2024-2025学年广东省部分学校高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省部分学校高三（上）质检数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,3,6,7}，B={2,3,4,5}，则A∩∁UB=A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}2.已知z=2+i，则zz+i=(

)A.3−i4 B.1−i4 C.3+i43.已知|a|=1，|b|=2，且a⊥(a+bA.−b B.b C.−144.某大学共有15000名学生，为了了解学生书籍阅读量情况，该校从全校学生中随机抽取1000名，统计他们2022年阅读的书籍数量，由此来估计该校学生当年阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是(    )(注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表)A.众数约为10

B.中位数约为6.5

C.平均数约为6.76

D.该校学生2022年阅读的书籍数量的第60百分位数约为7.65.抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线交该抛物线于A、B两点，则|AF|+4|BF|的最小值为(

)A.8 B.9 C.10 D.116.已知数列{an}满足a2=4，对∀m，n∈N∗，都有am+n=am⋅aA.−25151 B.25050 C.−7.已知函数f(x)=2sin(ωx+π4)−3(ω>0)在[0,A.[256,296) B.[8.已知函数f(x)=x⋅e−x，g(x)=12x2−lnx+a，若∃x1A.(12−1e,2e2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则(

)A.f(x)是最小正周期是2π B.π是f(x)的一个极值点

C.f(x)的最小值是−2 D.f(x)在(2π10.在圆锥PO中，PO为高，AB为底面圆的直径，圆锥的底面半径为2，母线长为2，点C为PA的中点，圆锥底面上点M在以AO为直径的圆上(不含A、O两点)，点H在PM上，且PA⊥OH，当点M运动时，则(

)A.三棱锥M−PAO的外接球体积为定值

B.直线CH与直线PA不可能垂直

C.直线OA与平面PAM所成的角可能为60°

D.AH+HO<211.已知双曲线C：x24−y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点O的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，P为C的右支上一点(异于点A.直线PA与PB的斜率之积为4

B.若|PF1|⋅|PF2|=4，则∠F1PF2=π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知在(3x−123x13.已知函数f(x)=3log2(x2+1−x)，正数a，14.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，P是侧面ADD1A1(包括边界)上一动点，E是棱CD四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}中，a1=1，且an≠0，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+Sn−1=an，数列{bn16.(本小题15分)

图1是边长为2的正方形ABCD，将△ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥P−ABC，且PB=2．

(Ⅰ)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(Ⅱ)点M是棱PA上不同于P，A的动点，设AMAP=λ(0<λ<1)，若平面PBC与平面MBC的夹角的余弦值为717.(本小题15分)

夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是23，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为13，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为12，如此往复.(提示：设An表示第n天选择绿豆汤)

(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率；

(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；

(3)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为Pn18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点(1,32)在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)如图，过点F且斜率为k的直线l与椭圆交于M，19.(本小题17分)

已知函数g(x)=2ln(−t−1)+cos(−t−2)．

(1)函数f(x)与g(x)的图像关于x=−1对称，求f(x)的解析式；

(2)f(x)−1≤ax在定义域内恒成立，求a的值；

(3)求证：k=n+12nf(1参考答案1.C

2.A

3.C

4.D

5.B

6.A

7.A

8.D

9.AD

10.AD

11.BCD

12.−4

13.12

14.915.解：(1)由Sn+Sn−1=an=Sn−Sn−1=(Sn−Sn−1)(Sn+Sn−1)，

可得Sn−Sn−1=1，n≥2，

则数列{Sn}是首项、公差均为1的等差数列，可得Sn=n，

即有Sn16.解：(Ⅰ)由于正方形ABCD的边长为2，所以AC=2．

取AC的中点O，连接PO，BO，由题意，得PO=BO=12AC=1，

再由PB=2，可得PO2+BO2=PB2，即PO⊥BO，

由题易知PO⊥AC，又AC∩BO=O，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，

所以平面PAC⊥平面ABC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知PO⊥OB，PO⊥OC，又OB⊥AC，

于是可分别以OC，OB，OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

则C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(−1,0,0)，P(0,0,1)．

所以AP=(1,0,1)，BC=(1,−1,0)，PC=(1,0,−1)，

由题意知AM=λAP=(λ,0,λ)，所以M(λ−1,0,λ)．

所以MC=(2−λ,0,−λ)．

设平面MBC的法向量为m=(x,y,z)，

则BC⋅m=x−y=0MC⋅m=(2−λ)x−λz=0，

令x=1，得平面MBC的法向量为m=(1,1,2−λλ)，

同理可得平面PBC的一个法向量为17.解：(1)该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为23×13=29；

(2)设A1表示第1天选择绿豆汤，A2表示第2天选择绿豆汤，则A1−表示第1天选择银耳羹，

根据题意得，P(A1)=23,P(A1−)=13,P(A2|A1)=13,P(A2|A1−)=1−12=12，

所以P(18.解：(1)因为点(1,32)在椭圆上，且椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，

所以a2=b2+11a2+94b2=1，

解得a=2b=3，

则椭圆C的标准方程为x24+y23=1；

(2)证明：当直线l的斜率k=0时，

可得k1=k2=0，

此时满足k1=13k2；

当k≠0时，

设直线l的方程为x=my+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)19.解：(1)依题意，设f(x)图像上任意一点坐标为(x0,y0)，

则其关于x=−1对称的点(−2−x0,y0)在g(x)图像上，

则y0=f(x0)=g(−2−x0)，则f(x0)=g(−x0−2)=2ln(x0+1)+cosx0，(x0>−1)

故f(x)=2ln(x+1)+cosx，(x>−1)；

(2)令ℎ(x)=f(x)−1−ax=2ln(x+1)+cosx−1−ax，(x>−1)，

则在ℎ(x)≤0在x∈(−1,+∞)恒成立，

又ℎ(0)=0，且ℎ(x)在x∈(−1,+∞)上是连续函数，则x=0为ℎ(x)的一个极大值点，

ℎ′(x)=2x+1−sinx−a，ℎ′(0)=2−a=0⇒a=2，

下证当a=2时，ℎ(x)≤0在x∈(−1,+∞)恒成立，

令φ(x)=ln(x+1)−x，φ′(x)=1x+1−1=−xx+1，

当x∈(−1,0)，ϕ′(x)>0，