2024-2025学年广西南宁三中五象校区高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西南宁三中五象校区高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数1+3i1−i的虚部为(

)A.−i B.−1 C.2i D.22.如图，已知等腰直角三角形O′A′B′，O′A′=A′B′是由斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是(

)A.22

B.1

C.23.已知集合A={3,m}，B={1,3,5}，则m=1是A⊆B的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.既不充分又不必要条件 D.充要条件4.已知向量a与b能作为平面向量的一组基底，若a+kb与(k+1)a+b共线(k∈R)，则A.−1+52 B.−1±525.如图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是(

)A.这10年粮食年产量的极差为16

B.这10年粮食年产量的第70百分位数为35

C.这10年粮食年产量的平均数为33.7

D.前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差6.如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是(

)A.64π B.77π C.80π D.84π7.已知a=log0.20.3，b=lna，c=2a，则a，b，A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.c>a>b8.如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为30°，则铁塔AB的高度是(

)A.70米

B.80米

C.90米

D.100米二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是(

)A.若A>B，则a>bB.sin(A+B)=sinC

C.若a2+b2>c2，则△ABC10.已知事件A与事件B,A−是事件A的对立事件，B−是事件B的对立事件，若P(A)=23，A.P(B−)=34B.若事件A与事件B是互斥事件，则P(A∪B)=34

C.若事件A与事件B相互独立，则P(A−11.如图所示，棱长为3的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为线段A1A.D1P⊥AB1

B.D1P与AC所成的角可能是π6

C.AP−⋅DC1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若AB=(3,1),AC=(m−1,m)，且∠BAC为锐角，则实数m13.已知角α的终边在第一象限，cos(α+π4)=35，则14.如图，三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA⊥PC，△ABC是边长为6的正三角形，二面角P−AC−B的大小为120°，则球O的体积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(2,−2)，|b|=4，且(2a+b)⋅b=32．

(1)求向量16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，点E是PB的中点．

(1)若底面ABCD是平行四边形，求证：PD//平面EAC；

(2)若底面ABCD是菱形，证明：BD⊥PC．17.(本小题15分)

近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式.某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示.为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．

(1)应抽取小吃类、生鲜类商家各多少家？

(2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计(单位：元)，所得频率直方图如图②所示．

(i)估计该直播平台商家平均日利润的75百分位数与平均数(求平均数时同一组中的数据用该组区间中点的数值为代表)；

(ii)若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．18.(本小题17分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(cosB+cosA)(cosB−cosA)=sinC(sinC−2sinB)．

(1)求角A的大小；

(2)若a=32,b+c=6，求△ABC的面积；

(3)若c=19.(本小题17分)

如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=6，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°．

(1)求证：BD1//平面C1EF；

参考答案1.D

2.D

3.A

4.B

5.B

6.D

7.D

8.A

9.ABD

10.ACD

11.AC

12.(313.214.5215.解：(1)已知向量a=(2,−2)，|b|=4，且(2a+b)⋅b=32．

设向量a与b的夹角为θ，

因为(2a+b)⋅b=32，

所以2|a||b|cosθ+|b|2=32，

即162cosθ+16=32，

解得cosθ=216.证明：(1)如图，连接BD交AC于点O，连接EO，

因ABCD是平行四边形，则O为BD的中点，

又因E为PB的中点，故EO//PD，

又因为PD⊄面EAC，EO⊂面EAC，

所以PD/​/平面EAC；

(2)因ABCD是菱形，则BD⊥AC，

又PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，则PA⊥BD，

因PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，则BD⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，

故BD⊥PC．

17.解：(1)根据分层抽样知：

应抽取小吃类80×(1−30%−15%−10%−5%−5%)=28家，生鲜类80×15%=12家，

所以应抽取小吃类28家，生鲜类12家；

(2)(i)根据题意可得(0.002×3+2a+0.006)×50=1，

解得a=0.004，

设75百分位数为x，因为(0.002+0.004+0.006)×50=0.6，

所以(x−450)×0.004+0.6=0.75，

解得x=487.5，

所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元，

平均数为(325×0.002+375×0.004+425×0.006+475×0.004+525×0.002+575×0.002)×50=440，

所以该直播平台商家平均日利润的平均数为440元；

(ii)(500−48050×0.004+0.002+0.002)×50×1000=280，

所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为18.解：(1)∵(cosB+cosA)(cosB−cosA)=sinC(sinC−2sinB)，

∴cos2B−cos2A=sin2C−2sinBsinC，即sin2C+sin2B−sin2A=2sinBsinC，

∴由正弦定理得c2+b2−a2=2bc，由余弦定理得cosA=22，

∵A∈(0,π)，

∴A=π4；

(2)∵a=32,b+c=6，

由余弦定理得18=c19.解：(1)证明：由题设可得四棱台为正四棱台，故可建立如图所示空间直角坐标系：

AB=2A1B1=6，E，F分别为DC，BC的中点，上下底面中心的连线O1O垂直于上下底面，