8.6.1直线与直线垂直课件高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直人教A版

数学

必修第二册课程标准1.理解异面直线垂直的定义.2.理解异面直线所成角的概念.3.会求给定两条异面直线所成的角.基础落实·必备知识全过关知识点

异面直线所成的角(或夹角)异面直线所成的角定义已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线

所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)

体会“平移”

异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是

,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作

范围空间两条直线所成的角α的取值范围是

名师点睛由异面直线互相垂直的定义可得如下结论:一条直线垂直于两条平行线中的一条,也垂直于另一条.a'与b'

直角

a⊥b0°≤α≤90°过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线.(

)(2)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(

)(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.(

)(4)两条异面直线所成角的范围是[0,π).(

)(5)在空间中取一点O作两条异面直线的夹角时,两条异面直线所成的角的大小与选取的点O的位置无关.(

)√×××√2.空间中两条直线垂直,这两条直线的位置关系是怎样的?提示

相交或异面.3.[北师大版教材习题]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,至少找出三条与B1C成异面直线的棱或面对角线所在的直线,并指出它们所成角的大小.解

在棱所在的直线中,与B1C成异面直线的有AB,AD,A1D1,C1D1,A1A,D1D.B1C与AB,C1D1的夹角都为90°,与AD,A1D1,A1A,D1D的夹角都为45°.在面对角线所在的直线中,与B1C成异面直线的有BD,A1C1,A1B,C1D,AD1.B1C与BD,A1C1,A1B,C1D的夹角都为60°,与AD1的夹角为90°.重难探究·能力素养全提升探究点一求异面直线所成的角【例1】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.解

(方法一)如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.①

②

(方法三)如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.③

变式探究若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?解

如图,连接A1C1,A1D.在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角.在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直线DC1与EF所成的角等于60°.规律方法

异面直线所成角的求解策略(1)求两条异面直线所成角的一般步骤是:①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即所求.(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).探究点二直线与直线垂直的证明【例2】

在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,求证:AC⊥BC1.证明

如图,连接A1B,设AC=a,BC=b,AA1=h,因为AC⊥BC,所以AB2=a2+b2.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以∠BB1C1=∠A1AB=90°,又因为AC∥A1C1,所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角,所以AC⊥BC1.规律方法

空间两条直线垂直

两条直线所成的角

借助平面几何知识求解(如勾股定理、菱形对角线、等腰三角形底边中线与底垂直等)变式训练如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,求证:AC⊥B1D.证明

如图,连接BD,交AC于点O,设BB1的中点为E,连接OE,则OE∥DB1.所以OE与AC所成的角即为B1D与AC所成的角.连接AE,CE,易证AE=CE,又O是AC的中点,所以AC⊥OE,即AC与OE所成的角为90°,则AC与B1D所成的角为90°,所以AC⊥B1D.本节要点归纳1.知识清单:(1)平面内两直线的夹角.(2)异面直线所成的角.(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点一]如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,在三棱柱所有的棱所在直线中,和AC垂直且异面的直线有(

)A.1条

B.2条C.3条

D.4条B解析

和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1,故选B.12345678910111213142.[探究点一]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为(

)C解析

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB,设正方体棱长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,12345678910111213143.(多选题)[探究点一]如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是(

)A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°ABD12345678910111213144.[探究点一]若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为

.

60°解析

∵a∥OA,∴∠AOB或它的补角为a与OB所成的角,又∠AOB=120°,∴a与OB所成角的大小为180°-120°=60°.∴a与OB所成的角为60°.12345678910111213145.[探究点一]如图,在四面体ABCD中,E,F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角为

.

30°12345678910111213146.[探究点一]一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.以上结论正确的为

.(填序号)

①③

12345678910111213147.[探究点一]如图,空间四边形ABCD的对角线AC=8,BD=6,M,N分别为AB,CD的中点,并且异面直线AC与BD所成的角为90°,则MN=

.

512345678910111213148.[探究点一]如图所示,AB是圆O的直径,点C是

的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.1234567891011121314解

因为D,E分别是VB,VC的中点,所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角.又因为AB是圆O的直径,点C是

的中点,所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,于是∠ABC=45°,故异面直线DE与AB所成的角为45°.12345678910111213149.[探究点二]如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,求证:CD1⊥EF.证明

如图,取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1是正方形,则四边形CDD1C1也是正方形,又G为CD1的中点,∴DG⊥CD1,∴∠DGD1=90°,∴异面直线CD1与EF所成的角为90°.∴CD1⊥EF.12345678910111213141234567891011121314B级关键能力提升练10.在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=,则异面直线AD,BC所成的角为

.

60°

123456789101112131411.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,E是B1C1的中点,则直线AE与BC所成的角为

,直线A1B与AC1所成角的余弦值为

.

90°123456789101112131412.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC.证明

如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.因为E是AB的中点,且AD=2,所以EH∥AD,EH=1.同理FH∥BC,FH=1.所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.因为EF=,所以EH2+FH2=EF2,所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,所以AD⊥BC.1234567891011121314123456789101112131413.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面