全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷8（共120题）

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷8（共4套）（共120题）全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第1套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、若A，B均为n阶方阵，且AB=0，则()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0标准答案：C知识点解析：AB=0→｜AB｜→0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案为C2、若n阶方阵A可逆，且伴随矩阵A*也可逆，则A*的逆矩阵为()A、AB、｜A｜2C、D、标准答案：C知识点解析：由于A可逆，因此｜A｜≠0，又A.A’=A’.A=｜A｜.I，所以所以答案为C.3、设则α3=_______时，有α1,α2,α3为R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T标准答案：D知识点解析：首先已知α1,α2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(α1,α2,α3)，则α1,α2,α3线性无关｜A｜≠0由于A的左上角2阶主子式(记为｜A11｜)不等于0，故选即可．此时答案为D4、设，则Ax=0的基础解系含有_______个解向量．()A、1B、2C、3D、0标准答案：A知识点解析：由于V(A)=3，所以基础解集含有4—3=1个向量．答案为A.5、设则以矩阵A为对应的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32B、f(x1，x2，x3)=x12+x2x3C、f(x1，x2，x3)=x22+x1x3D、f(x1，x2，x3)=x32+x1x2标准答案：C知识点解析：A的主对角线元素1对应x22系数；a13=1，a31=1，之和对应x1x3系数2．答案为C.二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、已知四阶行列式D的第一行元素依次为1，3，0，一2，第三行元素对应的代数余子式依次为8，k，一7，10，则k=_______．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：根据代数余子性质8+3走一20=0→k=4．7、设则(A+B)2一(A2+AB+B2)=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：(A+B)2一(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A2+AB+B2)=A2+B2+AB+BA—A2一AB—B2=BA8、设则(A*)-1=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于，所以A*=｜A｜.A-1，(A*)-1=(｜A｜.A1)-1=，又｜A｜=一1，所以(A*)-1=A。9、已知α=(2，1，3)，β=(一1，3，6)则2α+3β=________．FORMTEXT标准答案：(1，11，24)知识点解析：2α+3β=(4，2，6)+(一3，9，18)=(1，11，24)．10、当k为_______时，向量组不能构成R3的一组基．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：∵α1,α2,α3不能构成R3的一组基∴α1,α2,α3线性相关11、已知线性方程组有解，则常数α1,α2,α3,α4满足条件_______．FORMTEXT标准答案：一α1+α2一α3+α4=0知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有由此可得一α1+α2一α3+α4=0时线性方程组有解，而一α1+α2一α3+α4≠0时线性方程组无解．12、已知三阶矩阵A的特征值分别为1、一1、2，则｜A一5E｜=________.FORMTEXT标准答案：一72知识点解析：A的特征值分别为1、一1、2，则A一5E的特征值分别为一4，一6，一3．故｜A一5E｜=一72．13、设n阶方阵A与B相似且A2=A，则B2=_________．FORMTEXT标准答案：B知识点解析：由于A与B相似，存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP．所以B2=P-1AP.P-1AP=P-1A2P=P-1AP=B14、设三阶矩阵A的特征值为1，4，6，对应的特征向量分别为则矩阵A=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据特征值和特征向量的定义，有→(Ap1，Ap2，Ap3)=(P1，4p2，6p3)，即A(p1，p2，P3)=(p1，4p2，6p3)，15、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定该二次型的正定性为________．FORMTEXT标准答案：半正定二次型知识点解析：该题可利用特征值判定．由二次型对应的对称矩阵可知A的特征值为0，2，2，故该二次型为半正定二次型．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算标准答案：将第一行乘一1加到其余各行上，形成三线型，最后得结果为知识点解析：暂无解析17、设求A2+B2一AB—BA.标准答案：A2+B2一BA=(A2一AB)一(BA-B2)=A(A一B)一B(A—B)一(A一B)2知识点解析：暂无解析18、设AB=A+2B，求B.标准答案：由AB=A+2B可得(A一2E)B=A，故知识点解析：暂无解析19、已知α1=(1，0，2，3)，α2=(1，1，3，5)，α3=(1，一1，a+2，1)，α4=(1，2，4，a+8)，β=(1，1，6+3，5)，问当a，b为何值时，β不能表示为α1,α2,α3,α4的线性组合?标准答案：设β=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4，不难求得有线性方程组对这个线性方程组的增广矩阵进行初等变换若a+1=0而b≠0，则方程组无解．因此当a=一1，6≠0时，β不能表示为α1,α2,α3,α4的线性组合．知识点解析：暂无解析20、a、b的值使线性方程组有无穷多解，并求出通解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有由此可见，当a=b=0时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2＜未知量个数，方程组有无穷多解，并且当a=b=0时，线性方程组的同解方程组为所以方程组通解为知识点解析：暂无解析21、求及的特征值及特征向量．标准答案：(1)特征值为λ1=λ2=0，λ3=3．属于λ1=λ2=0的特征向量满足于是全部的特征向量为(k1，k2为不全为零的实数)．属于λ3=3的特征向量满足于是全部的特征向量为(2)特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，属于λ1=一1的特征向量满足于是全部的特征向量为属于λ2=λ3=1的特征向量满足x1-x3=0，于是全部的特征向量为(k1，k2为不全为零的实数)．知识点解析：暂无解析22、设对称矩阵求正交矩阵P使PTAP为对角矩阵．标准答案：因为矩阵A是对称矩阵，所以其特征值都是实数，且对应的特征向量都线性无关，先求出特征值，然后求出相应的特征向量，最后把特征向量正交单位化就可以求出正交矩阵．解(1)首先求特征值．特征值为λ1=0(三重)，λ2=4．(2)其次求特征向量．当λ1=0时，求(λ1I－A)x=0的基础解系解之得基础解系为α1=(一1，1，0，0)T，α2=(一1，0，1，0)T，α3=(一1，0，0，1)T，将α1,α2,α3正交化，得β1=α1=(一1，1，0，0)T，再将β1，β2，β3单位化，得当λ2=4时，求(λ2I—A)x=0的基础解系得基础解系为α4=(1，1，1，1)T，将α4=(1，1，1，1)T单位化，得(3)令P=(η1，η2，η3，η4)，则有知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr，是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关．标准答案：证一：因为ξ1，ξ2，…，ξr，是Ax=0的基础解系．所以ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关，若η,ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关，则η必可由ξ1，ξ2，…，ξr，线性表出，从而η为Ax=0的解，这与叩为Ax=b的解矛盾，故η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性无关；证二(反正法)：若η，ξ1，ξ2，…，ξr，线性相关，则存在不全为零的数l，k1，k2，…，kr使lη+k1ξ1+k2ξ2+…+krξr=0．若l≠0，则即η可以由ξ1，ξ2，……ξr线性表出，由此可得η为Ax=0的解，与已知矛盾，故l=0．从而k1，k2，…，kr不全为零，使k1ξ1+k2ξ2+……krξr=0，这表明ξ1，ξ2，……ξr线性相关，与ξ1，ξ2，……ξr为Ax=0的基础解系矛盾．所以η，ξ1，ξ2，……ξr线性无关．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第2套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设α1=，则α3=_________时，有α1，α2，α3为R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T标准答案：D知识点解析：首先已知α1，α2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关→｜A｜≠0由于A的左上角2阶主子式(记为｜A11｜)不等于0，故选α3=即可。(此时｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案为D。2、设A=，则以矩阵A为对应的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32B、f(x1，x2，x3)=x12+x2x3C、f(x1，x2，x3)=x22+x1x3D、f(x1，x2，x3)=x32+x1+x2标准答案：C知识点解析：A的主对角线元素1对应x2系数；a13=1，a31=1，之和对应x1x3系数2．答案为C。3、若方程组，有非零解，则λ＝A、－2／5B、0C、2/5D、-1标准答案：C知识点解析：齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式4、若齐次线性方程组只有零解，则λ应为()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1标准答案：B知识点解析：齐次线性方程组Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1时题中齐次线性方程组只有零解．答案为B.5、下列矩阵中与A＝合同的矩阵是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：合同性质：若两个矩阵合同，则它们有相同的正惯性指数．，故A的正惯性指数为2．显然C项的正惯性指数为2，故C项正确．6、设|A|=|aij|为n阶行列式，则a12a23a34…an-1,nan,1在行列式中符号为()A、正B、负C、(一1)nD、(一1)n-1标准答案：D知识点解析：τ(234…n1)=n一1，故符号为(一1)n-1．故选D．7、设n维向量，矩阵A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB=()A、OB、一EC、ED、E+αTα标准答案：C知识点解析：B=(E—αTα)(E+2αTα)=E+αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α=E+αTα一2×=E，选C.8、设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则()A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A标准答案：C知识点解析：AA*=|A|E两边取行列式，得|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故(A*)*=9、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()A、α1+α2，α2+α3，α3+α1B、α1，α1+α2，α1+α2+α3C、α1一α2，α2一α3，α3一α1D、α1+α2，2α2+α3，3α3+α1标准答案：C知识点解析：显然(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0．10、向量组α1，α2，…，αs，(s≥2)的秩为零的充要条件是A、α1，α2，…，αs全是零向量B、α1，α2，…，αs中没有线性相关的部分组C、α1，α2，…，αs中可以有非零向量D、α1，α2，…，αs可以全是非零向量标准答案：A知识点解析：只有零矩阵的秩才是0，故此向量组应全是零向量，因此A项正确．11、零为矩阵A的特征值是A不可逆的()A、必要条件B、充分条件C、非充分、非必要条件D、充要条件标准答案：D知识点解析：零为矩阵A的特征值,|0×E—A|=|-A|=(一1)n|A|=0,|A|=0推得A不可逆．故选D.12、设A，B是n(≥2)阶可逆方阵，k是一实常数且不为零，下列等式不成立的是()A、(AB)-1=B-1A-1B、(kA)-1=k-1A-1C、(A’)-1=(A-1)’，A’表示A的转置阵D、(AB)-1=A-1B-1标准答案：D知识点解析：本题考查矩阵求逆阵运算法则．选项A、B、C均正确，选项D中(AB)-1=B-1A-1．答案为D。13、初等矩阵相当于对A()A、交换2，3两行的变换B、交换2，3两列的变换C、交换1，2两行的变换D、交换1，3两列的变换标准答案：B知识点解析：因右乘初等矩阵为列变换且右乘为交换2，3两列．14、实二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，则k的取值范围为()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2标准答案：B知识点解析：由于二次型的矩阵为，A正定，则顺序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范围是一2＜k＜0或0＜k＜2．15、已知线性方程组则下列判断正确的是()A、λ=2时,方程组有无穷多组解B、λ=一3时方程组无解C、λ=3时方程组有无穷多组解D、λ≠2时方程组有惟一解标准答案：B知识点解析：对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上：这时就可发现若λ=一3，则矩阵最后一行前面4个数等于0，而最后一个数等于4，用方程式表示将得到0=4，这表明方程组无解，故应该选B。16、设矩阵A＝，则A中A、所有三阶子式都为零B、所有二阶子式都不为零C、存在一个三阶子式不为零D、所有二阶子式都为零标准答案：C知识点解析：暂无解析17、当t为______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵各阶顺序主子式为2＞0，即即因为故当时，答案为C18、已知A是n阶实对称阵且正交，则()A、A2=InB、A相似于InC、A合同于InD、A=In标准答案：A知识点解析：正交的对角矩阵不一定是单位矩阵(如一In)，因此D不对．因为和单位矩阵相似的矩阵只能是单位矩阵自己，因此B也不对，D也不对，比如一In是正交实对称矩阵但和单位矩阵不同，于是应该选A，事实上由ATA=In及A是对称阵即得A2=In．19、下列矩阵中不是初等方阵的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：初等方阵即由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵．20、设A，B均为n阶可逆矩阵，则必有()A、A—B可逆B、BA可逆C、AB--BA可逆D、A+B可逆标准答案：B知识点解析：因A，B均为n阶可逆矩阵，故|A|≠0，|B|≠0因此|B||A|=|BA|≠0，所以BA可逆；当A=B时A—B=O，AB一BA=O，当A=一B时A+B=O．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、设A为2阶可逆矩阵，且已知(2A)-1=则A=__________.FORMTEXT标准答案：根据可逆矩阵的基本性质可知知识点解析：暂无解析22、若λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵(A2)-1必有特征值__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：A有特征值λ=2，则23、若A2=E，则A的特征值只能是_______．FORMTEXT标准答案：1或一1知识点解析：由A2=E得A2一E=0，(A—E)(A+E)=0｜(A—E)｜｜(A+E)｜=0故｜A—E｜=0或｜(A+E)｜=｜(一A—E)｜=0故必有λ一1=0或一λ一1=0即λ=1或一1．24、已知α=(2，1，3)，β=(一1，3，6)则2α+3β=_________．FORMTEXT标准答案：(1，11，24)知识点解析：2α+3β=(4，2，6)+(一3，9，18)=(1，11，24)．25、已知线性方程组有解，则常数α1,α2,α3,α4满足条件_______．FORMTEXT标准答案：一α1+α2一α3+α4=0知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有由此可得一α1+α2一α3+α4=0时线性方程组有解，而一α1+α2一α3+α4≠0时线性方程组无解．26、设向量α＝(1，2，3，4)，则α的长度为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：27、已知齐次线性方程组有非零解，则λ的值为_________．FORMTEXT标准答案：λ=1或λ=一2知识点解析：由于齐次线性方程度组有非零解．因此系数行列式=(λ+2)(λ一1)2=0，所以λ=1或λ=一2．28、设矩阵A=，则A+2B=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：A+2B=。29、设矩阵则|AAT|=_____．FORMTEXT标准答案：9知识点解析：30、二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+x2x3经过正交变换x=Px可化为标准形f=6y12则a=______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：由二次型的标准形可知，二次型的矩阵A的特征值是6，0，0．由矩阵的特征值的性质知，λ1+λ2+λ3=6=a11+a22+a33=3a，故a=2．三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=一α1+α3，β=2α2—2α3，β=2α1—5α2+3α3．试确定向量组β1，β2，β3的线性相关性．标准答案：设有数k1，k2，k3，使k1β1+k2β2+k3β3=0即k1(一α1+α3)+k2(2α2—2α3)+k3(2α1一5α2+3α3)=0整理得(一k1+2k3)α1+(2k2—5α3)α2+(k1一2k2+3k3)α3=0因为α1,α2,α3线性无关，则其系数矩阵初等变换得到r(A)=2＜3，所以方程组有非零解．从而β1，β2，β3线性相关．知识点解析：暂无解析32、已知向量组α1=，求向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩．标准答案：对以α1，α2，α3，α4，α5为列向量的矩阵A进行初等变换，有r(A)=2，所以向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩为2．知识点解析：暂无解析33、设β=(0，k，k2)T可由α1=(1+k，1，1)T，α2=(1，1+k，1)T，α3=(1，1，1+k)T唯一地线性表出，求k满足的条件．标准答案：设x1α1+x2α2+x3α3=β，方程组的系数矩阵A=(α1，α2，α3)为三阶方阵，所以x1α1+x2α2+x3α=3β有唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A，β)=3，则|A|≠0，而|A|==(k+3)k2≠0，即k≠一3且k≠0，所以当k≠-3且k≠0时，β能由α1，α2，α3唯一地线性表示．知识点解析：暂无解析已知线性方程组34、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析35、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析36、求解矩阵等式AX=B，其中标准答案：由于．故A可逆，知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr是其导出组Ax=0的一个基础解系，证明η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关．标准答案：因为ξ1，ξ2，…，ξr，是Ax=0的基础解系．所以ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，若η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则η必可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表出，从而η为Ax=0的解，这与η为Ax=b的解矛盾，故η，ξ1，ξ2，…，ξr线性无关．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第3套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、零为矩阵A的特征值是A不可逆的()A、必要条件B、充分条件C、非充分、非必要条件D、充要条件标准答案：D知识点解析：零为矩阵A的特征值,|0×E—A|=|-A|=(一1)n|A|=0,|A|=0推得A不可逆．故选D.2、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，α与β是A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，则α与β()A、对应分量成比例B、线性无关C、可能有零向量D、线性相关标准答案：B知识点解析：因λ1≠λ2，α与β是A的特征向量，则α≠β，则由定理5.2.4得α，β线性无关。3、设λ1与λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ε，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则()A、存在常数k1≠0，k2≠0，使k1ε+k2η是A的特征向量B、存在唯一的一组常数k1≠0，k2≠0，k1g+k2η是A的特征向量C、对任意k1≠0，k2≠0，k1ε+k2η，是A的特征向量D、当k1≠0，k2≠0时，k1ε+k2η不可能是A的特征向量标准答案：D知识点解析：假设k1ε+k2η是A的属于λ的特征向量，即A(k1ε+k2η)=λ(k1ε+k2η)，即(k1λ1ε+k2λ2η)=λk1ε+λk2η，即(k1λ1—k1λ)ε+(k2λ2—k2λ)η=0，而ε与η分属于A的两个不同特征值的特征向量，又k1，k2都不为0，得λ=λ1=λ2与λ1≠λ2矛盾．故当k1≠0，k2≠0时，k1ε+k2η，不可能是A的特征向量，选D．4、设三元实二次型f(x1，x2，x3)=一2x12+3x22一4x32，则其规范形为()A、一z12一z22一z32B、一z12+z22+z32C、z12一z22一z32D、z12+z22+z32标准答案：C知识点解析：三元二次型f=一2x12+3x22一4x32，经过可逆线性变换：，则其规范型为f’=z12一z22一z32．5、设λ0是n阶矩阵A的特征值，且齐次线性方程组(λ0E-A)x=0的基础解系为η1和η2，则A的属于λ0的全部特征向量是()A、η1和η2B、C1η1+C2η2+C2(C1，C2为任意常数)C、C1η1+C2η2(C1，C2为不全为零的任意常数)D、η1或η2标准答案：C知识点解析：对任意常数C1，C2，都有(λ0E—A)(C1η1+C2η2)=C1(λ0E—A)η1+C2(λ0E—A)η2=0．即有A(C1η1+C2η2)=λ0(C1η1+C2η2)．但又由于零向量不是特征向量．故属于λ0的全部特征向量即为C1η1+C2η2，(C12+C22≠0)，故选C．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、行列式FORMTEXT标准答案：0知识点解析：7、矩阵行向量组线性_______．FORMTEXT标准答案：相关知识点解析：向量个数大于维数，则线性相关．8、齐次线性方程组的基础解系为______．FORMTEXT标准答案：(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T知识点解析：9、设矩阵A的伴随矩阵则A-1=______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：10、设则B=A2一2A+3E的特征值为______．FORMTEXT标准答案：2，6知识点解析：上三角矩阵A的特征值为1和3，由B=A2一2A+3E知，对应多项式f(x)=x2一2x+3，所以B特征值为f(1)=2，f(3)=6．11、若行列式则x=______．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：12、若FORMTEXT标准答案：2知识点解析：13、设，则(A*)-1=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于所以A*=|A|．A-1，(A*)-1=(|A|.A-1)-1=又|A|=1，所以(A*)-1=A.14、用初等变换将矩阵化为标准形为____。FORMTEXT标准答案：知识点解析：对A进行初等变换，有15、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+3x22+5x32+2x1x2—2x1x3+8x2x3的矩阵是_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因f(x1，x2，x3)=2xx12+3x22+5x32+2x1x2—2x1x3+8x2x3可以由二次型的性质知，其二次型的矩阵为三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算行列式D=标准答案：把第一行的(一1)倍加到第二行上，第一行的(-1)倍加到第三行上，知识点解析：暂无解析17、解矩阵方程标准答案：知识点解析：暂无解析18、求矩阵的秩．标准答案：所以r(A)=3．知识点解析：暂无解析19、λ为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解?当方程组有无穷多解时求其通解．标准答案：线性方程组的增广矩阵所以，当λ≠1且λ≠一2时，r(A)=r(A，b)=3，方程组有唯一解；当λ=一2时，r(A)=2，r(A，b)=3，方程组无解；当λ=1时，r(A)=r(A，b)=1，方程组有无穷多组解．当方程组有无穷多解时，同解方程组为x1=一x2一x3-2，令x2=x3=0，得x1=一2，从而得到方程组的一个特解原方程组的导出组的同解方程组为x1=一x2一x3，知识点解析：暂无解析20、设．问η1，η2，η3是否是A的特征向量?如果是，它们分别属于哪个特征值?标准答案：，即η1是A的属于特征值一1的特征向量．即η2是A的属于特征值一2的特征向量．，即η3是A的属于特征值一3的特征向量．知识点解析：暂无解析21、设三阶矩阵，求矩阵A的特征值和特征向量．标准答案：矩阵A的特征多项式为故A的特征值为λ1=0，λ2=λ3=1．对于特征值λ1=0，解齐次线性方程组(0E一Ax)=0，得其一个基础解系为故属于特征值λ1=0的全部特征向量为k1k1是不为零的任意常数．对于特征值λ2=λ3=1，解齐次线性方程组(E—A)x=0，故属于特征值λ2=λ3=1的全部特征向量为k2α2+k3α3=其中k2，k3是不全为零的任意常数．知识点解析：暂无解析22、求一个正交变换x=Py，把二次型f(x1，x2，x3)=3x12+4x1x2+2x32化为标准形．标准答案：二次型的矩阵是故A的特征值为λ1=-1，λ2=2，λ3=4．当λ1=一1时．解方程组(一E-A)x=0，对A+E进行初等行变换，得属于特征值λ1=一1的一个特征向量是当λ2=2时，解方程组(2E—A)x=0，得到属于特征值λ2=2的一个特征向量是当λ3=4时，解方程组(4E—A)x=0，得到属于特征值λ3=4的一个特征向量是令P=(p1，p2，p3)=，则P为正交矩阵．从而x=Py为正交变换，故f(x1，x2，x3)=f(y1，y2，y3)=一y12+2y22+4y32．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设β1=α1，β2=α1+α2，β3=α1+α2+α3，β4=α1+α2+α3+α4，且向量组α1，α2，α3，α4线性无关，证明：向量组β1，β2，β3，β4也线性无关．标准答案：设存在一组数k1，k2，k3，k4，使k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0，则k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)+k4(α1+α2+α3+α4)=0，即(k1+k2+k3+k4)α1+(k2+k3+k4)α2+(k3+k4)α3+k4α4=0，又因为α1，α2，α3，α4线性无关，故从而得k1=k2=k3=k4=0，所以向量组β1，β2，β3，β4也线性无关．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第4套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设α1=，则α3=_________时，有α1，α2，α3为R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T标准答案：D知识点解析：首先已知α1，α2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关→｜A｜≠0由于A的左上角2阶主子式(记为｜A11｜)不等于0，故选α3=即可。(此时｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案为D。2、已知是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为()A、(5，一3，一1)B、C、D、标准答案：A知识点解析：将四个选项代入验证Ax=O是否成立Ax=I．答案为A.3、二次型f＝x12＋x22＋x32＋4x2x3的规范形是A、z12＋z22+32B、z12－z22－z32C、z12＋z22﹣z32D、z12－z22标准答案：C知识点解析：，得A的特征值为λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝3，故A的正惯性指数为2，负惯性指数为1．故此二次型的规范型为z12＋z22－z32．4、设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则()A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A标准答案：C知识点解析：AA*=|A|E两边取行列式，得|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故(A*)*=5、二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12＋2x1x2－x22＋2x2x3＋x32＋x42的秩为A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：故r(A)＝4，则二次型f的秩也为4．6、实二次型f(x1，…，xn)=ATx为正定的充要条件是()A、f的秩为nB、f的正惯性指数为nC、f的正惯性指数等于f的秩D、f的负惯性指数为n标准答案：B知识点解析：由正定的性质即得．答案为B7、设向量组(I)：α1=(a11，a21,a31)T，α2=(a12，a22，a32)T，α3=(a13,a23，a33)T，向量组(Ⅱ)：β1=(a11，a21，a31，a41)T，β2=(a12，a22，a32，a42)T，β3=(a13，a23，a33，a43)T，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：令α1=(1，0，0)T，α2=(1，0，0)T，α3=(0，1，0)T，β1=(1，0，0，1)T，β2=(1，0，0，0)T，β3=(0，1，0，0)T，显然α1，α2，α3线性相关，而β1，β2，β3线性无关，排除A，C．同理可举例排除D．也可证明B成立，(I)无关，故矩阵A4×3=(β1，β2，β3)有一个3阶主式不为零，故A的列向量组的秩也必为3，故β1，β2，β3线性无关．8、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋2x22＋3x32＋2x1x2＋2x2x3的秩为A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：由二次型的矩阵，得r(A)＝3，即此二次型的秩为3，故选D项．9、设n(n≥3)阶矩阵A=若矩阵A的秩为n一1，则a必为()A、1B、C、一1D、标准答案：B知识点解析：由r(A)=n一1．必｜A｜=0．若a=1，则r(A)=1，故必a≠1．=(1一a)n—1(1一n+na)=(1—a)n—1[1一n)a]因a≠1，故仅当a=时，｜A｜=0且r(A)=n—1(即｜An—1｜≠0)．答案为B。10、的根为()A、a+a，a+aB、0，a1+a2+a3+a4C、a1.a2.a3.a4，0D、0，一a1一a2一a3一a4标准答案：D知识点解析：提示2、3、4列加到第一列．答案为D。11、设λ1与λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ε，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则()A、存在常数k1≠0，k2≠0，使k1ε+k2η是A的特征向量B、存在唯一的一组常数k1≠0，k2≠0，k1g+k2η是A的特征向量C、对任意k1≠0，k2≠0，k1ε+k2η，是A的特征向量D、当k1≠0，k2≠0时，k1ε+k2η不可能是A的特征向量标准答案：D知识点解析：假设k1ε+k2η是A的属于λ的特征向量，即A(k1ε+k2η)=λ(k1ε+k2η)，即(k1λ1ε+k2λ2η)=λk1ε+λk2η，即(k1λ1—k1λ)ε+(k2λ2—k2λ)η=0，而ε与η分属于A的两个不同特征值的特征向量，又k1，k2都不为0，得λ=λ1=λ2与λ1≠λ2矛盾．故当k1≠0，k2≠0时，k1ε+k2η，不可能是A的特征向量，选D．12、若可逆矩阵A有特征值λ=2，则(λ2)-1必有特征值()A、4B、C、D、标准答案：B知识点解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案为B。13、实二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，则k的取值范围为()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2标准答案：B知识点解析：由于二次型的矩阵为，A正定，则顺序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范围是一2＜k＜0或0＜k＜2．14、已知线性方程组则下列判断正确的是()A、λ=2时方程组有无穷多组解B、λ=一3时方程组无解C、λ=3时方程组有无穷多组解D、λ≠2时方程组有惟一解标准答案：B知识点解析：对方程组的增广矩阵进行初等变换，依次将第一行、第二行和第三行加到第四行上：这时就可发现若λ=一3，则矩阵最后一行前面4个数等于0，而最后一个数等于4，用方程式表示将得到0=4，这表明方程组无解，故应该选B．答案为B。15、设有向量组α1=(1，一1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，一2，2，0)，α5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是()A、α1，α2，α3B、α1，α2，α4，α5C、α1，α2，α4D、α1，α2，α5标准答案：C知识点解析：(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=故α1T，α2T，α4T线性无关，从而α1，α2，α4是极大线性无关组．16、若矩阵A与B等价，则()A、|A|=|B|B、A与B相似C、A与B合同D、r(A)=r(B)标准答案：D知识点解析：A与B等价的充分必要条件为A，B为同阶方阵，且r(A)=r(B)．17、行列式=()A、48B、84C、一48D、一84标准答案：A知识点解析：=6×23=48．答案为A。18、设A，B，A+B以及A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A(A+B)-1BC、(A+B)-1D、A+B标准答案：B知识点解析：一一代入，可发现只有选项B满足条件．因(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=E(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1B(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1.B=E．19、已知A是n阶实对称阵且正交，则()A、A2=InB、A相似于InC、A合同于InD、A=In标准答案：A知识点解析：正交的对角矩阵不一定是单位矩阵(如一In)，因此D不对．因为和单位矩阵相似的矩阵只能是单位矩阵自己，因此B也不对，D也不对，比如一In是正交实对称矩阵但和单位矩阵不同，于是应该选A，事实上由ATA=In及A是对称阵即得A2=In．20、下列矩阵中不是初等方阵的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：初等方阵即由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、已知α1，α2线性无关而α1,α2,α3线性相关，则向量组α1，3α2，7α3的极大无关组为_______．FORMTEXT标准答案：α1，3α2知识点解析：由于α1与3α2线性无关，并且7α3可由α1，3α2线性表示．22、设A，B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为_______．FORMTEXT标准答案：AB=BA知识点解析：A、B为n阶对称矩阵，则AT=A，BT=B，因为AB也是对称矩阵．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A、B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为AB=BA.23、已知，则ATB－1＝______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：24、设A、B均为3阶矩阵，｜A｜=3，｜B｜=一2，则｜一2A1．B-1｜=_________。FORMTEXT标准答案：12知识点解析：｜一2ATB-1｜=(一2)．｜AT｜．｜B-1｜=一8×｜A｜×=12．25、设A，B为n阶方阵，且|A|≠0，则AB和BA相似，这是因为存在可逆矩阵P=______，使得P-1ABP=BA.FORMTEXT