2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）创新素养数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（上）创新素养数学试卷一、填空题：本题共20小题，每小题4分，共80分。1.因式分解：14m2−2.计算：(1a−2+a)÷a3.(a−2b+3c)(a+2b−3c)=______．4.已知x+y=5，xy=3，则x2+5xy+y25.已知a2+a−1=0，则a3+26.若a2+b2+4a−6b+13=07.已知a和b互为倒数，a+b=4，求(a−b)2=8.若(x+p)(x+q)=x2+mx+36，且p，q为不大于10的正整数，则m=9.求值：(2+1)×(22+1)×(2410.若x1×2+x2×3+x11.如图，AB//CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P=______．12.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为______．13.如图，△ABC中，OD、OE分别是AB、BC边上的垂直平分线，OD、OE交于点O，连接OA、OC，已知∠B=40°，则∠OAC=______°.14.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个三角形的顶角为______．15.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,3)，在坐标轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有______个．16.如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C，BD为△ABC的角平分线，BC=5，AB=3，则AD=______．17.如图，正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是DC上一点，∠EAF=45°，若BE=DF=1，则EF=______．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．

19.如图，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE=DG，AG=16，AE=8，若S△ADG=64，则△DEF的面积为______．20.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为______．二、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题10分)

在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与点B，C重合)，把线段AD绕着点A逆时针旋转至AE(即AD=AE)，使得∠DAE=∠BAC，连接DB，CE．

(1)如图(1)，点D在线段BC上，若∠BAC=90°，则∠BCE=______；

(2)如图(2)，当点D在线段BC上时，若∠BAC=60°，请求出∠BCE的度数．

(3)如图(3)，设∠BAC=α，∠BCE=β，当点D在直线BC上移动时，请直接写出α，β的数量关系，不用证明．

22.(本小题10分)

在等边△ABC中，D为射线BC上一点，CE是∠ACB外角的平分线，∠ADE=60°，EF⊥BC于F.如图所示．

(1)求证：CE//AB；

(2)若点D在线段BC上(不与B，C点重合)，求证：BC=DC+2CF．23.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=a，点D是BC上一动点(不与点B、C)重合，∠BDE=12∠C，BE⊥DE．

(1)求∠AFD的度数；

(2)在点D运动过程中，BEDF的值是否为定值？说明理由．

(3)当CD=13BC时，连接AD，△ABD三边上分别有动点P、M、N，(点P在BD上)24.(本小题10分)

问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C(不需要证明)；

特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.证明：△ABD≌△CAF；

归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；

拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为______．

参考答案1.(12.a23.a24.34

5.2025

6.−8

7.12

8.13或12

9.212810.2

11.90゜

12.9

13.50

14.50°或130°

15.8

16.2

17.2

18.3

19.16

20.9

21.90°

22.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠BCA=60°，

∴∠ACF=120°，

∵CE为角平分线，

∴∠ECF=12∠ACF=60°=∠B，

∴CE//AB；

(2)如图，过点D作DG//AC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，AB=BC，

∴∠BGD=60°，∠AGD=120°，

∴△BDG是等边三角形，

∴BG=BD，

∴AG=DC，

∵CE是∠ACB外角平分线，

∴∠ACE=12∠ACF=60°，

∴∠DCE=∠AGD=120°，

∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG，

∴∠EDC=∠DAG，

在△AGD和△DCE中，

∠AGD=∠DCEAG=DC∠DAG=∠EDC

∴△AGD≌△DCE(SAS)，

∴GD=CE，

∴BD=CE，

∵∠ECF=60°，EF⊥CF，

∴∠CEF=30°，23.解：(1)因为AB=AC，∠BAC=90°，

所以△ABC是等腰直角三角形，

所以∠ABC=∠C=45°，

所以∠BDE=12∠C=22.5°，

所以∠AFD=∠ABC+∠BDE=45°+22.5°=67.5°；

(2)在点D运动过程中，BEDF的值是定值，理由如下：

过点D作AC的平行线，交AB于G，交BE的延长线于H，如图1所示：

因为GD//AC，

所以∠BGD=∠BAC=90°，

因为∠ABC=45°，

所以∠BDG=45°=∠ABC，

所以△BDG是等腰直角三角形，

所以BG=GD，即∠BDH=45°，

所以∠EDH=45°−∠BDE=45°−22.5°=22.5°，

所以∠BDE=∠EDH=22.5°，

因为BH⊥DE，

所以DB=DH，

所以∠H=∠DBH=67.5°，BE=EH，

又因为∠H=∠DBE=67.5°，∠AFD=67.5°，

所以∠H=∠AFD，即∠H=∠GFD，

在△BHG和△DFG中，

∠H=∠GFD∠BGH=∠DGF=90°BG=DG

所以△BHG≌△DFG(AAS)，

所以DF=BH=2BE，

所以BEDF=12，为定值；

(3)如图，当CD=13BC=13a时，△ABD为锐角三角形，

分别作点P关于AD、AB的对称点P′、P′′，连接P′P′′，分别交AB、AD于M、N，如图2所示：

由对称的性质得：PM=P′′M，PN=P′N，AP′=AP=AP′′，∠P′AD=∠PAD，∠P′′AB=∠PAB，

则△PMN的周长=PM+MN+PN=P′′M+MN+P′N=P′P′′，∠P′AP′′=2∠BAD为定值，△AP′P′′是顶角为定值的等腰三角形，

当腰长越小时，底边长也越小，

当24.证明：

特例探究：如图2，

∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，

∴∠BDA=∠AFC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

∵∠ADB=∠CFA∠ABD=