3.2.2双曲线简单的几何性质（一）课件高二上学期数学人教A版选择性

3.2.2双曲线简单的几何性质(一)焦点F到渐近线距离为b定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（0

<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)复习：一、研究双曲线的简单几何性质1、范围xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)新授课xy-aa2.对称性:O从图形上看，双曲线关于x轴、y轴、原点对称.

从方程上看：

(1)把x换成-x方程不变，图象关于

轴对称；

(2)把y换成-y方程不变，图象关于

轴对称；

(3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，

图象关于

成中心对称。y

x

原点

坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.新授课3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-bb-aa如图，线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长（2）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线（3）3.顶点:xyO-bb-aa注：实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线.新授课M(x,y)4、渐近线N(x,y')Q慢慢靠近xyoab实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．探究新知考点二双曲线的标准方程的求法2.与双曲线共渐近线的双曲线方程可设为:3.与双曲线共焦点的双曲线方程可设为:1.当所求双曲线的焦点位置无法确定时，其方程可设为:4.以直线

为渐近线的双曲线方程可设为:5、离心率离心率。c>a>0e>1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率.∵c>a>0∴e>1(1)定义：(2)e的范围：(3)e的含义：(4)等轴双曲线的离心率e=?5、离心率x2－y2＝λ(λ≠0)y＝±x2axyo-aab-b（1）范围:（2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线:（5）离心率:小结或或关于坐标轴和原点都对称性质双曲线范围对称性

顶点渐近线离心率图象例1:

求双曲线的实半轴长,虚半轴长,焦点坐标,离心率、渐近线方程。解：把方程化为标准方程可得:实半轴长a=4虚半轴长b=3半焦距c=焦点坐标是(0,-5),(0,5)离心率:渐近线方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace题型一：几何性质题型讲解变式:1、若双曲线的渐近线方程为则双曲线的离心率为

。题型二：几何性质的应用例2:48例题

求出下列双曲线的渐近线方程，并归纳出一般结论．题型三：求双曲线标准方程例3:法二：巧设方程,运用待定系数法.⑴设双曲线方程为,法二：设双曲线方程为∴双曲线方程为∴,解之得k=4,1、“共渐近线”的双曲线的应用λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。总结：(5)渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).k2x2－y2＝λ(λ≠0)a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)题型四：离心率p·e2＋q·e＋r＝02．求双曲线离心率的取值范围，通常构造不等式求得，特别注意双曲线离心率

．e∈(1，＋∞)(3)利用方程求．若得到的是关于a，c的齐次方程，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程

求解．取值范问题变式：设△ABC为等腰三角形，∠ABC=120°,则以A、B为焦点且过点C的双曲线的离心率为（）A.B.C.D.B2.过顶点A作x轴的垂线,它与其中一条渐近线的交点为S,则lSAl=___，lOSl=___，点S的坐标为__________。1.过焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，则lFHl=___，lOHl=___，点H的坐标为__________.yoFHbcabayoFSbcabc特殊性1——双曲线中“渐近线”的性质A双曲线中“渐近线”性质的拓展PMN性质1:QR12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象椭圆与双曲线的比较yXF10F2MXY0F1F2p小结关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐近线..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)3.2.2双曲线简单的几何性质

(二)关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）关于x轴、y轴、原点对称渐进线..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)复习：yB2A1A2B1

xO..F2F1yxOA2B2A1B1..F1F2关于x轴、y轴、原点对称图形方程范围对称性顶点离心率A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)关于x轴、y轴、原点对称A1（-a，0），A2（a，0）渐进线无1、“共渐近线”的双曲线λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。2、“共焦点”的双曲线（1）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为（2）与双曲线有共同焦点的双曲线方程表示为复习练习：

2、

求与椭圆有共同焦点，渐近线方程为的双曲线方程。3、求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程。例1、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).

A′A0xC′CB′By131225例题讲解xyOlF引例：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)设c2－a2=b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.探究一：双曲线的第二定义双曲线的第二定义

平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。

定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线xyoFlMF′l′点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线相应于下焦点F′(-c,0)的是下准线F′xyOlF例：点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到定直线的距离比是常数，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得

故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为8、6的双曲线.9x2－16y2=144即M点M的轨迹也包括双曲线的左支.求轨迹方程记得检验2.过顶点A作x轴的垂线,它与其中一条渐近线的交点为S,则lSAl=___，lOSl=___，点S的坐标为__________。1.过焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，则lFHl=___，lOHl=___，点H的坐标为__________.yoFHbcabayoFSbcabc特殊性1——双曲线中“渐近线”的性质A双曲线中“渐近线”性质的拓展PMN性质1:QR归纳总结1.双曲线的第二定义

平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。

定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。2.双曲线的准线方程对于双曲线准线为对于双曲线准线为注意:把双曲线和椭圆的知识相类比.

一般地,若P(x0,y0)是椭圆(a>b>0)上任意一点,则点P到左焦点F1的距离为:

点P到右焦点F2的距离为:xyOF1P(x0,y0)F2|PF1|、|PF2|称为焦半径，|PF1|=a+ex0、|PF2|=a-ex0称为焦半径公式，当椭圆的焦点在y轴上时，焦半径公式：

|PF1|=a+ey0、|PF2|=a-ey0焦半径公式：复习例1.

设M（x1,y1)是双曲线上一点,求M到双曲线两焦点F1，F2的距离.xyOlF2设M（x1,y1)到双曲线两焦点F1，F2相应的准线的距离为d1,d2.解：由椭圆的第二定义可知：F1如果点M在双曲线右支上，绝对值符号怎样去掉？如果点M在双曲线左支上，绝对值符号怎样去掉？双曲线焦半径公式及其记忆方法：F1F2绝对值内看焦，左加右减;去绝对值看支，左负右正xy点M在右支上当x1>a时当x1<-a时点M在左支上练习.已知双曲线的同一支线上不同的三A（x1,y1)

，

B(,6),C（x2,y2)

与焦点F（0，5）的距离成等差数列，求y1+y2=

.解：∵双曲线为∴a2=12,b2=13∴c2=252.在双曲线上任取两点A,B，则线段AB就是双曲线的弦，AB的长就是弦长.1.在几何学中，若一线段的两个端点都在曲线上，则该线称作该曲线的弦.弦的概念椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法（代数法）∆<0∆=0∆>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交探究二：直线与双曲线的位置关系1)位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(分别为0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)2)位置关系与交点个数相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,Δ>0直线与双曲线相交（两个交点）

Δ=0直线与双曲线相切

Δ<0直线与双曲线相离3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的渐进线平行相交（一个交点）

计算判别式>0=0<0相交相切相离②相切一点:

△=0③相离:△<0

注意:①相交两点:

同侧：＞0

异侧:＜0

一点:直线与渐进线平行△＞0特别注意直线与双曲线位置关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支。1.过点P(1,1)与双曲线

只有共有_______条.

变式:将点P(1,1)改为1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎样的?41.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线XYO。概念练习题：（1,1）例.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线(1)没有公共点;(2)有两个公共点;(3)