2024-2025学年江苏省南通市如东高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南通市如东高级中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线l：x=tan2π5的倾斜角为α，则α=A.0 B.2π5 C.π2 2.已知直角梯形ABCD，且A(1,1)，B(3,1)，C(3,3)，D(2,3)，则过其中三点的圆的方程可以为(

)A.(x−2)2+y2=3 B.(x−23.已知直线l：mx+y+3=0和直线n：3m2x+(m−2)y+1=0，则“m=−1”是“l/​/n”的A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知圆C的方程为x2+y2−2mx+4my+5m2−3m+3=0A.(−∞,1)∪(4,+∞) B.(1,+∞)

C.(1,4) D.(4,+∞)5.设点A(−2,3)、B(3,2)，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是(

)A.(−∞,−52]∪[43,+∞) B.[−6.已知直线l1：mx+y+4=0与直线l2：x−my−6−4m=0交于点P(x0,yA.4 B.8 C.32 D.647.已知直线x−y−k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有|OAA.[6,+∞) B.[6,28.数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图4)，给出下列三个结论：

①曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3；

②曲线C恰好经过8个整点；(即横、纵坐标均为整数的点)

③曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2．A.①② B.①③ C.③ D.①二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于直线l1：ax+2y+3a=0，l2：3x+(a−1)y+3−a=0.以下说法正确的有(

)A.l1//l2的充要条件是a=3 B.当a=25时，l1⊥l2

C.直线l10.设圆C：(x−1)2+(y−1)2=3，直线l：x+y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别为AA.|PA|的取值范围为[62,+∞) B.四边形PACB面积的最小值为322

C.存在点P使11.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼−闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(A.若点P(2,4)，Q(−2,1)，则d(P,Q)=7

B.若点M(−1,0)，N(1,0)，则在x轴上存在点P，使得d(P,M)+d(P,N)=1

C.若点M(2,1)，点P在直线x−2y+6=0上，则d(P,M)的最小值是3

D.若点M在y=x2上，点N在直线2x−y+8=0上，则d(M,N)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.圆C1：(x−1)2+13.经过两条直线3x+y−5=0与x−2y+3=0的交点，且在y轴上的截距是x轴上的3倍的直线方程为______．14.已知圆O：x2+y2=1圆Ck：(x−k)2+(y−3k)2=4，则下列结论正确的是______．

①无论k取何值，圆心Ck始终在直线y=3x上；

②若圆O与圆Ck有公共点，则实数k的取值范围为[12,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：

(1)已知以点A(−1,2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切，过点B(−2,0)的动直线l与圆A相交于M，N，当|MN|=219时，求直线l的方程．

(2)以C(4,−3)为圆心的圆与圆x2+16.(本小题15分)

已知直线l：(a−1)y=(2a−3)x+1．

(1)求证：直线l过定点；

(2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；

(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．17.(本小题15分)

已知以点C(t,2t)(t>0)为圆心的圆经过原点O，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．

(Ⅰ)求证：△AOB的面积为定值．

(Ⅱ)设直线2x+y−4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程．

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点18.(本小题15分)

已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称．

(1)判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；

(2)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B．

①若直线PA和直线PB互相垂直，求PA+PB的最大值；

②若直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H，且∠PGH=∠PHG19.(本小题17分)

某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在Q处成功拦截机器人甲.若点Q在矩形区域ABCD内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败.已知AB=24米，E为AB中点，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为θ．

(1)若θ=45°，AD足够长，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？

(2)若机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，应如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲？

参考答案1.C

2.C

3.B

4.D

5.D

6.D

7.B

8.B

9.BD

10.ABD

11.ACD

12.外离

13.2x−y=0或3x+y−5=0

14.①③④

15.(1)易知A(−1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，所以r=|−1×1+2×2+7|12+22=25，则圆A方程为(x+1)2+(y−2)2=20，

过A做AQ⊥MN，由垂径定理可知∠MQA=90°，且|MQ|=19，

在Rt△AMQ中由勾股定理易知|AQ|=|AM|2−|MQ|2=1，

①当动直线l斜率不存在时，设直线l的方程为x=−2，

经检验圆心到直线l的距离为1，且根据勾股定理可知|MN|=219，显然x=−2合题意，

②当动直线l斜率存在时，l过点B(−2,0)，设l方程为：y=k(x+2)，

由A(−1,2)到l距离为1知|−k+2k−2|1+k2=1，解得k=34，代入得到直线的方程为3x−4y+6=0，

所以3x−4y+6=0或x=−2即为所求．16.解：(1)由直线方程(a−1)y=(2a−3)x+1变形可得a(y−2x)+3x−y−1=0

则有y−2x=03x−y=1，解得x=1y=2，所以直线l过定点(1,2)．

(2)结合图像：

当直线l斜率不存在时，即a=1时，直线l：x=1符合题意；

当直线l斜率存在时，2a−3a−1≥2，解得a<1；

综上可得，实数a的取值范围为a≤1．

(3)已知直线l：(a−1)y=(2a−3)x+1，

令y=0，得x=13−2a>0，得a<32．

令x=0，得y=1a−1>0，得a>1，

则SΔ17.【解答】

(Ⅰ)证明：由题意可得：圆的方程为：(x−t)2+(y−2t)2=t2+4t2，

可化为：x2−2tx+y2−4ty=0，与坐标轴的交点分别为：A(2t,0)，B(0,4t).

∴S△OAB=12|2t||4t|=4，为定值．

(Ⅱ)解：∵|OM|=|ON|，∴原点O在线段MN的垂直平分线上，

设线段MN的中点为H，则C，H，O三点共线，

OC的斜率k=2t2，∴(2t2)×(−2)=−1，解得t=±2，

∵t>0∴t=2

可得圆心C(2,1)

∴圆C的方程为：(x−2)2+(y−1)2=5．

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)18.解(1)设圆心C(a,b)，则a−22+b−22+2=0b+2a+2=1，解得a=0b=0…(2分)

则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2

∴CM=22，又两半径之和为22，∴圆M与圆C外切．…(4分)

(2)令l1、l2即PA，PB为过P点的两条弦

①设l1、l2被圆C所截得弦的中点分别为E、F，弦长分别为d1，d2，因为四边形OEPF是矩形，

所以OE2+OF2=OP2=2，即(2−(d12)2)+(2−(d22)2)=2，化简得d12+d22=8…(9分)

从而d1+d2≤2⋅d12+d22=4，(d1=d2时取等号，此时直线PA，PB必有一条斜率不存在)

综上：l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为4…(10分)

另解：若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在，

则PA=PB=2，此时PA+PB=4.…(5分)

若直线PA与PB斜率都存在，且互为负倒数，故可设PA：y−1=k(x−1)，即kx−y−k+1=0，(k≠0)

点C到PA的距离为|k−1|1+k2，同理可得点C19.解：(1)根据题意，在△AEQ中，可得AQ=2EQ，∠AEQ=135°，

根据正弦定理，可得EQsin∠QAE=AQsin∠AEQ，可