8.5.2直线与平面平行课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.5.2直线与平面平行人教A版

数学

必修第二册课程标准1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理.2.理解并掌握直线与平面平行的性质定理.3.会证明直线与平面平行的性质定理.4.能够应用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明相关问题.基础落实·必备知识全过关知识点1

直线与平面平行的判定定理

文字语言

包括线面平行与线面相交两类如果平面外一条直线与此平面内的一条直线

,那么该直线与此平面平行

图形语言

符号语言a

α,b

α,且a∥b⇒a∥α

作用证明直线与平面

平行

⊄⊂平行

名师点睛1.线面平行的判定定理包含三个条件:(1)平面外一条直线;(2)平面内一条直线;(3)两条直线平行.这三个条件缺一不可.2.定理充分体现了等价转化思想,它将线面平行问题转化为线线平行问题,即线线平行⇒线面平行.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果直线与平面没有公共点,那么直线与平面平行.(

)(2)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.(

)2.如果直线a与平面α内的一条直线b平行,直线a与平面α一定平行吗?√×提示

不一定,直线a可能在平面α内.知识点2

直线与平面平行的性质定理

文字语言一条直线与一个平面平行,如果

的平面与此平面相交,那么该直线与交线

图形语言

符号语言a∥α,a⊂β,

⇒a∥b

作用证明两条直线

过该直线

平行

α∩β=b平行

名师点睛1.定理的条件可理解为有三条:(1)a∥α;(2)α∩β=b;(3)a⊂β.这三个条件缺一不可.2.当a∥α时,过a的任何平面与α的交线都与a平行,即a可以和α内的无数条直线平行,但不是任意的.平面α内凡是不与a平行的直线,都与a异面.过关自诊1.如果l∥α,那么直线l与平面α内的直线的位置关系是怎样的?提示

平行或异面.2.[北师大版教材例题]有一块木料如图,已知棱BC∥平面A1B1C1D1,要经过木料表面A1B1C1D1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?解

因为BC∥平面A1B1C1D1,BC⊂平面B1BCC1,平面B1BCC1∩平面A1B1C1D1=B1C1,所以由直线与平面平行的性质定理,得BC∥B1C1.如图,过点P在平面A1B1C1D1内画线段EF∥B1C1,根据基本事实4,可知EF∥BC.所以EF⊂平面EBCF,BC⊂平面EBCF.连接BE和CF,则BE,CF和EF就是所要画的线.重难探究·能力素养全提升探究点一直线与平面平行的判定【例1】

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别为棱AB,PD的中点.求证:直线MN∥平面PBC.证明

取PC的中点E,连接NE,EB,又因为N为PD的中点,所以在△PCD中,NE∥CD,且NE=CD,又M为棱AB的中点,MB=AB,因为底面ABCD为矩形,所以AB∥CD,AB=CD,所以MB∥NE,且MB=NE,则四边形MBEN为平行四边形,所以MN∥EB,又MN⊄平面PBC,EB⊂平面PBC,所以直线MN∥平面PBC.规律方法

证明线面平行的思路及步骤证明直线与平面平行,可以用定义,也可以用判定定理,但说明直线与平面没有公共点不是很容易(当然也可用反证法),所以更多的是用判定定理,用判定定理证明直线与平面平行的步骤如下:变式训练1[北师大版教材例题]如图,在空间四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为AB,AD,BC,CD的中点,试指出图中满足线面平行位置关系的所有情况,并说明理由.解

因为点E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD.又因为BD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD,所以由直线与平面平行的判定定理,得EF∥平面BCD.类似地,可得GH∥平面ABD,EG∥平面ADC,FH∥平面ABC,BD∥平面EGHF.探究点二直线与平面平行性质定理的应用【例2】

[北师大版教材例题]求证:如果一条直线与一个平面平行,那么夹在这条直线和这个平面间的平行线段相等.已知:如图,AB∥α,AC∥BD,且AC∩α=C,BD∩α=D.求证:AC=BD.证明

因为AC∥BD,所以A,B,D,C四点在同一平面内.如图,连接CD.因为AB∥α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩α=CD,所以由直线与平面平行的性质定理,得AB∥CD.又因为AC∥BD,所以四边形ABDC是平行四边形,所以AC=BD.规律方法

1.利用线面平行的性质定理解题的步骤

2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行.变式训练2如图,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点F.求证:四边形BCFE是梯形.证明

因为四边形ABCD是矩形,所以BC∥AD,且BC=AD.因为AD⊂平面APD,BC⊄平面APD,所以BC∥平面APD.又因为BC⊂平面BCFE,平面BCFE∩平面APD=EF,所以BC∥EF.所以AD∥EF.又因为E,F是△APD中PA,PD上的点,所以EF≠AD.所以EF≠BC.故四边形BCFE是梯形.探究点三线面平行性质定理与判定定理的综合应用【例3】

求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么该直线与相交平面的交线平行.解

已知:a,l是直线,α,β是平面.a∥α,a∥β,且α∩β=l.求证:a∥l.证明:如图,在平面α内任取一点A,且使A∉l.∵a∥α,∴A∉a.故点A和直线a确定一个平面γ,设γ∩α=m.同理,在平面β内任取一点B,且使B∉l,则点B和直线a确定平面δ,设δ∩β=n.∵a∥α,a⊂γ,γ∩α=m,∴a∥m.同理a∥n,则m∥n.又m⊄β,n⊂β,∴m∥β.∵m⊂α,α∩β=l,∴m∥l.又a∥m,∴a∥l.变式探究若本例中条件改为“α∩β=l,γ∩β=m,γ∩α=n,且l∥m”,试判断直线l,m,n的位置关系,并说明你的理由.解

三条直线l,m,n相互平行.证明如下,如图,∵l∥m,m⊂γ,l⊄γ,∴l∥γ.又l⊂α,α∩γ=n,∴l∥n.又l∥m,∴m∥n,即直线l,m,n相互平行.规律方法

利用线面平行的判定定理和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化,转化思想是一种重要数学思想.该转化过程可概括为:本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与平面平行的判定定理.(2)直线与平面平行的性质定理.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:证明线面平行时漏写线在平面外(内).成果验收·课堂达标检测1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点一]有以下四个说法,其中正确的说法是(

)①若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;②若直线与平面内的任意一条直线不相交,则直线与平面平行;③若直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行;④若平面外的直线与平面内的一条直线平行,则直线与平面不相交.A.①②

B.①②③

C.①③④ D.①②④D解析

③中若直线在平面内,虽与平面内的无数条直线不相交,但直线与平面不平行,故③不正确,①②④正确.12345678910111213142.[探究点二]已知直线l∥平面α,点P∈平面α,那么过点P且平行于直线l的直线(

)A.有无数条,仅有一条在平面α内B.只有一条,且不在平面α内C.有无数条,均不在平面α内D.只有一条,且在平面α内D解析

过直线l与点P的平面有且只有一个,记该平面为β.因为平面α与β相交于点P,所以平面α与β有唯一一条交线,设为a,又l∥α,所以l∥a.因为过点P平行于直线l的直线只有一条,所以选D.12345678910111213143.[探究点一]如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是(

)A.相交

B.b∥αC.b⊂α

D.b∥α或b⊂αD解析

由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b⊂α.12345678910111213144.(多选题)[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,下列四个结论正确的有(

)A.AP与CM是异面直线B.AP,CM,DD1相交于一点C.MN∥BD1D.MN∥平面BB1D1DBD12345678910111213145.[探究点一]如图,在五面体FE-ABCD中,四边形CDEF为矩形,M,N分别是BF,BC的中点,则MN与CF的位置关系是

,MN与平面ADE的位置关系是

.

平行平行

解析

因为M,N分别是BF,BC的中点,所以MN∥CF.又四边形CDEF为矩形,所以CF∥DE,所以MN∥DE.又MN⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,所以MN∥平面ADE.12345678910111213146.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,则EF与平面BDD1B1的位置关系是

.

平行12345678910111213147.[探究点三]如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.解

直线l∥平面PAC.证明如下:因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.又EF⊄平面ABC,且AC⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.而EF⊂平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.因为l⊄平面PAC,EF⊂平面PAC,所以l∥平面PAC.123456789101112131412345678910111213148.[探究点三]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=4,CD=2,点M在棱PD上.(1)求证:CD∥平面PAB;(2)若PB∥平面MAC,求

的值.1234567891011121314(1)证明

因为CD∥AB,CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.(2)解

连接BD交AC于点O,连接OM,因为PB∥平面MAC,且PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面MAC=MO,所以PB∥MO.1234567891011121314B级关键能力提升练9.(多选题)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是(

)BCD1234567891011121314解析

对于A,如图,O为底面对角线的交点,可得AB∥OQ,又OQ∩平面MNQ=Q,所以直线AB与平面MNQ不平行;对于B,由于AB∥MQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行;对于C,由于AB∥MQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行;对于D,由于AB∥NQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行.故选BCD.123456789101112131410.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(

)A.MN∥PDB.MN∥平面PABC.MN∥ADD.MN∥PABD解析

∵MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,∴MN∥PA.∵PA⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,∴MN∥平面PAB.故选BD.123456789101112131411.如图,在底面边长为8cm,高为6cm的正三棱柱ABC-A1B1C1中,若D为棱A1B1的中点,则过BC和D的截面面积等于

cm2.

123456789101112131412.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.若MB∥平面AEF,试判断点M在何位置.1234567891011121314解

在平面ACC1A1中,过点M作MN∥AA1,交AE于点N,连接NF.又AA1∥BB1,所以MN∥BF,即M,B,F,N四点共面.因为MB∥平面AEF,MB⊂平面MBFN,平面MBFN∩平面AEF=FN,所以MB∥FN,所以四边形MBFN是平行四边形.因为FB=1,所以MN=1,又EC=2,MN∥EC,所以MN是△AEC的中位线,所以点M是AC的中点.1234567891011121314C级学科素养创新练13.如图