1.2空间向量基本定理课件高二上学期数学人教A版选择性3

1.2空间向量基本定理1.空间向量基本定理的三个关注点(1)空间向量的任意性:用空间三个不共面的向量a,b,c可以线性表示空间中任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.(2)基底选取的任意性:空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.(3)基底的顺序性:空间中任意一个向量在基向量上的分向量是唯一确定的,即若基底为{e1,e2,e3},p=xe1+ye2+ze3,则在该基底下与p对应的有序实数组为(x,y,z).2.单位正交基底的特点(1)位置:三个向量两两垂直且有公共起点O.(2)模长:每个向量的模都等于1.(3)记法:一般记作{e1,e2,e3},{i,j,k}等.探究点一

空间向量的基底

C(2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则下列各项中,能作为基底的是 (

)A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,2a+b}

C

D

[素养小结]基底的判断思路:判断给出的三个向量能否构成基底,关键是要判断这三个向量是否共面.首先应考虑三个向量中是否有零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程,若方程的解唯一,则三个向量共面;否则,三个向量不共面.探究点二

用基底表示空间向量

图1-2-2

A

[素养小结]用基底表示向量的步骤:(1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.(2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.(3)下结论:利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.探究点三

空间向量基本定理的应用例3如图1-2-3,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点.证明:A1E⊥GF.

图1-2-3角度一

垂直平行关系的证明

例4如图1-2-5,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值.图1-2-5

角度二

求两直线的夹角例4如图1-2-5,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求异面直线AC1与CB1所成角的余弦值.图1-2-5

变式

已知正四面体A-BCD的棱长为1,点E,F分别是BC,AD的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.

变式

已知正四面体A-BCD的棱长为1,点E,F分别是BC,AD的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.

变式

已知正四面体A-BCD的棱长为1,点E,F分别是BC,AD的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值.

1.空间向量基本定理的应用:要用a,b,c表示所给的向量,需要结合图形,充分运用空间向量的加、减法和数乘运算,再结合向量的基本定理即可.

2.利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表达式,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或证明.例2如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,若E,F分别是C1C,AD的中点,求异面直线OE与FD1所成角的余弦值.

例2如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,若E,F分别是C1C,AD的中点,求异面直线OE与FD1所成角的余弦值.

例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,且该正方体的棱长为1.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;(2)求证:BD1⊥EF.

例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,且该正方体的棱长为1.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;(2)求证:BD1⊥EF.

例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,且该正方体的棱长为1.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值;(2)求证:BD1⊥EF.

1下列说法正确的是 (

)A.任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.直线的方向向量有且仅有一个[解析]对于A,任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,当三个不共线的向量共面时,不能构成空间的一个基底,所以A错误;对于B,任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,空间的基底不只有一个,所以B错误;对于C,两两垂直的三个非零向量不共面,可构成空间的一个基底,所以C正确;对于D,直线的方向向量有无数个,它们是共线向量,所以D错误.故选C.C

图1-2-6

B3若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列向量不共面的是 (

)A.b+c,b,b-c

B.2a,a+b,a-bC.a+b,a-b,3c

D.a+b,a+b+c,c

C4.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x,y,z满足的条件是

.

[解析]