,下列描述正确的是(

)A.开口向上,焦点为(0,1)A解析

∵抛物线的标准方程为x2=4y,∴2p=4,p=2,解得

=1,因此抛物线的焦点为(0,1),准线为y=-1,可得该抛物线的开口向上.12345678910111213141516172.[探究点一]抛物线y=2x2的焦点到准线的距离是(

)C12345678910111213141516173.[探究点一]以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点到准线的距离为4的抛物线方程是(

)A.y2=8x

B.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8yC解析

依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0).因为焦点到准线的距离为4,所以p=4,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.故选C.12345678910111213141516174.[探究点一、二]若抛物线y2=2px(p>0)上一点P(2,y0)到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为(

)A.y2=2x B.y2=4x C.y2=6x

D.y2=8xD解析

抛物线y2=2px上一点P(2,y0)到焦点的距离等于到其准线的距离,即为4,∴

+2=4,解得p=4,∴抛物线的标准方程为y2=8x.故选D.12345678910111213141516175.[探究点二]已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于(

)A.4 B.2

C.1

D.8C1234567891011121314151617D解析

由题意得y2=4x,所以准线为x=-1,又因为|MF|=3,设点M的坐标为(x0,y0),则有|MF|=x0+1=3,解得x0=2,12345678910111213141516177.[探究点二]若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是

.

9解析

抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为x=-1.由M到焦点的距离为10,可知M到准线x=-1的距离也为10,故M的横坐标满足xM+1=10,解得xM=9,所以点M到y轴的距离为9.12345678910111213141516178.[探究点三]一抛物线形拱桥,当桥顶离水面2米时,水面宽4米,若水面下降2米,则水面宽为

米.

解析

以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由当桥顶离水面2米时,水面宽4米可得图中点A的坐标为(2,-2),所以4=-2p×(-2),解得p=1.所以抛物线的方程为x2=-2y.当水面下降2米,即当y=-4时,12345678910111213141516179.[探究点二·北师大版教材例题]已知点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,求点M的轨迹方程.解

如图,点M到点F(4,0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2,即“点M到点F(4,0)的距离等于它到直线l':x+4=0的距离”.由此可知,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,以直线l':x=-4为准线的抛物线.故点M的轨迹方程是y2=16x.123456789101112131415161710.[探究点二]已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,点A(3,2).(1)求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时点P的坐标;12345678910111213141516171234567891011121314151617B级关键能力提升练11.AB是抛物线y2=2x的一条过焦点的弦,|AB|=4,则AB中点C的横坐标是(

)C解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线的定义可知,|AB|=x1+x2+p=x1+x2+1=4,123456789101112131415161712.动点P在抛物线x2=4y上,则点P到点C(0,4)的距离的最小值为(

)B123456789101112131415161713.(多选题)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线y2=4x上,则(

)A.当a=1时,|PA|的最小值为1B.当a=3时,|PA|的最小值为3C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2ACD解析

当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点,设P(x0,y0),x0≥0,则|PA|=x0+1≥1,故|PA|的最小值为1,故A正确;设抛物线的准线为l:x=-1,过点P作PN⊥l于点N,此时|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故当N,P,M三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,此时(|PA|+|PM|)min=3+1=4,故C正确;1234567891011121314151617当a=3时,A(3,0),连接AM,并延长AM交抛物线于点P',此时|PA|-|PM|=|P'A|-|P'M|=|AM|为|PA|-|PM|的最大值,当P在其他位置时,根据三角形两边之差小于第三边,可知均小于|AM|,123456789101112131415161714.若P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,抛物线C的焦点为F,则|PF|=

.

5解析

由P(4,1)为抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,得42=2p×1,可得p=8,123456789101112131415161715.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点.(1)若点P到直线x=-1的距离为d,A(-1,1),求|PA|+d的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解

(1)依题意,抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由已知及抛物线的定义,可知|PF|=d,于是问题转化为求|PA|+|PF|的最小值.由平面几何知识知,当F,P,A三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,最小值为1234567891011121314151617过B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1(如图所示).由抛物线的定义,可知|P1Q|=|P1F|,则|