2023-2024学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市闵行区七宝中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若曲线y=f(x)=2sinx+2024在点(π3,f(π3))处的切线与直线A.1 B.−1 C.2 D.−22.若382023+a能被13整除，则a可以是(

)A.0 B.1 C.11 D.123.对于各数互不相等的正数数组(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整数)，如果在p<q时有ip>iq，则称ip与iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.例如，数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“A.34 B.28 C.16 D.134.设曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l.则以下说法正确的个数是(

)

①l与曲线y=f(x)可能没有交点

②l与曲线y=f(x)一定只有一个交点

③l与曲线y=f(x)不可能有且仅有两个交点

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题：本题共12小题，共54分。5.已知C7k=C72k−16.已知函数f(x)=lnx，则ℎ→0limf(3+ℎ)−f(3)ℎ=7.函数f(x)=2x2−4x+lnx8.已知(1+2x)n的展开式中二项式系数最大的项只有第8项，则n=______．9.二项式(x+2x)6的展开式中的常数项是______10.已知有5个男生和x个女生，若从中选择2个男生和1个女生在狂欢节中表演一个小品节目，共有30种不同的选法，则x=______．11.一场晚会共有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，随机排序形成一个节目单，则节目单中前3个节目都是舞蹈节目的概率为：______．12.已知(2x−1)10=a0+13.用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数abcde−，其中满足a>b>c<d<e的五位数有n个，则在1+(1+x)1+(1+x)2+(1+x)14.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，以下结论：

①f(x)在区间(−2.3)上有2个极值点；

②f′(x)在x=−1处取得极小值；

③f(x)在区间(−2,3)上单调递减；

④f(x)的图像在x=0处的切线斜率小于0.正确的序号是______．15.设a∈R，若关于x的方程aex=x216.已知函数f(x)=xex+e−e2,x≤0−2+x2,x>0三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

5名男生，2名女生站成一排照相.求在下列约束条件下，有多少种站法？

(1)女生不站在两端；

(2)女生相邻；

(3)女生不相邻．18.(本小题14分)

已知f(x)=3x3−9x+5．

(1)求函数y=f(x)的单调减区间；

(2)求函数y=f(x)在[−1,3]19.(本小题14分)

已知(2x−1x)5．

(1)求展开式中含1x的项的系数；

(2)设(2x−1x)5的展开式中前三项的二项式系数的和为M20.(本小题18分)

已知函数f(x)=x−alnx−1(a∈R)．

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线为x轴，求a的值；

(Ⅱ)讨论f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数；

(Ⅲ)若f(x)在区间(1,+∞)内有零点t，求证：t<a2．21.(本小题18分)

已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若|f′(x)|≤1对任意x∈R恒成立，则称函数f(x)为“线性控制函数”．

(1)判断函数f(x)=sinx和g(x)=ex是否为“线性控制函数”，并说明理由；

(2)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)在R上严格增，设A、B为函数f(x)图像上互异的两点，设直线AB的斜率为k，判断命题“0<k≤1”的真假，并说明理由；

(3)若函数f(x)为“线性控制函数”，且f(x)是以T(T>0)为周期的周期函数，证明：对任意x1，x2都有|f(参考答案1.B

2.B

3.D

4.B

5.1

6.137.128.14

9.160

10.3

11.15612.1

13.35

14.②③④

15.(0,416.(0,1+217.解：(1)根据题意，女生不站在两端，即男生在两端，

在5个男生中选出2人，安排在两端，剩下5人安排在中间，

有A52A55=2400种排法；

(2)两名女生要相邻，先把两名女生捆绑在一起看作一个整体，

再和另外的5名男生全排，故有A22A66=1440种排法；

(3)18.解：(1)∵f(x)的定义域为R，且f′(x)=9x2−9=9(x+1)(x−1)，

令f′(x)<0，可得−1<x<1，

∴函数y=f(x)的单调递减区间为(−1,1)；

(2)令f′(x)>0，可得x<−1或x>1，则f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)，

∴在区间[−1,3]上，f′(x)，f(x)随x−1(−1,1)1(1,3)3f′(x)0−0+y=f(x)11单调递减极小值−1单调递增59∴函数f(x)在[−1,3]上的最大值为59，最小值为−1．

19.解：(1)(2x−1x)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5−r(−1x)r=(−1)r25−rC5rx5−3r2(r=0,1,2,3,4,5)．

令5−3r2=−120.解：(Ⅰ)f′(x)=1−ax，则f′(1)=1−a=0，解得a=1．

经验证，f(x)=x−lnx−1在点(1,0)处的切线为y=0，∴a=1．

(Ⅱ)由题得f′(x)=1−ax=x−ax．

若a≤1，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0恒成立，

∴f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，∴f(x)无极值点．

若a>1，当x∈(1,a)时，f′(x)<0，当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，

故f(x)在区间(1,a)上单调递减，f(x)在区间(a,+∞)上单调递增．

∴x=a为f(x)的极小值点，且f(x)无极大值点．

综上，当a≤1时，f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数为0；

当a>1时，f(x)在区间(1,+∞)内的极值点个数为1．

(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)知当a≤1时，f(x)在区间(1,+∞)上单调递增，

∴f(x)>f(1)=0．

∴f(x)在区间(1,+∞)内无零点．

当a>1时，f(x)的单调递减区间为(1,a)，单调递增区间为(a,+∞)．

∴f(a)<f(1)=0．

若f(x)在区间(1,+∞)内有零点t，则t∈(a,+∞)．

而f(a2)=a2−2alna−1，设g(x)=x2−2xlnx−1(x>1)，

则g′(x)=2x−2(1+lnx)=2(x−1−lnx)．

设ℎ(x)=2(x−1−lnx)(x>1)，则ℎ′(x)=2(1−1x)=2(x−1)x>0，

∴ℎ(x)在区间(1,+∞)上单调递增．

∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，即21.解：(1)|f′(x)|=|cosx|≤1，

所以f(x)=sinx是“线性控制函数“，

|g′(1)|=e>1，

所以g(x)=ex不是“线性控制函数”．

(2)设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，其中x1<x2，

因为f(x)在R上单调递增，

所以f(x1)<f(x2)，

所以k=f(x1)−f(x2)x1−x2>0，

因为f(x)为“线性控制函数“，

所以f′(x)≤1，即f′(x)−1≤0，

令F(x)=f(x)−x，

所以F′