10.2.2复数的乘法与除法课件高一数学人教B版

第十章复数复数的乘法与除法人教B版

数学

必修第四册课标要求1.掌握复数的乘法和除法计算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.掌握实系数一元二次方程在复数范围内的解集.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1复数的乘法1.复数的乘法法则一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.显然,两个复数的积仍然是复数.2.复数乘法的运算律对任意复数z1,z2,z3∈C,有交换律z1z2=

结合律(z1z2)z3=

分配律z1(z2+z3)=

z2z1z1(z2z3)z1z2+z1z33.复数的幂

(3)可以验证,当m,n均为正整数时,zmzn=

,(zm)n=

,(z1z2)n=

.

zm+nzmn(5)等式两边同时乘上一个复数,等式仍成立,即当z1=z2时,必定有z1z=z2z.名师点睛in(n∈N*)的性质根据复数乘法法则,容易得到i的n次幂的计算法则,过关自诊1.复数i(2-i)=(

)

A.1+2i B.1-2iC.-1+2i D.-1-2iA2.[北师大版教材习题改编]若i为虚数单位,则i·i2·i3·i4=

.-1解析

i·i2·i3·i4=i·(-1)·(-i)·1=i2=-1.3.[人教A版教材习题](1+i)(1-i)+(-1+i)=

.

1+i知识点2复数的除法复数的除法法则(1)如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的

,并记作z=

(或z=z1÷z2),而且同以前一样,z1称为

,z2称为

.

商

被除数除数倒数积名师点睛

过关自诊

B2.[2023湖南模拟]复数z满足iz=-1-3i,则z的实部是(

)A.-1 B.1

C.-3 D.3C解析

由iz=-1-3i可得z==-3+i,所以z的实部是-3.故选C.知识点3实系数一元二次方程在复数范围内的解集当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有

;

(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有

;

(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有

,

两个不相等的实数根

两个相等的实数根两个互为共轭的虚数根名师点睛复数集内一元二次方程的解法方程类型实系数一元二次方程复系数一元二次方程Δ的作用可以用来判断根的情况不能用来判断根的情况求根公式适用适用根与系数的关系适用适用实系数一元二次方程的虚数根才互为共轭复数.过关自诊1.在复数范围内,方程x2+x+1=0的根为(

)C2.在复数范围内,方程2x2-2x+3=0的根为

.3.[人教A版教材习题]在复数范围内解方程9x2+16=0.重难探究·能力素养全提升探究点一复数的乘法运算【例1】

计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2;(3)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(4)(3+4i)(3-4i).解(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.(3)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.(4)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25.规律方法

1.复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、和平方公式等.2.像3+4i和3-4i这样的两个复数叫做互为共轭复数,其形态特征为a+bi和a-bi,其中a,b∈R,其数值特征为(a+bi)(a-bi)=a2+b2.变式训练1[北师大版教材例题]计算:(1)(1+i)4;(2)(2-i)2(2+i)2.解(1)(1+i)4=[(1+i)2]2=(1+2i+i2)2=(2i)2=-4.(2)(2-i)2(2+i)2=[(2-i)(2+i)]2=(4+1)2=25.探究点二复数的除法运算【例2】

[北师大版教材例题]计算:规律方法

求此类题时通常先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘i).变式训练2计算:探究点三虚数单位i的幂值的周期性【例3】

计算i+i2+i3+…+i2020.解∵in+in+1+in+2+in+3=0,∴i+i2+i3+…+i2

020=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2

017+i2

018+i2

019+i2

020)=0.规律方法

1.周期性

2.记住以下结果,可提高运算速度:(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.变式训练3计算(其中n∈N):(1)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3;(2)i4n×i4n+1×i4n+2×i4n+3;解(1)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i-1-i=0.(2)i4n×i4n+1×i4n+2×i4n+3=1×i×(-1)×(-i)=-1.探究点四在复数范围内解方程【例4】

(1)在复数范围内求方程x2-x+3=0的解集.(2)已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).①求b,c的值;②试判断x=1-i是不是方程的根.(2)①∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,②由①方程可化为x2-2x+2=0,把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,∴x=1-i也是方程的根.规律方法

在实系数一元二次方程中,若判别式Δ<0,方程有两个互为共轭的虚数根,根与系数的关系仍适用.变式训练4[人教A版教材习题]已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.解因为2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,所以2(-3+2i)2+p(-3+2i)+q=0,整理得(10-3p+q)+(2p-24)i=0,成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617181920212223A级必备知识基础练1.[探究点一](3-i)2=(

)A.10-6i B.10+6iC.8-6i D.8+6iC解析

原式=9-6i-1=8-6i.故选C.1234567891011121314151617181920212223D

12345678910111213141516171819202122233.[探究点一]已知(1+ai)(2-i)=x+yi(a,x,y∈R),i是虚数单位,则(

)A.x-2y=0 B.2x+y-3=0C.2x-y-5=0 D.2x+y+2=0C解析

∵(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i=x+yi,12345678910111213141516171819202122234.[探究点二]设iz=4+3i,则z=(

)A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4iC1234567891011121314151617181920212223A.-i B.i

C.0

D.1A1234567891011121314151617181920212223D

12345678910111213141516171819202122237.(多选题)[探究点二·2023安徽合肥期中]设复数z=,则下列说法正确的是(

)A.实部为2B.虚部为-iC.模为D.在复平面内对应的点在第四象限ACD12345678910111213141516171819202122238.[探究点三·北师大版教材习题]计算i+i2+i3+i4+i5+i6+i7+i8=

.

012345678910111213141516171819202122239.[探究点一·2023四川利州校级期中]已知复数z=a+i(a∈R)满足iz+=0,则a=

.

1解析

iz+=(a+i)i+a-i=-1+ai+a-i=a-1+(a-1)i=0,则a-1=0,解得a=1.123456789101112131415161718192021222310.[探究点四·人教A版教材习题]在复数范围内解下列方程:(1)x2+4x+5=0;(2)2x2-3x+4=0.1234567891011121314151617181920212223B级关键能力提升练11.已知i是虚数单位,则复数z1=2+ai,z2=1-i,若

是实数,则实数a的值为(

)A.-2 B.2

C.0

D.A123456789101112131415161718192021222312.已知z=2-i,则z(+i)=(

)A.6-2i B.4-2i

C.6+2i

D.4+2iC1234567891011121314151617181920212223A.(-2,-1) B.(2,-1) C.(-2,1) D.(2,1)A∴z在复平面内对应的点为(-2,-1).故选A.123456789101112131415161718192021222314.已知p,q∈R,1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=(

)A.-4 B.0

C.2

D.4A解析

∵1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,∴1-i也是方程x2+px+q=0的一个根,则1+i+1-i=-p,即-p=2,p=-2,(1+i)(1-i)=q,即q=1+1=2,则p·q=-2×2=-4.故选A.1234567891011121314151617181920212223ABD12345678910111213141516171819202122231234567891011121314151617181920212223ABD123456789101112131415161718192021222317.已知复数z满足z(1+2i)=|4-3i|(其中i为虚数单位),则复数z在复平面内对应点的坐标为

.

(1,-2)即复数z在复平面内对应点的坐标为(1,-2).12345678910111213141516171819202122232四123456789101112131415161718192021222319.若实数m,n满足(4+mi)i2021=(n+2i)2,且z=m+ni,则|z|=

.

解析

由(4+mi)i2

021=(n+2i)2,得(4+mi)i=n2+4ni-4,123456789101112131415161718192021222320.[2023河南华龙校级期中]设复数z满足|z|=|z+1|,且

是纯虚数,试写出一个满足条件的复数z=

.(答案不唯一)

123456789101112131415161718192021222321.已知复数z满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z;

解(1)由|3+4i|+z=1+3i得5