2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={x∈N|x≤5}，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则∁U(A∪B)=(

)A.{1,5} B.{0,5} C.{1,2,3,4} D.{0,1,4,5}2.复数z=i+31−i3A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知第二象限角α满足tanα⋅tan(α+π4)=A.−45 B.45 C.34.已知正项数列{an}满足an+1=A.116 B.18 C.145.已知数列{an}各项为正数，{bn}满足aA.{bn}是等差数列 B.{bn}是等比数列

C.6.近期，哈尔滨这座“冰城”火了，2024年元旦假期三天接待游客300多万人次，神秘的鄂伦春族再次走进世人的眼帘，这些英雄的后代讲述着英雄的故事，让哈尔滨大放异彩.现安排6名鄂伦春小伙去三个不同的景点宣传鄂伦春族的民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是(

)A.240 B.420 C.540 D.9007.如图，A，B是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，P是⊙O：x2+y2=aA.13 B.23 C.8.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A，B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1−x2|+|A.73+13 B.17二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=2.若点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，则(

)A.AG⊥平面PBD

B.直线FG和直线AB所成的角为π4

C.当点T在平面PBD内，且TA+TG=2时，点T的轨迹为一个椭圆

D.过点E，F，G的平面与四棱锥P−ABCD表面交线的周长为10.已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点M在棱DA.平面A1BC⊥平面B1C1D

B.不存在点M，使得直线CM/​/平面BA1C1

11.已知函数f(x)=x3+ax+14，(a<0)，其中Ai(xi,yi)，i=0，1，A.函数f(x)的图象关于(0,14)中心对称

B.函数f(x)的极大值有可能小于零

C.对任意的x1>x0>0，直线A0A3的斜率恒大于直线A12.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，其中f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，g(x)的图象关于直线x=2对称，f(x)−g(2+x)=4，g(2)=3，则(

)A.f(−x)+f(x)=0 B.f(2024)=7

C.g(2024)=−1 D.k=1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知集合M={x∈N|(x+2)(x−3)<0}，N={−2,−1,0,1,2}，则M∩N=______．14.已知函数f(x)=ex+e−x15.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C16.一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件Ai=“第i次命中目标”(i=1,2,3)，P(A1)=18，P(A四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知函数f(x)=ex+asinx−1(a∈R)．

(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(Ⅱ)若函数f(x)在x=0处取得极小值，求a的值；

(Ⅲ)若存在正实数m，使得对任意的x∈(0,m)，都有f(x)<0，求a18.(本小题12分)

如图，在正四棱锥S−ABCD中，SA=AB=2，点O是AC的中点，点P在棱SD上(异于端点)．

(1)若点P是棱SD的中点，求证：平面SAD⊥平面PAC；

(2)若二面角S−AC−P的余弦值为5519.(本小题12分)

国家发改委和住建部等六部门发布通知，提到：2025年，农村生活垃圾无害化处理水平将明显提升，现阶段我国生活垃圾有填埋、焚烧、堆肥等三种处理方式，随着我国生态文明建设的不断深入，焚烧处理已逐渐成为主要方式，根据国家统计局公布的数据，对2013−2020年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数y(单位：座)进行统计，得到如下表格：年份20132014201520162017201820192020年份代码x12345678垃圾焚烧无害化

处理厂的个数y166188220249286331389463(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明(精确到0.01)；

(2)求出y关于x的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01)，并预测2024年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数；

(3)对于2035年全国生活垃圾焚烧无害化处理厂的个数，还能用(2)所求的线性回归方程预测吗？请简要说明理由，

参考公式：相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y20.(本小题12分)

已知函数f(x)=xk+1(lnx−λx)，其中k，λ∈R．

(1)若k=−1，讨论f(x)在[1,4]上的单调性；

(2)若存在正数k，使得∀x1，x2∈(0,+∞)，且21.(本小题12分)

已知抛物线C1：y2=4x−4与双曲线C2：x2a2−y24−a2=1(1<a<2)相交于两点A，B，F是C2的右焦点，直线AF分别交C1，C2于C，D(不同于A，B点)，直线BC，BD分别交x轴于P，Q22.(本小题12分)

基本不等式可以推广到一般的情形：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a1+a2+…+ann≥na1a2⋯an，当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立.若无穷正项数列{an}同时满足下列两个性质：①∃M>0，an<M；②{an}参考答案1.B

2.D

3.D

4.B

5.C

6.C

7.D

8.D

9.ABD

10.ACD

11.AD

12.BD

13.{0,1,2}

14.(−∞,−2)∪(215.5716.301204817.解：(Ⅰ)由f(x)=ex+asinx−1(a∈R)，f′(x)=ex+acosx，

由f′(0)=1+a，f(0)=0，

所以曲线在(0,f(0))处的切线方程为y−0=(1+a)(x−0)，即y=(a+1)x，

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程y=(a+1)x；

(Ⅱ)由函数f′(0)=1+a=0，所以a=−1，此时f(x)=ex−asinx−1，f′(x)=ex−cosx，

当x>0时，f′(x)=ex−cosx>1−cosx≥0，所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，

设g(x)=f′(x)，则g′(x)=ex+sinx，设φ(x)=g′(x)，则φ′(x)=ex+cosx，

所以，当x∈(−π2,0)，φ′(x)>0，所以g′(x)在区间(−π2,0)上单调递增，

又g′(−π2)=e−π2−1<0，g′(0)=1>0，故存在x0∈(−π2,0)使得g′(x0)=0，

所以当x∈(x0,0)时，g(x)<g(0)=0，即f′(x)<0，

所以f(x)在区间(x0,0)上单调递减，故函数在x=0时，取得极小值，所以a=−1，

所以a的值为−1；

(Ⅲ)①若a≥−1时，当x∈(0,π2)时，sinx>0，所以f(x)≥ex−sinx−1，

由(Ⅱ)可知，y=ex−sinx−1在区间(0,+∞)上单调递增，

所以ex−sinx−1>e0−sin0−1=0，所以f(x)在区间(0,π2)上恒成立，

此时不存在正实数m，使得对任意的18.(1)证明：由题意得，正四棱锥所有棱长均为2，

因为P是SD的中点，

故CP⊥SD，AP⊥SD，又AP∩CP=P，且AP，CP⊂平面PAC，

故SD⊥平面PAC，又SD⊂平面SAD，

故平面SAD⊥平面PAC；

(2)如图，连接OB，易知OB，OC，OS两两垂直，

以O为原点，以OB,OC,OS分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则A(0,−1,0)，C(0,1,0)，S(0,0,1)，D(−1,0,0)，

所以AC=(0,2,0),SD=(−1,0,−1)，

设SP=λSD,0<λ<1，则SP=(−λ,0,−λ)，

所以P(−λ,0,1−λ)，所以AP=(−λ,1,1−λ)，

设平面PAC的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AP=−λx+y+(1−λ)z=0n⋅AC=2y=0，

令z=λ，则x=1−λ，所以平面PAC的一个法向量为n=(1−λ,0,λ)，

易知平面SAC的法向量为OB=(1,0,0)，

设二面角S−AC−P19.解：(1)x−=1+2+3+4+5+6+7+88=92,y−=22928=5732，

相关系数r=i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2i=1n(yi−y−)2=i=18xiyi−8x−⋅y−(i=120.解：(1)由题意得，f(x)=lnx−λx，x∈[1,4]，f′(x)=1x−λ=1−λxx．

若λ≤0，则f′(x)>0，此时f(x)在[1,4]上单调递增；

若0<λ≤14，则f′(x)≥0，此时f(x)在[1,4]上单调递增；

若λ≥1，则f′(x)≤0，此时f(x)在[1,4]上单调递减；

若14<λ<1，则当x∈[1,1λ)时，f′(x)>0，当x∈(1λ,4]时，f′(x)<0，

故f(x)在[1,1λ)上单调递增，在(1λ,4]上单调递减．

综上所述，当λ≤14时，f(x)在[1,4]上单调递增；

当14<λ<1时，f(x)在[1,1λ)上单调递增，在(1λ,4]上单调递减；

当λ≥1时，f(x)在[1,4]上单调递减．

(2)由题意得，∃k∈(0,+∞)，使得函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，

f′(x)=(k+1)xk(lnx−λx)+xk+1(1x−λ)=xk[(k+1)lnx−λ(k+2)x+1]．

令F(x)=(k+1)lnx−λ(k+2)x+1，

问题即转化为：∃k∈(0,+∞)，∀x∈(0,+∞)，F(x)≤0．

①当λ≤0时，F′(x)=k+1x−λ(k+2)>0，且单调递增，

易知x→+∞，F(x)→+∞，不合题意，舍去．

②当λ>0时，因为F′(x)=k+1x21.解：(1)证明：(1)由A(x1,y1)，C(x2,y2)是直线AF与抛物线C1：y2=4x−4的两个交点，

显然直线AF不垂直y轴，点F(2,0)，

故设直线AF的方程为x=my+2，由x=my+2y2=4x−4消去x并整理得y2−4my−4=0，所以y1y2=−4为定值