4.2.2.2等差数列的前n项和公式的性质课件高二下学期数学人教A版选择性

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等差数列的前n项和公式的性质2.等差数列前n项和的公式；（两个）复习引入1.等差数列前n项和公式的推导方法——首尾相加法、倒序相加法；思考：我们发现，等差数列{an}的前n项和公式可化简为

，

这个函数式与函数有什么关系？当d=0时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.

当d≠0时，

是二次函数当x=n时的函数值.几何意义：前n项和公式Sn的图象是一条过坐标原点的曲线上孤立的点.常数列探究新知1.当a1<0，d>0

时，Sn的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上孤立的点.SnnO1

方法2:当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值.

方法1:由利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.此时由an≤0且an+1≥

0求n的值2.当a1>0，d<0

时，Sn的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上孤立的点.SnnO1

方法2:当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值.

此时由an≥0且an+1≤0求n的值方法1:由利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.例题：

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.典例分析通项公式法求最值解法1：注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.例题：

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.前n项和公式法求最值解法2：【变式1】已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1:由S3=S11,得∴

d=－2故当n=7时,Sn取最大值49.巩固练习解法2:由

,得故当n=7时,Sn取最大值49.由S3=S11,得d=－2<0(1)当a1>0，d<0时，数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值.此时由an≥0且an+1≤0求n的值；(2)当a1<0，d>0时，数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值.

此时由an≤0且an+1≥

0求n的值；注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.求等差数列{an}的前n项和Sn的最值的方法1.前n项和公式法2.通项公式法

利用等差数列的增减性及an的符号变化探究一：如果数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？证：当n≥2时，当n=1时，a1=S1=p+q+r当且仅当r=0时，a1满足an=2pn-p+q，此时该数列是等差数列.an=Sn-Sn-1=pn2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q当r≠0时，a1不满足an=2pn-p+q，此时数列不是等差数列.探究新知故只有当r=0时该数列才是等差数列,其中首项a1=p+q,公差d=2p(p≠0).

例1：已知等差数列{an}的n项和为Sn,且S10＝310,S20＝1220,求S30.证明：探究二：性质2【例1】已知等差数列{an}的n项和为Sn,且S10＝310,S20＝1220,求S30.【追问】计算S10,S20-S10,S30-S20，三者有何关系？证明：探究三：性质3变式：在等差数列{an}中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，求第21项到第30项的和.解：∵数列S10,S20－S10,S30－S20构成等差数列．∴2×910=310+

(S30－S20)∴S30－S20=1510故第21项到第30项的和为1510.探究四：性质4【例2】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则a6=_____,公差d=______.证明：探究五：性质5证明：当m=n时，公式变化？探究六：性质6

课堂小结性质3:若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m构成等差数列,且公差为m2