2024-2025学年四川省内江市隆昌一中高二（上）开学数学试卷（文科）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省内江市隆昌一中高二（上）开学数学试卷（文科）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足(1−i)z=3−i3，则z−A.2+i B.2−i C.1−2i D.1+2i2.从小到大排列的数据1，2，3，7，8，9，10，11的第75百分位数为(

)A.172 B.9 C.192 3.已知向量a=(−2,m)，b=(1,1+m)，则“a⊥b”是“m=1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.将函数f(x)=sin2x的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到的图象所对应的函数的解析式为(

)A.y=sin(2x+π6) B.y=sin5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为13、13A.15 B.13 C.256.圆心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A：B等于(

)A.11：8 B.3：8 C.8：3 D.13：87.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号(如图1)是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力，“极目一号”Ⅲ型浮空艇长53米，高18米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积约为(

)

A.2530πm3 B.3016πm3 C.8.如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，若三棱锥外接球的表面积为52π，则此三棱锥的体积为(

)A.1

B.3

C.23二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象，则下列说法正确的是(

)A.ω=2

B.(−π6,0)是函数，f(x)的一个对称中心

C.φ=2π3

D.10.下列说法正确的是(

)A.已知tanα=22，则cos2α=13

B.1sin10∘−3cos10°=4

C.已知|a|=6，b为单位向量，且〈a,b〉=56π，则a在b上的投影向量为−311.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法中正确的有(

)A.若a=6，A=π3，则△ABC周长的最大值为18

B.若a=6，b+c=8，则△ABC面积的最大值为67

C.若角A的内角平分线交BC于点D，且BDDC=12，a=3，则△ABC面积的最大值为3

D.若AB=3，AC=1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′=3，B′C′=1，则AB边的实际长度是______．13.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M为线段CC1上的动点，则B面面积为______．14.已知平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，<a，b>=π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,−1)，|b|=2，且(a+b)⋅b=3．

(1)求向量a与b的夹角．

(2)若向量ka+b与a16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bcosC=2a+c．

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若b=3，且sinAsinC=14，求17.(本小题15分)

一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量(单位：kg)，将全部数据按区间[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，得到图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要(在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求).请问，每天应该进多少水果？

(3)在日销售量为[70,90]kg苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在[80,90]的概率．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x−1．

(1)若α∈(−π2,0)，且f(α2)=12，求cos(α+5π12)的值；

(2)19.(本小题17分)

对于平面向量ak=(xk,yk)(k=1,2,…)，定义“Fθ变换”：ak+1=Fθ(ak)=(xkcosθ−yksinθ,xksinθ+ykcosθ)，(0<θ<π)

(1)若向量a参考答案1.C

2.C

3.B

4.B

5.D

6.A

7.A

8.C

9.ACD

10.ABD

11.ACD

12.1313.25

14.5215.解：(1)由a=(1,−1)，

得|a|=12+(−1)2=2，

设向量a与b的夹角为θ∈[0,π]，

由(a+b)⋅b=3，

即a⋅b+b2=3，

又|b|=2，

所以a⋅b=1，

所以|a|⋅|b|cosθ=1，

解得cosθ=12，

所以向量a与b的夹角为π3．

(2)由向量向量ka+b与a16.解：(Ⅰ)因为2bcosC=2a+c，由正弦定理可得2sinBcosC=2sinA+sinC，

又sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC+sinC，可得0=2cosBsinC+sinC，

又sinC>0，

所以可得cosB=−12，

又B∈(0,π)，

所以B=2π3；

(Ⅱ)因为B=2π3，b=3，

由正弦定理asinA=csinC=bsinB=332=2，可得sinA=17.解：(1)由直方图可得，样本落在[50,60)，[60,70)，…，[90,100]的频率分别为10a，10a，0.2，0.4，0.3，

由10a+10a+0.2+0.4+0.3=1，解得a=0.005．

则样本落在[50,60)，[60,70)，…，[90,100]的频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，

所以该苹果日销售量的平均值为：

0.05×50+602+0.05×60+702+0.2×70+802+0.4×80+902+0.3×90+1002=83.5(kg)．

(2)为了能85%地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的85%分位数．

依题意，日销售量不超过90kg的频率为1−0.03×10=0.7，

则该店苹果日销售量的85%分位数在[90,100]，

所以日销售量的85%分位数为90+10×0.85−0.71−0.7=95(kg)．

所以每天应该进95kg苹果．

(3)由日销售量为[70,80)，[80,90]的频率分别为0.2，0.4知，

抽取的苹果来自日销售量[70,80)中的有2个，不妨记为a1，a2，

来自日销售量为[80,90]的苹果有4个，不妨记为b1，b2，b3，b4，

任意抽取2个苹果，有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b18.解：(1)f(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，

由题意知f(α2)=2sin(α+π6)=12，所以sin(α+π6)=14，

又∵α∈(−π2,0)，∴α+π6∈(−π3,π6)，∴cos(α+π6)>0，

∴α+π6∈(−π3,π6)，

∴cos(α+π6)>0，

则cos(α+π6)=1−sin2(α+π6)=154，

故cos(α+5π12)=cos((α+π6)+π4)

=22(cos(α+π6)−sin(α+π6))

=30−28；

(2)由f(A)=1得2sin(2A+π6)=1，

∵0<A<π219.解：(1)因为向量a1=(2