安徽省长丰县高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 反证法教案 新人教A版选修1-2

安徽省长丰县高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2反证法教案新人教A版选修1-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：高中数学选修1-2第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明

2.教学年级和班级：安徽省长丰县高中一年级（1）班

3.授课时间：2022年10月10日星期二第1课时（45分钟）

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标本节课旨在培养学生的数学逻辑推理能力和数学思维能力，使学生理解并掌握反证法的基本概念和运用方法，提升学生的问题解决能力和创新意识。通过本节课的学习，学生将能够：

1.理解反证法的定义和基本步骤，能够运用反证法进行有效的证明。

2.培养学生的批判性思维，使学生能够对证明过程进行合理的评价和反思。

3.培养学生的合作意识，使学生能够在小组讨论中积极交流，共同解决问题。

4.提升学生的数学语言表达能力，使学生能够清晰、准确地表述解题思路和证明过程。重点难点及解决办法重点：

1.反证法的定义和基本步骤。

2.运用反证法进行证明的方法和技巧。

难点：

1.反证法的理解和运用，特别是对反证法的步骤和逻辑关系的把握。

2.如何正确选择反证法的适用场景和条件。

解决办法：

1.通过具体的例题和练习，让学生反复练习反证法的步骤和运用，加深对其的理解。

2.通过小组讨论和互助学习，让学生在实践中交流和分享反证法的运用经验和技巧。

3.教师在教学中注重引导和启发，帮助学生建立反证法的逻辑框架，引导学生正确选择反证法的适用场景和条件。

4.提供充足的练习和反馈，让学生在实践中不断巩固和提高反证法的运用能力。教学方法与手段教学方法：

1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和主动性。例如，在讲解反证法时，教师可以提出“为什么我们需要反证法？”等问题，让学生思考并发现反证法的重要性。

2.合作学习法：学生分组进行讨论和合作，共同解决问题。教师可以设计一些小组讨论题目，如“请小组讨论反证法的步骤和运用方法”，让学生在讨论中互相交流和学习。

3.实践操作法：教师设计一些实际操作题目，让学生动手实践，加深对反证法的理解和运用。例如，可以让学生尝试证明一些常见的数学定理，运用反证法进行证明。

教学手段：

1.多媒体教学：利用多媒体设备，如PPT、视频等，进行教学。教师可以制作一些反证法的教学PPT，通过图片、动画等形式展示反证法的步骤和例题，使学生更直观地理解和掌握反证法。

2.在线教学平台：利用在线教学平台，如学习通、黑板等，进行教学。教师可以在平台上发布一些反证法的练习题和讨论题目，让学生在线进行练习和讨论。

3.教学软件：利用教学软件，如几何画板、数学软件等，进行教学。教师可以利用这些软件展示一些几何图形和数学证明过程，让学生更直观地理解和掌握反证法。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕反证法课题，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解反证法知识点。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解反证法课题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过故事、案例或视频等方式，引出反证法课题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解反证法的定义、步骤和运用方法，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论、实际练习等活动，让学生在实践中掌握反证法技能。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论、实际练习等活动，体验反证法的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解反证法的知识点。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握反证法技能。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解反证法知识点，掌握反证法技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据反证法课题，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与反证法课题相关的拓展资源（如书籍、网站、视频等），供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的反证法知识点和技能。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。拓展与延伸1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《数学归纳法与反证法》：介绍数学归纳法和反证法的原理及其应用，深入剖析两种证明方法的优缺点。

-《反证法在几何证明中的应用》：举例说明反证法在几何证明中的重要作用，提高学生对反证法的认识。

-《反证法与逻辑推理》：探讨反证法在逻辑推理中的应用，培养学生的逻辑思维能力。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-探究反证法在其他学科领域的应用：引导学生了解反证法在物理学、化学等学科中的应用，拓宽知识面。

-设计反证法的小游戏：通过编写反证法相关的小游戏，让学生在游戏中巩固所学知识，提高运用能力。

-举办反证法知识竞赛：组织班级或学校范围内的反证法知识竞赛，激发学生的学习兴趣和竞争意识。

-探究数学史上的反证法经典案例：介绍数学史上一些著名的反证法案例，如欧几里得的反证法等，让学生了解反证法的发展历程。

教学方法与手段：

-自主学习法：引导学生自主阅读拓展材料，培养独立思考和解决问题的能力。

-合作学习法：组织学生进行小组讨论，共同探讨反证法的应用和拓展，培养团队合作意识。

-实践活动法：鼓励学生进行课后实践，如编写小游戏、参加知识竞赛等，提高学生的动手能力和问题解决能力。

作用与目的：

-通过对拓展阅读材料的学习，巩固和拓展学生在本节课上学到的反证法知识。

-培养学生课后自主学习和探究的习惯，提高学生的学习兴趣和主动性。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和问题解决能力，提高学生的综合素质。

-帮助学生了解反证法在各个领域的应用，拓宽知识面，提高学生的综合素质。课后作业1.题目：证明如果一个整数n大于2，那么n一定可以表示成两个整数的和，其中至少有一个是偶数。

答案：假设n不能表示成两个整数的和，其中至少有一个是偶数。那么n只能表示成两个奇数的和。设这两个奇数分别为2k+1和2m+1（k、m为整数），则n=（2k+1）+（2m+1）=2（k+m+1）。因为k、m、k+m+1都是整数，所以n可以表示成2的倍数，即n是偶数，与假设矛盾。因此，原命题成立。

2.题目：已知平行四边形ABCD的对角线交于点E，证明：对角线AC和BD互相平分。

答案：连接BD，使其与AC相交于点F。因为ABCD是平行四边形，所以AD//BC，EF//AC。又因为EF是AC的垂线，所以EF平分AC。同理，可以证明EF平分BD。因此，对角线AC和BD互相平分。

3.题目：已知三角形ABC中，∠ABC是直角，AB=AC，证明：三角形ABC是等腰直角三角形。

答案：因为AB=AC，所以三角形ABC是等腰三角形。又因为∠ABC是直角，所以三角形ABC是直角三角形。因此，三角形ABC是等腰直角三角形。

4.题目：已知正方形ABCD的边长为a，证明：对角线AC和BD的长度相等，且都是a√2。

答案：连接BD，使其与AC相交于点E。因为ABCD是正方形，所以∠ABC=90°。又因为AC是BD的垂线，所以∠DAC=∠BCE=90°。因此，三角形DAC和三角形BCE是全等的直角三角形。所以，DA=BC=a，AC=BE=a√2。因此，对角线AC和BD的长度相等，且都是a√2。

5.题目：已知三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，证明：a²+b²=c²。

答案：假设a²+b²≠c²。那么三角形ABC不是直角三角形。设∠C为锐角，则cosC>0。由余弦定理可得：c²=a²+b²-2abcosC。因为a²+b²≠c²，所以-2abcosC≠0，即cosC≠0。然而，当∠C为锐角时，cosC<0，与假设矛盾。因此，原命题成立，即a²+b²=c²。反思改进措施（一）教学特色创新

1.引入现代教育技术：在教学过程中，充分利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，直观展示反证法的应用场景，帮助学生更好地理解和掌握反证法的原理和应用。

2.设计实践性作业：布置一些实践性较强的作业，如编写反证法的小游戏、设计反证法的应用案例等，让学生在实践中巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。

3.组织小组合作学习：鼓励学生进行小组合作学习，共同探讨反证法的应用和拓展，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

（二）存在主要问题

1.课堂互动不足：在教学过程中，发现课堂互动不足，学生参与度不高。这可能与教学方法有关，如讲授法过于单一，未能充分激发学生的主动性和参与热情。

2.作业反馈不及时：在批改作业时，发现部分学生的反证法应用存在问题，但由于作业反馈不及时，未能及时发现和纠正学生的错误。

3.拓展资源利用不充分：虽然提供了拓展资源，但部分学生未能充分利用这些资源进行自主学习和探究，影响了学