6.第六节-二阶常系数非齐次线性微分方程

第六节二阶常系数非齐次线性

微分方程第八章微分方程一、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构及特解的可叠加性。本节主要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程

(1)的解法，其中

为常数，

是连续函数.它所对应的齐次方程为

(2)定理1设

是二阶非齐次线性方程

的一个特解。

是与(1)对应的齐次方程(2)的通解，那么

(3)是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解。一、二阶常系数非齐次线性微分方程的通解结构及特解的可叠加性。由于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法在第四节中已得到解决，在这里只要讨论二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法。在这里主要讨论取两种常见形式时，求的待定系数法。1.情形二、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解考察二阶常系数非齐次线性方程(4)其中是常数，是的一个m次多项式，要使方程(4)的左端等于多项式与指数函数的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积，因此我们推测，其中是某个多项式。将，，，代入方程(4),并消去，得可以分下列三种情况讨论：(1)不是特征方程的根，即，由于是一个m次多项式，要使(4)式两端相等，则可设为另一个m次多项式，其中为待定系数。代入

(4)式可确定这些系数，从而得到特解要使(4)式两端相等，则必须为m次多项式，可设(2)是特征方程的单根，即，但。用同样的方法可确定这些系数，从而得到特解(3)是特征方程的两重根，即，且。要使(4)式两端相等，那么必须为m次多项式，可设用同样的方法可确定这些系数，从而得到特解综上所述，我们可得到如下结论：如果，则二阶常系数非齐次线性方程(4)具有形如的特解，其中是与同次的多项式，k是特征方程中根的重数，按不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的重根，依次取为。例1求微分方程的通解。由于是特征方程的单根，设特解为解对应齐次方程为它的特征方程为特征根为故对应齐次方程通解为代入原方程式，得所给微分方程的通解为得到原方程的一个特解比较两端的同次幂的系数得，即，例2

求微分方程的通解。由于是特征方程的两重根，设特解为对应齐次方程为解它的特征方程为特征根为故对应齐次方程通解为代入原方程式，得所给方程的通解为得到原方程的一个特解比较两端的同次幂的系数，得即的解，则，分别是微分方程定理2

设是微分方程

(5)的解，其中为常数，都是实值函数2.(或)（其中是实数，是m次多项式）和(6)(7)由，可得

，即分别为方程(6)与(7)的解，证毕。由它们的实部、虚部分别相等，得即把它们代入方程(4),得证的特解，由定理可知，分别取的实部(或虚部)，即是微分方程(8)的特解：这样，欲求微分方程或对(或)，利用欧拉公式(或)的特解，只要求微分方程(8)(或)。对于微分方程(8)的特解求法，与前面部分相同，即有结论：

，其中，若不是特征方程的根，取；若是特征方程的根，取。下面求微分方程的特解例3求微分方程

的通解。对应的齐次方程为解对应齐次方程的通解为特征根为它的特征方程为由于不是特征方程的根，所以设特解，代入所给方程，原方程的通解原方程的特解所以故得下面求微分方程的特解例4

求微分方程的通解。代入方程解由于是特征方程的根，所以设特解对应的齐次方程的通解为得，令它们的实部、虚部分别相等，得，即原方程的通解为原方程的特解为则在以上的运算中较多的用到复数的运算，如果要避免复数的运算，我们也可直接把设作三角函数的形式。其中、是m次多项式，，k是特征方程含有复根的重数.不是特征方程的根，k取0.是特征方程的根，k取1。

如果，则二阶常系数非齐次线性微分方程(1)的特解可设为代入原方程得，即我们再看例3，求微分方程的特解.解令，，

，得，即则原方程的通解为

。我们再来看例4，求微分方程

的特解

。解由于i是特征方程的根，设特解

,