理论力学-课件第16章

第十六章机械振动基础01振动系统的最简单力学模型02单自由度系统的自由振动目录03计算单自由度系统固有频率的能量法04单自由度系统的有阻尼自由振动05单自由度系统的无阻尼强迫振动06单自由度系统的无阻尼强迫振动07隔振第一节振动系统的最简单力学模型振动系统的最简单力学模型实际的振动系统往往是很复杂的，为研究该系统的某些动力学特性，必须使其简化为某种理想的力学模型，通常简化为由若干个无质量的弹簧和无弹性的质量所组成的质量—弹簧系统。其中仅有一个质量—弹簧的系统是振动系统最简单的力学模型，如图16-2所示，质量块可在铅垂方向上做上下运动。质量块的位置可由一个独立坐标x确定，通常称这类系统为单自由度振动系统。

图16-2工程中许多问题可简化成这种力学模型，如图16-3（a）所示为简支梁振动实验装置，电动机固定在简支梁上，现在研究电动机随梁的变形所产生的上下振动，如果电动机的质量远远大于梁的质量，我们就可视电动机为无弹性只有质量的质点，视梁为无质量只有弹性的弹簧，其力学模型与图16-2的相似，质量—弹簧系统如图16-3（b）所示。（a）

（b）图16-3（a）（b）（c）（d）图16-4（a）

（b）图16-5例16-1（a）

（b）

（c）图16-6例题解析解等效弹簧是指在相同力作用下，振动体产生的静位移相等时的一个代替弹簧，常称该代替弹簧为原来弹簧组的等效弹簧，如图16-6（c）所示。（1）两弹簧串联（a）由静力平衡条件可得（b）由此又可得到，

（c）将式（c）代入式（a）得到由此得到等效弹簧刚度系数为（2）两弹簧并联（d）由静力平衡条件，可得（e）将式（d）代入式（e），得由此得到等效弹簧刚度系数为这一结果可推广到n个弹簧并联，此时等效弹簧刚度系数为第二节基本方程的应用举例自由振动微分方程或如果给重物以初始扰动（偏离平衡位置或初速度），则重物将在平衡位置附近发生振动。重物偏离平衡位置后，因弹簧变形而产生弹性恢复力将它拉回到平衡位置；而当重物回到平衡位置时，又因为自身的惯性（因重物具有质量）使它继续运动，从而又偏离了平衡位置，如此不断重复就形成了振动。振动系统在受到初扰动（初位移或初速度）后，仅在恢复力作用下，在其平衡位置附近所做的振动，称为自由振动。图16-7图16-7（16-1）在小变形情况下，我们认为弹性恢复力与变形的关系为线性的，即弹性力的大小正比于变形的大小，所以（16-2）将式（16-2）代入式（16-1），可得即（16-3）令（16-4）则有

（16-5）式（16-5）就是无阻尼自由振动微分方程的标准形式，它是一个二阶齐次线性常微分方程。其解的形式为式中，r为待定常数，通常称为特征根。特征方程的两个特征根为（16-6）（16-7）式（16-6）或式（16-7）均为表示物体的自由振动方程。图16-8无阻尼自由振动的动态特性固有频率、振幅和初相位是表示振动系统动态特性的重要物理参数，常称为振动三要素。1．固有频率（16-8）由此得自由振动的周期为（16-9）则（16-10）（16-11）式（16-11）表明，对于上述振动系统，只要知道在重力作用下系统的静变形，就可以求得系统的固有频率。振动系统的静变形可用材料力学公式计算，也可以通过实验直接测量。2．振幅和初相位（16-12）三、其他类型的单自由度振动系统（a）

（b）图16-9根据刚体绕定轴转动微分方程，可得到扭振系统的运动微分方程运动微分方程与质量弹簧系统的振动微分方程的形式完全相同，因此它们的解，即系统运动方程的形式完全相同。例16-2例题解析（a）

（b）图16-10解

（1）选罐笼为研究对象，如图16-10（b）所示选取坐标系。（4）应用自由振动系统的基本公式，建立罐笼的运动方程并求钢索的最大张力。则系统的固有频率为利用自由振动系统的振幅和初相位表达式（16-12）可得到振幅为初相位为于是，根据式（16-7）可得到罐笼自由振动的运动方程为例题解析（a）

（b）图16-11解

（1）选取整个系统为研究对象。此式即为弹簧摆的自由振动微分方程，系统的固有频率应为对于复杂系统，特别是由较多个元件组成的单自由度系统或多自由度系统，常用拉格朗日方程来建立系统的振动微分方程例题解析图16-12解

（a）（3）计算势能V及拉格朗日函数L。（b）又在平衡时，应有

在整理势能V的表达式时，考虑式（c），最后得到势能表达式（d）（c）则拉格朗日函数L为

（e）（5）利用拉格朗日方程建立振动微分方程。得到 所以系统的振动微分方程为

（f）或

（g）则 （h）第三节计算单自由度系统固有频率的能量法固有频率是振动系统的重要参数。对于单自由度振动系统，只要能建立系统的振动微分方程，就可以求出系统的固有频率。但对于某些复杂的系统，建立系统的振动微分方程也不是很容易的。对于保守系统，如果仅需要求固有频率，应用能量法比较方便。能量法的理论依据是机械能守恒定律。如图16-13所示为一单自由度无阻尼自由振动系统，由于在振动过程中没有能量损失，则根据机械能守衡定律，应有图16-13式中，T为动能，V为势能。现取系统平衡位置为势能

零点，系统在任一位置时，有（16-13）

（16-14）根据简谐振动规律

可以计算出任意位置时，质量块速度由此得到，偏离平衡位置最大值

通过平衡位置时最大速度

由式（16-13）得到代入式（16-14）后，得 从而得固有频率为与式（16-4）的结果相同。应用能量法计算振动系统固有频率的步骤如下。（1）假设系统的振动形式；（2）计算系统的最大动能与最大势能；（3）应用机械能守恒定律求解固有频率。例题解析（a）

（b）图16-14解

（1）选系统为研究对象。（2）因系统运动是单自由度无阻尼自由振动，即为简谐振动，故设小球M的运动规律为（3）计算系统的最大动能。小球重心自平衡位置下降的距离为所以小球势能的最大值为系统势能的最大值为因此，系统的固有频率为（5）应用机械能守恒定律，计算固有频率。第四节单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼实际观察表明，自由振动的振幅总是不断衰减，直到最后振动停止。这是因为我们在前面的讨论中，略去了阻力的影响。事实上任何振动系统总是存在着阻力，它将不断消耗系统的振动能量，使振动振幅不断衰减。振动过程中的阻力习惯上称为阻尼黏性阻尼、干摩擦阻尼及由于结构材料变形而产生的结构阻尼等（16-15）阻尼对自由振动的影响于是系统的运动微分方程为

（a）

（b）图16-15（16-16）式（16-16）就是单自由度有阻尼自由振动系统的运动微分方程。解得特征方程的两个根为因此方程（16-16）的通解为（16-17）阻尼对自由振动的影响这时微分方程（16-16）的解（16-17）可根据欧拉公式写成（16-18）（16-19）（16-20）式（16-18）是在小阻尼情形下的自由振动表达式，这种振动的振幅在阻尼力的作用下不断衰减，所以这种振动又称为衰减振动，其运动如图16-16所示，阻尼对自由振动的影响可表现为以下两个方面。（1）振动周期变大（16-21）（16-22）（2）振幅按等比级数衰减（16-23）式中，d为减幅因数则上式表明，每振动一次振幅将减小27%。如果将这一结果与前面（1）中的计算结果进行比较，不难看出，在小阻尼的情况下，虽然周期增大的很微小，但振幅却按等比级数迅速地衰减。对式（16-23）的两边取自然对数，得到（16-24）在这种情形下，特征方程的根为两个相等的负实根，即得微分方程（16-16）的解为（16-26）式（16-26）表明，在临界阻尼情形下，物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置，因而此时的运动已不具有振动的特点。在这种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即所以微分方程（16-16）的解为（16-27）大阻尼情形的集中运动曲线。（a） （b）(c)图16-17阻尼对单自由度自由振动系统的影响例题解析解所以

即 则由式（16-23）两边同时取自然对数，得所以 所以使系统不发生振动的阻力系数为第五节单自由度系统的无阻尼强迫振动系统除了在恢复力的作用下可发生自由振动之外，在随时间变化力的作用下也可以发生振动。这种随时间变化的力称为激振力，由激振力引起的振动称为强迫振动。激振力的类型有很多，一般可分为周期变化的和非周期变化的两类。周期变化的激振力在工程中是最常见的，一般回转机械、往复机械等都会引起周期激振力。下面将要研究的是在简谐激振力作用下发生的强迫振动，简谐激振力是周期变化的激振力中一种最典型的情况，它的表达式为（16-28）强迫振动微分方程及其解图16-18

（a）（b）（16-29）式（16-29）是无阻尼强迫振动微分方程的标准形式。该方程是二阶线性非齐次常微分方程。由微分方程理论可知，它的解由两部分组成，即齐次方程通解为设方程（16-29）的特解为其中，B为待定系数，代入式（16-29），得解得待定系数 于是方程（16-29）的特解为

（16-30）方程（16-29）的全解为（16-31）在实际振动系统中总是有阻尼存在的，在阻尼的影响下，使自由振动部分很快衰减下去，因此，我们只须深入讨论强迫振动的一些动态特征。激振力频率对强迫振动振幅的影响强迫振动的振幅为（16-32）图16-19共振现象将其代入式（16-29）后可得则共振时强迫振动的运动规律为（16-33）它的幅值为例题解析（a）

（b）图16-20（1）选研究对象及系统简化。选电机和梁为研究对象，将它们简化为质量—弹簧系统。取电机的静平衡位置为坐标原点O，x轴铅垂向下为正，如图16-20（b）所示。解（4）建立运动微分方程并求解。应用达朗贝尔原理，在x轴上的投影方程为可得

或利用式（16-12），可得到系统的固有频率激振力频率 单位质量激振力幅所以强迫振动的振幅为则

（a）

（b）图16-21（1）选研究对象。取重物K为研究对象。取重物K的静平衡位置O为坐标原点，x轴铅垂向下为正，如图16-21（b）所示。解（3）列运动微分方程并求解。根据动力学基本方程可列出重物k的运动微分方程为或可见，弹簧端点A的简谐位移干扰相当于在重物上施加一简谐激振力。由式（16-30）可得重物的强迫振动的运动方程为其振幅为（4）分析讨论。若略去自由振动部分，则测振仪所记录的振动是重物对于框架的相对运动应为或第六节单自由度系统的有阻尼强迫振动振动微分方程（a）

（b）图16-22（16-34）这是有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，它是二阶线性常系数非齐次微分方程，根据微分方程理论，其解由两部分组成（16-35）（16-36）将上式代入方程（16-34），可得式中常数（16-37）（16-38）于是得方程（16-34）的通解为(16-39）式（16-39）表明，有阻尼强迫振动系统的运动由两部分组成。第一部分为衰减振动，如图16-23（a）所示，第二部分为强迫振动，如图16-23（b）所示。其中衰减振动部分，经过一定的时间后即可消失，以后只剩下强迫振动部分。振动开始后两部分同时存在的过程称为瞬态过程，仅剩下强迫振动的过程为稳态过程，如图16-23（c）所示。图16-23阻尼对强迫振动振幅的影响在前节的讨论里，没有考虑