8.5.1直线与直线平行课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行人教A版

数学

必修第二册课程标准1.掌握基本事实4,并会应用其解决相关直线与直线平行问题.2.理解等角定理,并会应用其解决有关问题.3.体会“平移”在平行关系中的应用.基础落实·必备知识全过关知识点1

直线与直线平行

文字语言平行于同一条直线的两条直线

图形语言

符号语言直线a,b,c,若a∥b,b∥c,则

作用证明或判断两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的

平行

a∥c传递性

过关自诊1.若直线a∥b,c,d为不重合的两条直线,且a∥c,b∥d,则c与d的位置关系是

.

平行

2.[苏教版教材例题]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别是AB,BC的中点.求证:EF∥A1C1.证明

连接AC.在△ABC中,因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EF∥AC.又因为AA1∥BB1,AA1=BB1,BB1∥CC1,BB1=CC1,所以AA1∥CC1,AA1=CC1,从而四边形AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1.从而EF∥A1C1.知识点2

等角定理

可理解为一个角在两个位置如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.名师点睛1.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且方向相同(或相反),那么这两个角相等.2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,并且一边的方向相同,另一边的方向相反,那么这两个角互补.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(

)(2)如果两个角相等,且其中一组边平行,则另一组边也平行.(

)√×2.如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与∠A'D'C',∠ADC与∠D'C'B'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何?提示

∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠D'C'B'=180°.重难探究·能力素养全提升探究点一平行线传递性的应用【例1】

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,A1D1的中点.求证:四边形B1EDF是菱形.证明

取B1C1的中点G,连接GD1,GE,则GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D,∴四边形GEDD1是平行四边形,GD1∥ED,GD1=ED.∵FD1∥B1G,FD1=B1G,∴四边形FB1GD1是平行四边形,∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED,∴四边形B1EDF是平行四边形,规律方法

空间两条直线平行的证明判断两条直线平行,除了平面几何中常用的判断方法以外,基本事实4,即平行线的传递性,也是判断两直线平行的重要依据.解题时要注意中位线的

作用.变式训练1[北师大版教材例题]四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形.如图,在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.探究点二等角定理的应用【例2】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形;(2)∠B1M1C1=∠BMC.证明

(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴MM1AA1.又AA1BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角.∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1=BM.由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM,∴∠B1M1C1=∠BMC.规律方法

证明角相等的常用方法证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时,这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说明两个角的两边分别对应平行是不够的.变式训练2如图,已知三棱锥A-BCD的四个面分别是△ABC,△ABD,△ACD和△BCD,E,F,G分别为线段AB,AC,AD上的点,EF∥BC,FG∥CD.求证:△EFG∽△BCD.∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行,且方向相同,∴∠EFG=∠BCD.同理∠FGE=∠CDB.∴△EFG∽△BCD.本节要点归纳1.知识清单:(1)基本事实4的应用.(2)等角定理的应用.2.方法归纳:转化法.3.常见误区:用等角定理时,角度有可能相等或互补.成果验收·课堂达标检测1234567891011A级必备知识基础练1.[探究点一]在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的任意两个顶点的连线中,与棱AB平行的条数为(

)A.2 B.3 C.4 D.5D解析

连接CF,C1F1,与棱AB平行的有ED,CF,A1B1,C1F1,E1D1,共有5条,故选D.12345678910112.(多选题)[探究点二]下列命题中,错误的有(

)A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行AC解析

这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确.12345678910113.[探究点一]如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是

.

平行解析

在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.12345678910114.[探究点一、二]如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件

时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件

时,四边形EFGH是正方形.

AC=BDAC=BD且AC⊥BD12345678910115.[探究点一]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?请说明理由.1234567891011解

如图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.12345678910116.[探究点一、二]长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.求证:(1)D1E∥BF;(2)∠B1BF=∠A1ED1.

1234567891011证明

(1)如图,取BB1的中点M,连接EM,C1M.在矩形ABB1A1中,易得EM∥A1B1,EM=A1B1,因为A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,所以EM∥C1D1,EM=C1D1.所以四边形EMC1D1为平行四边形,所以D1E∥MC1.在矩形BCC1B1中,易得MB∥C1F,又因为M,F分别为BB1,CC1的中点,所以MB=C1F.所以四边形MBFC1为平行四边形,所以BF∥MC1,所以D1E∥BF.(2)因为D1E∥BF,BB1∥EA1,又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同,所以∠B1BF=∠A1ED1.1234567891011B级关键能力提升练7.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1方向相同,则下列结论正确的有(

)A.OB∥O1B1且方向相同B.OB∥O1B1,方向可能不同C.OB与O1B1不平行D.OB与O1B1不一定平行D12345678910118.(多选题)在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则(

)A.PQ=MNB.PQ∥MNC.M,N,P,Q四点共面D.四边形MNPQ是梯形BCD解析

由题意知PQ=DE,且DE≠MN,所以PQ≠MN,故A不正确;又PQ∥DE,DE∥MN,所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确.12345678910119.(多选题)如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,点F是直线EF与正方形ABB1A1边的交点,则(

)AD12345678