2020-2021学年黑龙江省绥化地区高一3月开学联考数学试题解析版

试卷第=page22页，共=sectionpages22页第Page\*MergeFormat15页共NUMPAGES\*MergeFormat15页2020-2021学年黑龙江省绥化地区高一3月开学联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先化简集合，再利用集合交集的运算求解即可.【详解】因为，所以.故选：D.2．函数的零点所在的一个区间是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题可通过绘出函数与函数的图像得出结果.【详解】如图，绘出函数与函数的图像，结合图像易知，函数的零点所在的一个区间是，故选：D.3．若一个扇形的半径变为原来的3倍，弧长变为原来的倍，则扇形的圆心角变为原来的（）A．3倍 B．2倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】根据圆心角和扇形及半径的关系，计算即可得解.【详解】设变化前后的圆心角分别为，变化前的扇形弧长和半径为，根据题意，，则.故选：C.4．若，则是成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件.C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】判断以及分别为题设、结论和结论、题设的两个命题真假即可得解.【详解】若a>3且b>3，由不等式的同向可加性可得a+b>6，由不等式的同向同正可乘性可得ab>9，即可以推出，显然a=2，b=5满足，但不成立，即不能推出，所以是成立的充分不必要条件.故选：A5．若点在角的终边上，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数可得点坐标，由任意角三角函数即可得解.【详解】∵，∴.故选：B.6．下列命题是真命题的是（）A．若幂函数过点，则B．C．D．命题“”的否定是“”【答案】B【分析】根据幂函数的定义判断A，结合图象判断BC，根据特称命题的否定为全称命题可判断D.【详解】对于：若幂函数过点，则解得，故错误；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示：由图可知，，故正确；对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示：由图可知，当时，，当时，，当时，，故错误；对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，”，故错误；故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关选择正确命题的问题，正确解题的关键是要明确指数函数和对数函数的性质、幂函数的概念、含有一个量词的命题的否定，要注重基础知识.7．下列函数中，最小正周期为，且为偶函数的有（）A． B．C． D．【答案】D【分析】逐一检验各个选项中各个函数的周期性和奇偶性，从而得出结论．【详解】的最小正周期为，不是偶函数，A不满足条件．的最小正周期为，B不满足条件．根据为偶函数，不是周期函数，C不满足条件．根据的最小正周期为，且为偶函数，D满足条件．故选：D．8．已知，则等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用诱导公式即可.【详解】.故选:C9．若实数，满足，则的最大值是（）A．12 B． C．8 D．【答案】B【分析】把给定等式配方变形，再借助建立关于的一元二次不等式而得解.【详解】，而，当且仅当a=b时取“=”，于是得，即，解得，当且仅当时，，所以的最大值是.故选：B10．已知，给出下列不等式：①；②；③；④.则下列选项正确的是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据不等式性质以及对勾函数的性质，逐项分析计算即可得解.【详解】由，所以，故①正确；由，则，则，所以，即②正确，取，此式不成立，故③错误；对D，由则，所以成立，故④正确.故选：C11．已知偶函数在时，满足，若，则下列不等关系正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可得，，，再根据函数的单调性比较大小.【详解】时，满足，设，可得，偶函数在上单调递减，，则；；；又，故，故，故选：C.【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个：（1）判断各个数值所在的区间；（2）利用函数的单调性直接解答.12．对于函数，下列四个结论不正确的是（）A．是以为周期的函数B．当且仅当时，取得最小值C．图象的对称轴为直线D．当且仅当时，【答案】B【分析】求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最小值和最大值，即可判断正确答案．【详解】函数的最小正周期为.画出在一个周期内的图象，可得当，时，，当，时，，可得的对称轴方程为，，当或，时，取得最小值；当且仅当时，，的最大值为，可得.故选B.二、填空题13．函数(且)的图象经过的定点坐标为___________.【答案】【分析】由知，取x=0，即可求得定点.【详解】取，得到，代入计算得到，得到定点(0,1).

故答案为：（0，1）14．若命题，为假命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】转化为，为真命题,分类讨论,结合判别式符号列不等式求解即可.【详解】命题，为假命题，即，为真命题.当时：恒成立；当时：满足，解得.综上，实数的取值范围是，故答案为：.15．若，且，则___________.【答案】【分析】根据诱导公式，将所求的式子化为，把已知等式平方求出，进一步求出，结合的范围，即可得出结论.【详解】，，，，故，，,故，，所以.故答案为：.16．设区间是函数的定义域的子集，定义在上的函数记为，若，则关于的方程恰有3个不同的解时，实数的取值范围为___________.【答案】【分析】把方程解得问题，转化为函数图像交点问题，根据题意，由函数的图像即可得解.【详解】，即，即，，，则如图，画出函数图像，根据图像知.故答案为：.三、解答题17．（1）计算：；（2）已知集合，，.若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)分别把和化成3次方而计算方幂，再对两个含对数的式子变形，借助对数恒等式即可作答；(2)求出集合A，B及，再利用集合的包含关系分类列式即可得解.【详解】(1)原式；(2)由得，解得，即，，于是得，因，①当时，则有，得，②当时，则有，得.综上所述，实数的取值范围为.18．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点.（1）求的值；（2）已知且，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）本题首先可根据题意得出，然后根据诱导公式、二倍角公式以及同角三角函数关系将算式化简为，最后代入进行计算，即可得出结果；（2）本题首先可根据题意得出、，然后根据得出，最后通过两角差的余弦公式即可得出结果.【详解】（1）因为角的终边过点，所以，则.（2）因为角的终边过点，所以，，因为，，所以，则.19．已知函数.（1）求在区间上的最值，并求出取最值时的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）时，取最大值3；时，取得最小值0；（2）解集为，.【分析】（1），，利用正弦函数的性质即可求得在区间上的最值，并能求出取最值时的值；（2），即，整理可得，利用正弦函数的性质即可得不等式的解集．【详解】（1），由，得，故，所以.当且当，即时，取最大值3；当且仅当，即时，取得最小值0.（2）由可得，，所以，解得，，即不等式的解集为，.20．已知二次函数是R上的偶函数，且.（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；（2）当时，解关于x的不等式.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）先用待定系数法求出，进而求出，再用定义法证明即可.（2）先化简不等式，然后对参数进行讨论.【详解】（1）设由题意得，，解得..，设且，则.由，得.于是，即，所以函数在区间上单调递增.（2）原不等式可化为.因为，故.①当，即时，得或.②当，即时，得到，所以；③当，即时，得或.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.【点睛】本题考查了函数的单调性的证明，解含参不等式，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.21．科技创新在经济发展中的作用日益凸显．某科技公司为实现9000万元的投资收益目标，准备制定一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达到3000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金（单位：万元）随投资收益（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总数不超过投资收益的20%．（1）现有三个奖励函数模型：①，②，③，．试分析这三个函数模型是否符合公司要求？（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到多少万元？【答案】（1）见解析；（2）投资收益至少要达到万元【分析】（1）根据公司要求知函数为增函数，同时应满足且，一一验证所给的函数模型即可；（2）由，解不等式即可.【详解】（1）由题意符合公司要求的函数在为增函数，在且对，恒有且．①对于函数，当时，，不符合要求；②对于函数为减函数，不符合要求；③对于函数在，显然为增函数，且当时，；又因为；而，所以当时，．所以恒成立；因此，为满足条件的函数模型．（2）由得：，所以，所以公司的投资收益至少要达到万元．【点睛】本题主要考查的是函数模型的选择与运用，考查函数的单调性和最值以及恒成立问题，对数不等式的解法，考查学生的分析问题解决问题的能力.22．已知函数的定义域为.（1）求实数的值；（2）判断并证明函数在区间的单调性；（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）在上为增函数，证明见解析；（3）.【分析】（1）依题意可得的解集为，即可得到方程，解得即可；（2）利用定义法证明函数的单调性；（3）结