2.6.1双曲线的标准方程课件高二上学期数学人教B版选择性2

第二章平面解析几何双曲线的标准方程人教B版

数学

选择性必修第一册课程标准1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程;2.掌握双曲线的标准方程及其求法;3.能用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题;4.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1双曲线的定义焦点的距离|F1F2|名师点睛若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点P的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于|PF1|与|PF2|的大小.(1)若|PF1|>|PF2|,则|PF1|-|PF2|>0,点P的轨迹是靠近定点F2的那一支;(2)若|PF1|<|PF2|,则|PF2|-|PF1|>0,点P的轨迹是靠近定点F1的那一支.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.(

)(2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差等于5的点的轨迹是双曲线.(

)(3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(

)×××2.在双曲线的定义中,若去掉条件0<2a<|F1F2|,则动点的轨迹是怎样的?解

①当2a=|F1F2|时,动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).②当2a>|F1F2|时,动点的轨迹不存在.③当2a=0时,动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.知识点2双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程

=1

=1

焦点

a,b,c的关系b2=c2-a2(a>0,b>0)(a>0,b>0)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)名师点睛双曲线与椭圆的比较曲线名称椭圆双曲线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)||PF1|-|PF2||=2a(0<2a<|F1F2|)a,b,c的关系b2=a2-c2b2=c2-a2标准方程焦点在x轴上

=1(a>b>0)

=1(a>0,b>0)焦点在y轴上

=1(a>b>0)

=1(a>0,b>0)注意:在双曲线的标准方程中,a,b的大小关系不确定.过关自诊

D2.[北师大版教材例题改编]已知双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0),F2(5,0),该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6,则双曲线的标准方程为

.

重难探究·能力素养全提升探究点一求双曲线的标准方程【例1】

求适合下列条件的双曲线的标准方程.规律方法

求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,再用待定系数法求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,则可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,简化求解过程.变式训练1[北师大版教材习题]求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点为(2,0),(-2,0),且双曲线上的一点到两个焦点距离之差为2;(2)焦点在y轴上,焦距为10,且经过点(0,4);探究点二双曲线定义的应用【例2】

已知双曲线

-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为

.

解析

如图,由双曲线

-y2=1,得a2=3,b2=1,∴c2=a2+b2=4,则c=2,则F2(2,0).连接QF2交双曲线右支于P,则此时|PQ|+|PF2|最小等于|QF2|.∵Q的坐标为(-2,3),F2(2,0),【例3】

已知F1,F2是双曲线

=1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离;(2)如图,若P是双曲线左支上的点,且|PF1||PF2|=32,试求△F1PF2的面积.(1)由双曲线的定义得||MF1|-|MF2||=2a=6.又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,假设点M到另一个焦点的距离等于m,则|16-m|=6,解得m=10或m=22,故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|-|PF1|=2a=6两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,则|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1||PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理得变式探究将例3(2)中的条件“|PF1||PF2|=32”改为“∠F1PF2=60°”,求△F1PF2的面积.由双曲线的定义得|PF2|-|PF1|=6.因为|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos

60°,所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|,规律方法

求双曲线中距离的范围和焦点三角形面积的策略(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a求解.(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时,首先要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算.模仿椭圆中焦点三角形的面积公式,可类似得到双曲线中焦点三角形的面变式训练2(1)已知双曲线C:

=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C的左支交于A,B两点,若|AB|=7,则△ABF2的周长为(

)A.16 B.30C.38 D.60B解析

设|AF1|=m,|BF1|=n,由题意可得m+n=7,由双曲线的定义可得|AF2|=m+8,|BF2|=n+8,则△ABF2的周长是|AB|+|AF2|+|BF2|=m+n+(m+n)+16=16+2|AB|=16+2×7=30.故选B.(2)若点P在曲线C1:

=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是(

)A.9 B.10

C.11

D.12B解析

在双曲线C1中,a=4,b=3,c=5,易知两圆圆心分别为双曲线C1的两个焦点,记点F1(-5,0),F2(5,0),当|PQ|-|PR|取最大值时,P在双曲线C1的左支上,所以|PQ|-|PR|≤|PF2|+1-(|PF1|-1)=|PF2|-|PF1|+2=2a+2=10.故选B.探究点三与双曲线有关的轨迹问题【例4】

(1)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(

)C解析

动圆圆心为P,半径为r,已知圆N的半径为4.由题意知,|PM|=r,|PN|=r+4或r-4,所以||PN|-|PM||=4,即动点P到两定点的距离之差的绝对值为常数4,P在以M,N为焦点的双曲线上,且2a=4,2c=8,(2)某飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方向.解

因为|PC|=|PB|,所以P在线段BC的垂直平分线上.又因为|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B为焦点的双曲线的右支上.以线段AB的中点为坐标原点,AB的垂直平分线所在直线为y轴,正东方向为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示.规律方法

求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,根据双曲线的定义,得出对应的方程.定义法求解双曲线的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支.(3)实际应用问题还要注意实际意义以及该意义下隐藏的变量范围.变式训练3(1)[人教A版教材例题]已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.解

如图,建立平面直角坐标系Oxy,使A,B两点在x轴上,并且原点O与线段AB的中点重合.设炮弹爆炸点P的坐标为(x,y),则|PA|-|PB|=340×2=680,即2a=680,a=340.又|AB|=800,所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44

400.因为|PA|-|PB|=680>0,所以点P的轨迹是双曲线的右支,因此x≥340.(2)[人教A版教材习题]设动点M与定点F(c,0)(c>0)的距离和M到定直线

成果验收·课堂达标检测A级必备知识基础练123456789101112131415161718C解析

由题意知2c=8,c=4,a2=m,b2=1.因为c2=a2+b2,所以16=m+1,解得m=15.故选C.1234567891011121314151617182.[探究点二]设点P在双曲线

=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于(

)A.22 B.16

C.14

D.12A由双曲线定义知||PF2|-|PF1||=6.又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9,∴△F1PF2的周长为3+9+10=22.故选A.1234567891011121314151617183.[探究点一](多选题)若方程

=1所表示的曲线为C,则下面四个说法错误的是(

)A.若C为椭圆,则1<t<3B.若C为双曲线,则t>3或t<1C.曲线C可能是圆D.若C为椭圆,且长轴在y轴上,则1<t<2AD1234567891011121314151617184.[探究点二]已知双曲线

=1上一点P到左焦点F1的距离为10,则PF1的中点N到坐标原点O的距离为(

)A.3或7 B.6或14 C.3

D.7A解析

设右焦点为F2,连接PF2,ON(图略),ON是△PF1F2的中位线,∴|ON|=|PF2|.∵||PF1|-|PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=|PF2|=7或3.1234567891011121314151617185.[探究点二]已知F是双曲线

=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为(

)A.9 B.8

C.7

D.6A|PF|+|PA|≥9,当且仅当A,P,F'三点共线时取等号,所以|PF|+|PA|的最小值为9.故选A.123456789101112131415161718A.2 B.3

C.4

D.5B1234567891011121314151617187.[探究点一]已知双曲线对称轴为坐标轴,中心在原点,焦点在直线x+y=6上,且c=2a,则此双曲线的标准方程为

.

解析

直线x+y=6与坐标轴的交点坐标为(6,0),(0,6).当双曲线的焦点在横轴时,c=6,因为c=2a,所以a=3,1234567891011121314151617188.[探究点二]已知双曲线C:

=1的两焦点分别为F1,F2,P为双曲线C上一点,若|PF1|=10,则|PF2|=

.

18或2点,|PF1|=10,所以||PF2|-|PF1||=2a=8,即||PF2|-10|=8,所以|PF2|=18或|PF2|=2.因为|PF1|=10>a+c=9,所以|PF2|=18或|PF2|=2都符合题意.1234567891011121314151617189.[探究点一·北师大版教材习题]已知双曲线的焦点与椭圆

=1的左、右顶点相同,且经过椭圆的右焦点,求该双曲线的方程.12345678910111213141516171810.[探究点三]如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.123456789101112131415161718解

圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.123456789101112131415161718B级关键能力提升练11.(多选题)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别是(-5,0),(5,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0),则下列说法正确的是(

)A.当m>0时,点C的轨迹是双曲线B.当m>0时,点C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去两个顶点)C.当m=-1时,点C在圆x2+y2=25(除去点(5,0),(-5,0))上运动D.当m<-1时,点C的方程表示焦点在x轴上的椭圆(不含左、右顶点)BC12345678910111213141516171812.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,则称此双曲线存在“L点”,下列双曲线中存在“L点”的是(

)A123456789101112131415161718A123456789101112131415161718整理得|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=100,①根据点P在双曲线上可得||PF1|-|PF2||=6,则(|PF1|-|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=36,②①-②,得|PF1||PF2|=64,则△PF1F2的面积为12345678910111213141516171814.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为

.

所以P(2,±3),|PF|=3.又因