江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为(

)A.6 B.7 C.8 D.92.已知集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x|2−x>0,x∈N}，则A∩B=A.{3,4} B.{0,1} C.{−1,0,1} D.{2,3,4}3.已知x>0，y>0，xy=4，则x+2y的最小值为(

)A.4 B.42 C.6 4.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为(

)A.23 B.56 C.345.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为(

)A.33 B.212 C.6.随机变量X服从N(μ,σ2)，若P(X≥1)=P(X≤3)，则下列选项一定正确的是A.P(|X|≥3)=1B.σ=1C.μ=2D.P(X≥3)+P(X≤1)=17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点NA.2π B.4π C.22π8.已知定义域为R的函数f(x)，满足f(1−x)f(1−y)+f(x+y)=f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(−1)=0，则以下选项错误的是(

)A.f(1)=0 B.f(x)图象关于(2,0)对称

C.f(x)图象关于(1,0)对称 D.f(x)为偶函数二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导运算正确的是(

)A.(e3x)′=3exB.(x10.已知P(A)=35，P(B)=45A.P(AB)=1225 B.P(A|B)>25 C.11.函数y=f(x)的定义域为I，区间D⊆I，对于任意x1，x2∈D(x则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是(

)A.f(x)=lnx B.f(x)=ex C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格，若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为

．13.已知二次函数f(x)从1到1+Δx的平均变化率为2Δx+3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)=

．14.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间象球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触(如图).勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体.若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是

．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率;(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X)．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=23，AD//BC，AB=BC=2，AD⊥平面PAB，PD⊥AB，E，F分别是棱PB，PC的中点．(1)证明：DF//平面ACE;(2)求二面角A−CE−B的正弦值．17.(本小题15分)我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”:a2+b2(1)证明“三元不等式”:a(2)已知函数f(x)=x ①解不等式f(x)≥5; ②对任意x∈(0,+∞)，f(x)≥m2+2m恒成立，求实数18.(本小题17分)

在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠(1)求AC1(2)求二面角B−AA1−D的大小;(3)求平行六面体19.(本小题17分)已知函数f(x)=e(1)函数y=f(x)是否具有奇偶性?为什么?(2)当a=−1时，求f(x)的单调区间;(3)若f(x)有两个不同极值点x1，x2，证明f(x参考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.CD

10.BD

11.AD

12.51613.f(x)=2x2−x(14.2−15.解：(1)设一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的事件记为A，从6张中任选2张有n=C62=15种方法，取到的折扣均不相同的取法有m=C32C21C21=12，则P(A)=mn=1215=45．

所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为X808590P311所以数学期望E(X)=80×3516.解：(1)连接EF．

因为E，F分别是棱PB，PC的中点，

所以EF/​/BC，BC=2EF．

因为AD/​/BC，BC=2AD，则EF/​/AD，EF=AD，

所以四边形ADFE是平行四边形，则AE//DF，

因为AE⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，所以DF//平面ACE．

(2)因为AD⊥平面PAB，AD/​/BC，则BC⊥平面PAB，

BC⊂平面PBC，则平面PBC⊥平面PAB．

因为PD⊥AB，AD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以由三垂线定理逆定理得：AB⊥PA，

E是PB的中点，则AE=AB，取BE中点M，则AM⊥PB，

面PBC⊥面PAB，面PBC∩面PAB=PB，AM⊂面PAB，所以AM⊥面PBC，

过点M作MH⊥CE交CE于点H，连结AH，由三垂线定理得AH⊥CE⊥M，

所以∠AHM为二面角A−CE−B平面角．

因为PB2=PA2+AB2=16，即PB=4，

E是棱PB的中点，则AE=BE=2，AB=2，△ABE为等边三角形，AM=3，

在Rt△BCE中，因为△EMH∽△ECB，得17.解(1)证明：因为a3+b3+c3−3abc=(a+b)(a2−ab+b2)+c(c2−3ab)

=(a+b)(a2−ab+b2)+c(c2−3ab+a2−ab+b2−a2+ab−b2)

=(a+b)(a2−ab+b2)+c[(c2−a2−2ab−b2)+(a2−ab+b2)]

=(a+b)(a2−ab+b2)+c[c2−(a+b)2]+c(a2−ab+b2)

=(a+b+c)(a2−ab+b2)+c(a+b+c)(c−a−b)

=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ac)

=12(a+b+c)[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]又因为18.解：(1)设AA1=a,AB=b,AD=c，

则AC1=AA1+AB+AD，

所以AC1=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=33．

(2)设平面BAA1的法向量为u=xa+yb+zc，

则u·a=xa+yb+zc·19.解：(1)f(x)=ex−1e2x+ax，定义域为R，

f(−x)=e−x−1e−2x−ax=ex−e2x−ax，

显然f(x)≠f(−x)，f(x)≠−f(−x)，

所以函数y=f(x)是非奇非偶函数；

(2)a=−1时，

f(x)=ex−1e2x−x，定义域为R，

f′(x)=−e−x+2e−2x−1=(2e−x+1)(