2.2从函数观点看一元二次方程湘教版新教材必修第一册解析版

一、单项选择题。本大题共8小题，每题只有一个选项符合题意。1．假设幂函数f〔x〕的图象过点〔64，2〕，那么f〔x〕＜f〔x2〕的解集为〔〕A．〔﹣∞，0〕B．〔0，1〕C．〔1，+∞〕D．〔0，1〕∪〔1，+∞〕【答案】C【解析】解：设幂函数f〔x〕＝xα，由于它的图象过点〔64，2〕，∴2＝64α，∴α＝，f〔x〕＝．那么f〔x〕＜f〔x2〕，即，∴0≤x＜x2，∴x＞1，故原不等式的解集为〔1，+∞〕，应选：C．2．一元二次方程的根的情况是〔〕．A．方程没有实数根B．方程有两个相等的实数根C．方程有两个不相等的实数根D．方程的根是、和【答案】C【解析】∵原方程可化为，∴，，，∴，∴方程有两个不相等的实数根，应选：C．3．要使关于的方程的一根比大且另一根比小，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，解得.应选：B.4．方程，命题甲：是该方程的解；命题乙：是该方程的解，那么命题甲是命题乙的〔〕A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】方程，即，解得或，令可得，此时方程的另外一根为，令时，此时方程的另外一根为；令可得，此时方程的另外一根为，令时，此时方程的另外一根为，根据充要条件的概念即可判断，应选：C．5．假设关于的方程有两个不同的正根，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】C【分析】由，判别式及根与系数关系列出不等式组，即可求出实数的取值范围.【解析】因为关于的方程有两个不同的正根，所以，解得，故实数的取值范围是.应选：C6．关于x的两个一元二次不等式的解集分别为A，B，其中为常数且不为零，那么“〞是“〞〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次项系数的符号及相应二次方程的解的情况决定，由可知相应二次方程的解的情况是一致的，但二次项系数的符号不一定一致，故由推不出，反之假设，也推不出，例如，与，解集都为R，但系数并不成比例.应选：D.7．关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，那么所有符合条件的a的值之和是〔〕A．13B．18C．21D．26【答案】C【解析】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，根据题意可得，，解得，因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得，即，解得，又所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21.应选：C8．函数的定义域为D，假设满足：①在D内是单调函数；②区间，使在上的值域是，那么就称为“和谐函数〞，假设函数是“和谐函数〞，那么t的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意，因为是“和谐函数〞，所以在其定义域内为增函数，且在上的值域是，，即，有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根，令，那么，有两个不相等的正实数根，，解得．应选：D．二、多项选择题。本大题共4小题，每题有两项或以上符合题意。9．，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，那么a的值可以是〔〕A．5B．6C．7D．9【答案】BC【解析】设，函数图象开口向上，且对称轴为，因此关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数时，需满足，即，解得，又因为，所以或或，应选：BC.10．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是〔〕A．a<0B．a>0C．a<－1D．a=-1【答案】CD【解析】因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以，解得，结合选项与充分不必要条件的概念可知选CD，应选：CD.11．假设方程在区间上有实数根，那么实数的取值可以是〔〕A．B．C．D．1【答案】BC【解析】由题意在上有解．∵，∴，应选：BC．12．关于x的不等式的解集为，那么以下正确的选项是〔〕A．B．关于x的不等式的解集为C．D．关于x的不等式的解集为【答案】ACD【解析】A．由可得且是方程的两根，A正确，B．由根与系数的关系可得：，解得，那么不等式可化为：，即，所以，B错误，C．因为，C正确，D．不等式可化为：，即，解得或，D正确，应选：ACD．三、填空题。本大题共4小题。13．一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，那么实数a的取值范围为________．【答案】【解析】设f(x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－<a<－2.故答案为：.14．关于的二次方程有一正数根和一负数根，那么实数的取值范围是_____．【答案】【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得，解得.故答案为：15．设集合，，假设，那么实数的取值范围是___________.【答案】【解析】分以下几种情况讨论：〔1〕假设方程无实根，那么，解得；〔2〕假设方程有实根，那么，解得或，，那么不是方程的解，假设方程有唯一的正根，那么，解得；假设方程有两根不等的实根，设这两个实根分别为、，因为，故方程有两个不等的正根，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.16．函数f〔x〕=2x，，假设〔t为实数〕在〔0，+∞〕上有两个不同的零点x1、x2，那么x1+x2的取值范围为_______【答案】【解析】令，那么，即，令，那么，因为函数在单调递增，所以与一一对应，所以有两个不相等的实数根，由韦达定理知，所以，整理得，因为，所以，所以，令，那么，解得，即，因此.故答案为：.四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．〔1〕关于的一元二次方程有两个不等的实根，求的取值范围；〔2〕，解关于的不等式.【答案】〔1〕或；〔2〕见解析.【解析】解：〔1〕因为关于的一元二次方程有两个不等的实根，所以，解得或；〔2〕由，得，那么对应方程的根为，因为，所以，当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为.18．假设方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，那么实数的取值范围.【答案】.【解析】方程有三根，，有根，方程的，得，设的两根为：，所以，，又原方程有三根，且为三角形的三边的长．有，，而已成立；当时，两边平方得：．即：．解得．．19．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．【答案】【解析】①当时，解得x＝－1，满足条件；②当时，显然方程没有零根，由，得设方程的两个实数根为假设方程有两异号实根，那么，解得；假设方程有两个负的实根，那么，解得．综上，假设方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负的实根，那么．反之，假设，那么方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是．20．函数.〔1〕假设，求在上的最大值和最小值；〔2〕假设关于的方程在上有两个不相等实根，求实数的取值范围.【答案】〔1〕最大值是0，最小值是；〔2〕.【解析】〔1〕当时，，因为二次函数开口向上，对称轴为，又因为在上递减，在上递增，所以，又，所以；〔2〕因为方程在上有两个不相等实根，所以方程有两个不相等正实根，那么，解得，所以实数的取值范围是.21．函数.〔1〕将函数图象向右平移一个单位即可得到函数的图象，试写出的解析式及值域；〔2〕关于x的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；〔3〕对于函数与定义域上的任意实数x，假设存在常数k，m，使得和都成立，那么称直线为函数与的“分界线〞.设，，试探究与是否存在“分界线〞？假设存在，求出“分界线〞的方程；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕，值域为；〔2〕；〔3〕存在，方程为：.【解析】解：〔1〕，值域为.〔2〕不等式的解集中的整数恰有3个，等价于恰有三个整数解，故，即，，所以，又因为所以，解之得·〔3〕设，那么.所以当时，；当时，.因此时，取得最小值0，那么与的图象在处有公共点设与存在“分界线〞，方程为，即，由在恒成立，那么在恒成立.所以成立，因此.下面证明恒成立.设，那么所以