2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练17 矩形的性质与判定(巩固篇)

专题L7矩形的性质与判定（巩固篇）（专项练习）

—*、单选题

类型一、利用矩形的性质求线段、角度及面积

1.如图，在矩形48CQ中，对角线AC与8。相交于点O,于点E,

ZDAE=2ABAE,4）=4,则。E=（）

2.如图，。是矩形48co的对角线交点，4E平分NBA。，ZAOD=\20Q,NAEO的度

数为（）

A.15°B.25°C.30°D.35°

3.两张全等的矩形纸片ABCD,AEb按如图的方式叠放在一起，AB=AF.若AB=3,

BC=9,则图中重叠（阴影）部分的面积为（）

A.15B.14C.13D.12

类型二、利用矩形的性质和判定证明

4.若顺次连接矩形的各边中点所得的四边形一定是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形

5.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AO=5cm,点£为8c上的一点，ED平分ZAEC,

则8E的长为（）

C.5cmD.6cm

6.如图所示，矩形ABC。中，AE平分NBA。交8C于E,NC4E=15。，则下面的结论:

①△OOC是等边三角形；②BC=2AB；@SAAOE=SACOE,其中正确结论有（）

C.2个D.3个

类型三直角三角形斜边上中线问题

7.如图，四边形A8C。是菱形，对角线AC、30相交于点O,过点。作AB于

点〃，连接ZC4D=20°,则NDHO的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

8.如图，菱形A8CO的对角线AC,8。相交于点O,过点。作DH_LAB于点H,连

接OH,若04=4,0/7=2,则菱形48CO的面积为（)

A.8B.16C.24D.32

9.如图，点4的坐标为（4,3）,AB_Lx轴于点8,点C为坐标平面内一点，0。=2,

点O为线段AC的中点，连接8D,则8。的最大值为（)

r3小

\-z.D.2旧

2

类型四、添加一个条件构成矩形

10.如图，在四边形A8CO中，点区F,G,，分别是AO,BD.BC,CA的中点，若

四边形EFGH是矩形，则四边形A8C。需满足的条件是（)

A.ABLDCB.AC=BDC.ACLBDD.AB=DC

11.在0A8CO中，对角线AC,80相交于点0,只需添加一个条件，即可证明

是矩形，这个条件可以是（）

A.AB=BCB.AC=BDC.ACLBDD.408=60。

12.如图，平行四边形ABC。的对角线AC与BO相交于点。，添加一个条件使平行四

边形48co为矩形的是（）

C.AB=ACD.CA1BD

类型五、证明四边形是矩形

13.如图，在AABC中，点。、E、厂分别是48、BC、AC的中点，则下列四个判断中,

不正确的是（)

D.

A.四边形AOEF是平行四边形B.若NA=90。，则四边形4。灯是矩形

C.若AB=AC,则四边形ADEr是菱形D.若四边形人。“是正方形，则AABC是等边三角形

14.如图，在锐角△ABC中，延长BC到点。，过点0作直线MN〃BC,MN分别交NACB、

NACO的平分线于E,连接4E、AF,在下列结论中：①0£=0万：②CE=CF；③若CE=

12,则0C的长为6；④当AO=CO时，四边形4EC尸是矩形.其中正确的是（）

A.①④B.①②C.①®@D.②®④

15.如图，在平行四边形A8CO中对角线AC、BD交于点、O,并且NOAC=60。，ZADB

=15。.点E是AO边上一个动点，延长E0交BC于点尸，当点E从。点向A点移动过程中

（点E与点。，A不重合），则四边形AFCE的变化是（）

A.平行四边形一矩形一平行四边形一菱形一平行四边形

B.平行四边形T菱形T平行四边形T矩形T平行四边形

C.平行四边形一矩形-平行四边形-正方形一平行四边形

D.平行四边形一矩形—菱形-正方形一平行四边形

类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积

16.将矩形ABCD绕点、A顺时针旋转a（0°<av360°）,得到矩形AEFG.当GC=G8时,

下列针对。值的说法正确的是（)

A.60。或300。B.60。或330。C.3（尸D.60°

17.如图，在矩形ABC。中，点E、F、G、H分别是边AB、BC.CD、OA上的动点（不

与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH,且48=10、BC=5,则四边形EFGH

周长的最小值等于（）

C.5岳D.5"

18.如图，在平行四边形A8C。中，AD=3,CD=2.连接4C,过点3作8E//AC,

交OC的延长线于点E连接4£,交8C于点尸.若NAFC=2ZD,则四边形A8EC的面积

为（）

A.75B.2石C.6D.2拒

二、填空题

类型一、利用矩形的性质求线段、角度及面积

19.如图，在矩形A8CD中，对角线4C,8。交于点。，OE平分/AOC交8C于点区

连接0日若NBDE=15。,则/DOE=.

20.如图，矩形ABC。中，AB=3,40=5.点E是BC边上一动点，连接Af.将△48七

沿AE翻折得到连接OE当AA。尸的面积为,时，线段BE的长为.

21.如图，在矩形中,点E、尸分别是AB、。。的中点,连接OE和B凡分别取

DE.8尸的中点M、N,连接AM、CN、MN.若A8=3,BC=2y（5,则图中阴影部分的面

类型二、利用矩形的性质和判定证明

22.如图，在平面直角坐标系中，点8的坐标为（3,3）,过点8作BA_Lx轴于点A,

8C_Ly轴于点C若直线/：y=〃次-2m（加工0）把四边形。45c分成面积相等的两部分，

则机的值为.

八

C-------\B

OAx

23.如图，线段A8=10,点。是线段AB上的一个动点（不与点A重合），在A8上方

作以4。为腰的等腰△48，且NC4O=120。，过点。作射线Z）P_LCD,过。P上一动点G

（不与O重合）作矩形CDGH,其对角线交点为O,连接08,则线段OB的最小值为

H

24.如图，矩形48co中，48=4,BC=3,矩形WG"的顶点E,G,〃分别在矩

形ABC。的边AB,CD,D4上，且H4=l,则点尸到8C的距离的最大值为.

类型三直角三角形斜边上中线问题

25.在IBC中，ZC=90°,ZA=30°,。是A8的中点，8=3,则4C=

26.如图，在“IBC中，4。和AE分别是边BC上的中线和高，已知

AO=3,AC=2,N8AC=90。，求高A£：=

27.如图，在AASC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在X轴、了轴上,

当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点8到原点的最大距离是

类型四、添加一个条件构成矩形

28.如图，连接四边形A8CO各边中点，得到四边形£FGH,还要添加

条件，才能保证四边形瓦G”是矩形.

29.如图，四边形ABCD中，AD/7BC,ZD=90°,要使它变为矩形，需要添加的条件

（写出一种情况即可）

D

BC

30.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,

DB请你添加一个条件.,使四边形DBCE是矩形.

E

类型五、证明四边形是矩形

31.如图，菱形A8c。中，点。为对角线的交点，E、F、G、”是菱形A8CD的各边

中点，若AC=6,80=8,则四边形EFGH的面积为

32.如图，AABC中，分别以A8、AC为边在AABC外作等边三角形A3。和等边三角

形ACE,连接。、BE,四边形HOPE是平行四边形.

DF

（1）当NB4C的度数为时，平行四边形AOFE是矩形；

（2）当NB4C的度数为时，平行四边形AOFE不存在；

（3）当AABC满足时，平行四边形AOFE是菱形.

33.数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形:其中四边形ABCD为菱形,△AOH、

△CBF、△AEB、△CGD均为直角三角形.若AH=不，DH=1,CG=2,则EF的长为

类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积

34.如图，在平行四边形ABCD中，ABVBC,ZB=30°,AB=2上,将AABC沿AC

翻折至/A8C,连接8D.当8C长为时，△48。是直角三角形.

35.如图，在AA8C中，AB=ACf直线。石垂直平分A8,把线段AE绕点E顺时针

旋转90。，使点A落在直线OE上的点F处，联结C/、BF,线段AC、BF交于点、G,如果

36.如图，等腰直角三角形4BC,4CB=90。，点。、E分别是A3、8c上的点，且

DC=DE,AD=BE=g，则图中阴影部分的面积为

三、解答题

37.如图，矩形A5C。的对角线AC、BD于点0,408=60，AB=4.

(1)求AC、4。的长；(2)求矩形ABC。的面积.

38.如图，在矩形4BC。中，点M在。。上，AM=AB,KBN1AM,垂足为N.

(1)求证：△ABNGAMAO；(2)若AO=2,AN=4,求四边形8cMN的面积.

39.如图，在“IBC中，4。是BC边上的中线，E是A。的中点，过点4作4/〃8c

交BE的延长线于点F,连接CH

⑴求证：AF=DC,

(2)若4BJ.4C,CF=2,求四边形A。。产的周长.

40.如图，四边形4BCO对角线AC、8。相交于点O,且NABC=90。，,

BE//AC.CE//DB,求证：四边形O8EC是菱形.从以下三个选项中选两个作为已知条件:

®AD//BCf②48=CZ),③4>BC,并完成证明.

你选择的条件是

41.如图，在平行四边形ABC。中，BE平分NABC,且与A。边相交于点E,NAEB=

45°.

⑴求证：平行四边形八8c。是矩形；

(2)连接CE,若CE=4，DE=\,求AD的长.

参考答案

1.A

【分析】

设NK4E=a,贝ljNZME=2a,利用3a=90。求出进一步得205=30。，设

A8=x,则8/5=2x,利用勾股定理求出x二生叵，再求出08,BE，利用OE=O8-跳:求解

3

即可.

解：设N84E=a,则NZi4E=2a,

/.3a=90°,得：a=30°.即N8AE=30。，

AE工BD,

/.Z4BD=60°,二30。，

,:AD=4,

设=则BZ)=2x,

・・・/+22=4/，解之得：“二迪，

3

工AB金BD巫

33

,心01.273

••BE=-ABD=---，

23

,:BO=-BD=^-,

23

/.OE=OB-BE=^~,

3

故选：A.

【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，30°所对的直角边等于斜边的一半.解题的

关键是求出N5AE=30。，4仞%30。，再利用勾股定理，30°所对的直角边等于斜边的一半，

求出BE,BO.

2.C

【分析】

根据矩形的性质可得08=0C,AD//BC,N4BGN84O=90°,又由4E平分NBA£>,

NAOO=120。，即可求得NOBC和44EB的度数，以及A8=B£,AB=Q4=O8,即可得0B=BE,

/BOE=/BEO,即可求得NOEB的度数

解：•・•四边形A4C0是矩形，

：・AD"BC,NABC=N8心90。，AC=BD,OB=^BD,OC=^AC,

：,OB=OC,

・•・NOBC=NOCB,

,/ZBOC=ZAOD=120°,

JN080300,

•・NE平分NBA。，

JZBAE=ZE4D=45°,

:.ZAEB=ZEAD=ZBAE=45°,

：.AB=BE,

,:N4OD=120。，

:.ZAOB=60°,

：.AB=OA=OB,

工0B=BE,

JNBOE=NBEO,

：.NOEB=75。,

・•・ZAE0=ZOEB-ZA£fl=75o-45o=30°,故C正确.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和

判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

3.A

【分析】

先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形AGC”是平行叫边形，再根据三角形

全等的判定证出△ABGWACEG,根据全等二角形的性质可得AG=CG,设AG=CG=X,

则8G=9-3，然后在RtZsABG中，利用勾股定理求出工的值，最后根据平行四边形的面积

公式即可得.

解：•.•如图，在两张全等的矩形纸片A8CD,AEC尸中，AB=AF=3,

.•.CE=AB=3,ZB=ZE=90°,AD||BC,AF||CF,

四边形AGCH是平行四边形，

在AABG和KEG中,

Z.AGB=ZCGE

NB=NE=90°,

AB=CE

:.AABG^CEG(AAS),

:.AG=CG,

设4G=CG=x,^iBG=BC-CG=9-x,

在RtAABG中,AB2+BG2=AG2f即3?+(9-4,

解得x=5,

..CG=5,

则图中重叠(阴影)部分的面积为CG-AB=5x3=15,

故选：A.

【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形全等的判定定理与性质等

知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键.

4.A

【分析】

利用中位线的定理和矩形对角线的性质证明顺次连接矩形的各边中点所得的四边形的

四条边都相等即可求解.

解：如图，四边形A5CO是矩形，点E、八G、，分别是其四条边的中点，顺次链接七、

F、G、”可得四边形EFG"一定是菱形，

证明：连接AC、BD,

•・,在aAB。中，

VAH=HD^AE=EB,

：.EH=-BD

2t

同理可得：HG=-AC,FG=-BD,EF=-AC,

222

•・•四边形A8CO是矩形，

・•・AC=BD,

:.EH=HG=FG=EF,

・•・四边形EFGH是菱形,

故选：A.

【点拨】本题考查矩形的性质、三角形中位线按定理、菱形的判定，解题的关键是正确

解读题意，熟练运用菱形的判定方法.

5.B

【分析】

由。平分4EC得出NA即=N0EC,再根据矩形的性质得出相应角的度数，再由角

与角之间的关系得出NDEC=WE，从而得HINM陀=NAED,再力角相等得出边相等,

再根据勾股定理求出5E的长.

解：；瓦>平分NAEC

ZAED=ZDEC

.・•四边形ABC。为矩形

/.ZC=90°,ZA£>C=90°,ZB=90°

/.Z£)EC+ZEDC=90°,ZADE+ZEDC=90°

：.ZDEC=ZADE

/.ZADE=ZAED

*，•AE=AD

AD=5cm

AE=5cm

'：AB=3cm

BE=ylAE2-^=452-32=4cm

故选：B.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质及勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质和运用勾

股定理是解答此题的关键.

6.C

【分析】

由矩形的性质得04=0。=0。=。&再证NACO=60。，得△ODC是等边三角形，故

①正确；然后由含30。角的直角三角形的性质得4C=2A8,则2A8>BC,故②错误；最后

由。4=0。得S3OE=S4COE,故③正确；即可求解.

解：•・•四边形A8CD是矩形，

:.ADIIBC,ZBAD=ZABC=ZADC=90°,OA=OC,OD=OB,AC=BD,

：.OA=OD=OC=OB,

•・・4E平分NBA。，

・・・ND4E=45。，

VZCA£=15°,

/.ZDAC=45°-15°=30°,

JZACD=90°-ZDAC=90°-30°=60°,

VOD=OC,

•••△0£>C是等边三角形，故①正确：

,:ADHBC,

：.N4C8=ND4C=30。，

VZABC=90°,

・・・AC=2AB,

：.2AB>BC,故②错误；

：OA=OC,

：,SAAOE=SACOE,故③正确；

正确的结论有2个，

故选：C.

【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的

性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA=OD=OC是解题的关键.

7.A

【分析】

先根据菱形的性质得8=08、ABHCD、AB=AD.8O_LAC,借助NC4O=20°可

计算出ZE4D、ZA5。的值，再利用8=08可知0〃为/?公。”8的斜边。8

上的中线，得到。”=OD，利用等腰三角形的性质得NDHO=/BDH，进而求出NDHO

的度数.

解：・・・48CO是菱形，

：.OD=OB,AB!/CD,AB=AD，BDA.AC,

・•・ZBAD=2ZCAD=40°,

・•.ZABD=(180°-ZBAD)^2=70°,

VDHLAB.OD=OB.

：.OH=OD,

・•・NDHO=ZBDH=90°-ZABD=20°,

故选：A.

【点拨】此题考查菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形等边对等角求

角度等知识，熟记相关几何性质是解题的关键.

8.B

【分析】

由RILBHD中，点。是8。的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,OH=2,

则，BA4,由菱形对角线的性质可得AC=8,应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，

即可得出答案.

解：・・•四边形ABCO是菱形，

：.OA=OCtOB=OD,4C_LB。，

•：DH工AB,

N3〃”=9(尸，

：,BD=2OH,

•：OH=2,

・・・BO=4,

•・・QA=4,

AAC=8,

J菱形ABCZ)的面积二^AC^BD=jx8x4=16.

故选：B.

【点拨】

本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三

角形的性质进行计算是解决木题的关键.

9.B

【分析】

先连接AO，取其中点E，连接力E、BE，根据点。、E为线段AC、4。的中点求出

DE的长，再根据斜中线定理求出8E的长，当当8、。、E三点在同一条直线上时，8。值

最大，求出结果即可.

解：如下图所示，连接A。，取其中点E,连接DE、BE,

•・•点。、E为线段4C、八。的中点，

JDE=-OC=\,

2

又•・・AB_Lx轴干点B.

AO=JAB2+OB2=5

・•・BE=-AO=-,

22

当B、。、E三点在同一条直线上时，值最大，

57

BD=BE+DE=\+-=-；

22

故选：B.

【点拨】本题主要考查三角形中位线定理、斜中线定理，本题解题的关键是在于找到两

点之间线段最短.

10.A

【分析】

利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，当A8_LDC,利用所

EH/ICD可得EFJLEH即可证明四边形EFGH是矩形.

解：•・•点E,尸，G,H分别是AD,BD,BC,CA的中点,

/.EFIAIB,且E尸=[AB,GH〃AB且GH=gAB,

22

J四边形EFGH是平行四边形，

•・•四边形EFGH是矩形，

；・NFEH=90°,即在:一HE,

*/EF//AB,HEUCD,

・•・ABVCD,

故选：A.

【点拨】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中

位线定理证明四边形EFGH是平行四边形，再利用FE±HE推出A8CD.

11.B

【分析】

由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可；

解：•・•四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,

.・・平行四边形ABC。是菱形，故A不符合题意；

•・•四边形A8CO是平行四边形，AC=BD.

・•.平行四边形A3CO是矩形，故B符合题意；

•・•四边形人8C。是平行四边形，ACLBD,

・•・平行四边形ABCO是菱形，故C不符合题意：

•・•四边形4BCD是平行四边形，ZAOB=60°,

・•・不能判定平行四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；

故选B.

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和菱形的判定，准确分析判断

是解题的关键.

12.B

【分析】

根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可.

解：A、=时，平行四边形A8CO是菱形，故选项A不符合题意；

B、AAJ.AD时，NB40=9O。，则平行四边形A5c。是矩形：故选项B符合题意；

C、A5=AC时，平行三边形ABC£＞不一定是矩形，故选项C不符合题意；

D、C4_L8。时，平行四边形ABC力是菱形，故选项D不符合题意；

故选：B.

【点拨】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；

熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键.

13.D

【分析】

根据三角形中位线定理可知。石〃AF，DE=AF,所以四边形AOE尸是平行四边形；

当44=90。，四边形A。石尸是矩形；若"=AC,则=所以四边形ADEF

是菱形；若四边形AOEF是正方形，则NA=90。，AABC不是等边三角形.

解：A.由三角形中位线定理可知：DE//AF,DE=AF,

，四边形AOM是平行四边形，选项正确，不符合题意；

B.V四边形ADEF是平行四边形，，当NA=90。，四边形ADEF是矩形,选项正确，

不符合题意；

C「・•四边形AOE尸是平行四边形，

/.AD=EF,DE=AF,

•・・AB=4C,点D、F分别是AB、AC的中点

・•・DE=EF,

・•・AD=DE=EF=AF,

・••若A8=AC,则四边形AOEF是菱形，选项正确，不符合题意；

D」.•若四边形AOEF是正方形，则44=90。，

・.•若四边形.是正方形，则“1BC是等边二角形，选项错误，符合题意；

故选：D.

【点拨】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，

正方形的性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟记定理及性质.

14.A

【分析】

①证明O£=OC,OF=OC,即可证明结论①正确；

②先由角平分线性质证/反尸=90°，若CE=CF,则NOFC=45c,48=90。，与已

知矛盾，故结论②错误;

③由直角三角形斜边中线性质知，OC=；EF,故结论③错误；

④由矩形判定方法可以证明该结论正确.

解：-MN//BC

Z.OEC=/ECB,Z.OFC=NFCD

••,EC平分角NAC8,FC平分角NACZ)

/.ZOCE=NECB,ZOCF=ZFCD

NECF=NOCE+4OCF=90°

二NOCE=NOEC,Z.OCF=Z.OFC

,.OC=OE=OF

故结论①正确；

若CE=CF.则/。巾=45。.Z4CD=2x45°=90°,与AABC是锐角匚角形矛盾,故

结论②错误：

由上面分析知，尸是直角三角形，OC是斜边中线，故。。二义七尸＞3七。=6,故

结论③错误：

由OE=O£Q4=OC,ZECF=90°,知四边形4EC尸是矩形，故结论④正确.

综上，正确答案为：A

【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、宜角三角形中线性质、矩形的判定

等知识点，熟练掌握基本知识是解题的关键.

15.B

【分析】

根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可.

解：点E从。点向4点移动过程中，

•・•四边形ABCD是平行四边形，

:.AD//BC,AO=CO,

:・NEAO=NFCO,ZAEO=ZCFO,

：.△40%△COR

：.AE=CFt

，四边形AEC尸是平行四边形；

VZAOD=\SO°-ZDAC-ZADB=\\5°,

・••当NEOO=15。时，NAOE=90。,

此时平行四边形AECT是菱形；

当ZEOD=45°,ZAEO=ZEOD+ZADO=45°+\5°=60°,

：.ZOAE=ZOEA,

：,OA=OEf

：.AC=EFt

此时平行四边形4EC尸是矩形；

•••NEOOV15。时，四边形AFCE为平行四边形，

当NEOO=15。时，ACLEF,四边形4FCE为菱形，

当15。〈/七0。〈45。时，四边形AFCE为平行四边形，

当NEOD=45。时，四边形4尸CE为矩形，

当45。＜/七0。＜105。时，四边形AFCE为平行四边形，

故选：B.

【点拨】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，解决问题的关键是熟练掌握

并应用它们的判定定理.

16.A

【分析】

当G8二GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据ND4G=60。，即可

得到旋转角a的度数.

解：如图，当G8二GC时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论：

①当点G在人。右侧时，取8c的中点“，连接G"交A。于

:.GHLBC,

・•・四边形是矩形,

：,AM=BH=-AD,

・・・GM垂直平分A£),

：.GD=GA=DAt

•••△ADG是等边三角形，

:./D4G=60。，

・•・旋转角a=60°；

②当点G在A。左侧时，同理可得AAOG是等边三角形,

ND4G=60。，

，旋转角。=360。-60。=30。。，

故选：A.

【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意:

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

17.A

【分析】

由矩形的性质与线段的等量关系证明AAE”且ACG/(SAS),ABEF%DGH(SAS),则

EH=GF,EF=HG,如图，作E关于8c的对称点£,连接EG交于尸，此时EV+PG

最小，即四边形“6〃周长最小，作GG'_LAB于G',则四边形8CGG是矩形，BG'=CG,

GG=BC=AD,则£G'=AB=10,GGf=AD=5,在R〃GE*G'中，由勾股定理得

£G=J(£G)2+(GG)2求出名G的值,进而可求最小的周长.

解：•・•四边形A8CD是矩形，

:,AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZADC=ZBCD=ZABC=90P,

AE=CG,BF=DH

:,BE=DG,CF=AH,

在4AEH和ZGF中

AH=CF

V^EAH=ZGCF=90Q,

AE=CG

：.^AEH^CGF(SAS),

・•・EH=GF,

同理ABEFqADOHISAS),

・•・EF=HG，

如图，作E关于8C的对称点£,连接E'G交BC于尸，此时七户+AG最小，即四

边形FR7万周长最小,作GG'I4。于(7.

・•・四边形8CGG是矩形，

；・BG'=CG,GG=BC=AD,

*：AE=CG,BE=BE，

：.E,G,=AB=\O,GG'=AD=5,

在RfaGEG'中，由勾股定理得EG=J(E&f+(GG)2=5石,

:.四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+EH=2EG=1()6,

故选A.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识.解

题的关键在于找出四边形EFG"周长最小时点E、尸、G的位置关系.

18.B

【分析】

先证明四边形ABEC为矩形，再求出AC,即可求出四边形A8EC的面积.

解：•・•四边形48CD是平行四边形，

：,AB//CD,AB=CD=2fBC=AD=3,ZD=ZABC,

•・•BE//AC,

...四边形4NEC为平行四边形，

ZAFC=2ZD,

ZAFC=2ZABCt

•・•NAFC=NABF+NBAF,

:./ABF=/BAF,

:,AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

・•・平行四边形ABEC是矩形，

・•・ZBAC=90°,

・•・AC=ylBC?-AB?=打力=6

:.矩形ABEC的面积为AB.AC=2石.

故选：B

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相

关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键.

19.1350##135度

【分析】

首先得出△CQE为等腰直角三角形，即可推出△OCQ为等边三角形，得CO=CE,进而

求出NCOE,即可得出答案.

解：YOE平分NAOC,

・•・NADE=/CDE,

\'AD//CB,

JZADE=ZCEDt

:・NCDE=NCED=45。,CD=CE,

VZ5DE=15°,

・•・NOOC=60。，

在矩形ABC。中，OD=OC,

•••△ODC为等边三角形，

：・OC=CD=CE,NOCD=NCOO=60。，

：.ZOCE=30°,

：.ZCOE=^(180°-ZOCE)=75°,

；・NOOE=135°,

故答案为：135。.

【点拨】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分且相等的性质是解题关键.

20.逑

2

【分析】

过点尸作A。的垂线，交AD于M,交BC于N,求出AM长，再根据勾股定理列出方

程求解即可.

解：过点F作的垂线，交AO于M,交5c于N,

由翻折可知，AB=AF=3,BE=EF,

尸的面积为I，

22

*：AD=5t

:.FM=i,

•*-AM=JAF?-FM”=2V2,

•・•NABN=NBAN=NAMN=900,

・•・四边形AMNB是矩形，

/.AM=BN=2a，NBNM=90。,AB=MN=3,

:・FN=MN-FM=2,

：.BE2=Q6-BE)W

解得，BE=亚,

2

故答案为：逑.

2

A/

【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长,

利用勾股定理列方程.

21.3亚

【分析】

利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出与^=S.Swc=S",、，c,

S四边形E8ASW=S四边形DMNF，即可得出答案.

解：•••点£、/分别是A3、CD的中点，连接OE和班分别取OE、M的中点M、

N,

故答案为：3忌.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中线的性质，得出图中阴影部分的面积

等于矩形ABC。面积的一半是解题关键.

22.-3

【分析】

先由B4_Lx轴，8C_Ly轴得至J四边形OABC是矩形，然后由矩形的性质可得宜线/过矩

形0A8C的中心点，再由点B和点0的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入

直线/的解析式求得机的值.

解：：始，］轴，8C_Ly轴，

，四边形048c是矩形，

•・•直线/将四边形OABC分为面积相等的两部分，

.••直线/过矩形OABC的中心点，

•1点B（3,3）,点0（0,0）,

33

・•・矩形。的中心点为（不，；），（中点坐标公式）

22

3333

将中心点（5,y）代入y=mx-2m得，—m-2m=-,

.*./??=-3,

故答案为：■3.

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过直

线/平分四边形OABC的面积得到直线/经过矩形OA8C的中心点.

23.5G

【分析】

根据矩形对角线相等且互相平分得：EC=ED,再根据AC=AZ）,点一定在NCA8的平分

线上运动，根据垂线段最短得：当£8_LAE时，房的长最小，根据N'8AE=60。得出结论.

解：连接4E，

•・•四边形COG"是矩形，

：,CG=DH,EC=^CG,ED=^DH,

:・EC;ED,

9

：AC=ADt

垂直平分CD,

；・ZDAE=ZCAE=^ZCAD=yXl20°=60°,

・••点E在NCAB的平分线上运动，

・••当EB_LAE,NAE8=90。时，仍的长最小，

,/ZB=90°-ZBAE=30°,

:・EB二立AB二Bx10=573,即E8的最小值为5后cm,

22

故答案为5。.

H

【点拨】本题考查了矩形、线段垂直平分线、含30。角的直角三角形、垂线段.熟练掌

握矩形对角线相等且平分的性质，线段垂直平分线的判定和性质、含30。角的直角三角形边

的性质、垂线段最短，是解决问题的关键.

24.4-2上

【分析】

如图，作交作FK_LCD于K.证明®jEZAKFG(AAS),推

出4"=产K=l,由四边形。MPK是矩形，推出DM=FK=T,推出HM=AD-AH-DM=\,

在mAFMH中,FM=《FH】-HM2=《FH2一1推出当FH的值最小时,EW的值最大，FN

的值最大，求出府的最小值即可解决问题.

解：如图，作网于M交BC于N,作尸KJ.CO于K.

•••四边形A8CO,四边形EFGH都是矩形，

:.ZA=/D=NEHG=ZHGF=期,HE=FG.

:.ZAHE+/DHG=90。,/DHG+NDGH=90°,ZDGH+FGK=90°,

NFGK+NGFK=9(r,

ZAHE=NDGH=NGFK,

•.•NA="KG=90°,

.^AHE^^KFG(AAS),

：.AH=FK=\,

,•,四边形DWK是矩形,

..DM=FK=I,

..HM-AD-AH-DM-I，

在Rt^FMH中，FM=，

•.・当F”的值最小时，尸M的值最小，EN的值最大，

•••四边形EFGH是矩形，

:.FH=EG,

•.•当EG_LA8时，EG的值最小，

/.FH的最小值=AD的长=3,

二•FM的最小值=732-1=2V2，

:MN=AB=4,

.•.四的最大值=〃％-尸河=4一2&，

故答案是：4-272.

【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关

键是学会添加常用条辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

25.3G

【分析】

依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到A8的长，再根据含30。角的直角三角形

的性质，即可得到8C的长，最后依据勾股定理进行计算，即可得出AC的长.

解：•・•点。是48的中点，CD=3,ZACB=90°,

：.AB=2CD=6,

•・•在AABC中，ZACfi=90°,NA=30°,