全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷3（共263题）

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷3（共9套）（共263题）全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第1套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、行列式=()A、48B、84C、一48D、一84标准答案：A知识点解析：=6×23=48．答案为A。2、设矩阵，则()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3标准答案：C知识点解析：。答案为C。3、设2阶矩阵A=，则A*=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由伴随矩阵的定义即得．答案为A。4、设m×n矩阵A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ标准答案：D知识点解析：基础解系必须是线性无关的向量组，四个选项中只有D中三个向量线性无关．答案为D。5、设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α1+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因r(A)=3，未知量个数为4，故与Ax=b相应的齐次线性方程组Ax=0的解空间是一维的，又因α1是Ax=b的一个特解，故其通答案为C。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、行列式=_________．FORMTEXT标准答案：一24知识点解析：7、当k=_________时，仅有零解．FORMTEXT标准答案：知识点解析：仅有全解→8、设A=，则(A一2E)-1=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：9、齐次线性方程组有非零解，则a=_________．FORMTEXT标准答案：8知识点解析：齐次线性方程组有非零解=0，即a=8．10、向量β=_________在基α1=下的坐标为(一1，0，1)．FORMTEXT标准答案：知识点解析：β=(一1)α1+0α2+1×α3=．11、若线性方程组有解，则λ=_________．FORMTEXT标准答案：12知识点解析：对增广矩阵作初等行变换．有因此可见，r(A)=2，如果方程有解，必有=5，所以λ=12．12、设A为n阶方阵，｜A｜≠0，若A有特征值λ，则A*的特征值_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于｜A｜≠0，因此A可逆并且A-1=，即A*=｜A｜．A-1；如果Aα=λα，则A-1．Aα=λA-1α，所以A-1α=是A*的特征值．13、已知向量p1=，方阵A满足Ap1=p1，Ap2=0，Ap3=一p3，则A5=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由特征值和特征向量的定义和已知条件知，3阶方阵A有特征值1，0，一1，对应的特征向量分别为p1，p2，p3，方阵A有不同的特征值，故A相似于对角矩阵，令矩阵P=(p1，p2，p3)=，则有P-1AP=D，故A=PDP-1A5=(PDP-1)(PDP-1)…(PDP-1)=PD5P-1=PDP-1=A．14、设λ1=1，λ2=一1是实对称矩阵A的两个特征向量α1=所对应的特征值，则k=_________．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α2)=一4+8k一12=0，所以k=2．15、已知A=是正定矩阵，则a满足的条件是_________．FORMTEXT标准答案：a＞1知识点解析：A为正定矩阵，故A的顺序主子式均大于零，得△1=2＞0，△2=8＞0，△3=｜A｜==2×(4a一4)＞0，故a＞1．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算n+1阶行列式D=．标准答案：=(1+nx)．(1一x)n．知识点解析：暂无解析17、设方阵A、B满足AB+E=A2+B，且A=，求B．标准答案：由于AB—B=2一E，(A—E)B=(A—E)(A+E)，又｜A—E｜==一1≠0即A—E可逆，所以B=(A—E)-1[(A—E)(A+E)]=A+E=．知识点解析：暂无解析18、设A为n阶方阵(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴随矩阵A*的秩．标准答案：当r(A)=n时，A可逆，则A*也可逆，因此r(A*)=n；当r(A)=n一1时，｜A｜=0，因此AA*=｜A｜．E=0，即A*的n个列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基础解系仅含一个解向量，所以A*的列向量的秩≤1；又r(A)=n—1，A中存在一个不为0的n—1阶子式，故A*的n个列向量中至少有一个不为零向量，所以A*的列向量的秩≥1，由以上讨论可知，r(A*)=1．当r(A)＜n—1时，A的每一个n一1阶子式均为零，即A*是零矩阵，所以r(A*)=0．所以r(A*)=知识点解析：暂无解析19、设3维列向量α1，α2，α3，β1，β2，β3，满足：α1+α3+2β1—β2=0，3α1—α2+β1—β3=0，一α2+α3—β2+β3=0，且｜α1，α2，α3｜=4，求｜β1，β2，β3｜．标准答案：由条件可知而(α1+α3，3α1一α2，一α2+α3)=(α1，α2，α3)，(一2β1+β2，一β1+β3，β2一β3)=(β1，β2，β3)，即｜β1，β2，β3｜=一4｜α1，α2，α3｜=一16．知识点解析：暂无解析20、设α1，α2，α3是4元非齐线性方程组AX=B的三个解向量，并且r(A)=3，α1=，求方程组AX=B的通解．标准答案：由于r(A)=3，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有一个解向量，又A[2α1一(α2+α3)]=2Aα1—Aα2—Aα3=2B—B—B=0．因此2α1一(α1+α2)=是AX=0的一个非零解向量，是AX=0的基础解系，所以AX=B的通解为(k为任意实数)．知识点解析：暂无解析21、设三阶实对称矩阵A的特征值为1，2，3，ξ1=是分别属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并求A．标准答案：设属于3的特征向量为ξ3=(x1，x2，x3)T．由(ξ1，ξ3)=0，(ξ2，ξ3)=0又因为A的特征值为1，2，3，所以A～A=即P-1AP=A．于是A=PAP-1知识点解析：暂无解析22、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2+x32+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值．标准答案：根据假设条件知，变换后二次型F(x1，x2，x3)的矩阵分别为二次型f可以写成f=XTAX，f=YTBY．由于PTAP=B，且P为正交矩阵，故PT=PT，于是有PTAP=B，即A～B，所以有｜λI一A｜=｜λI—B｜，即由此可得方程λ3—3λ2+(2一a2一b2)λ+(a一b)2=λ3一3λ2+2λ，从而有方程组解之得a=b=0，为所求的常数．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设A满足条件A’A=E，求证：A的实特征向量所刘应的特征值的绝对值等于1．标准答案：设X是A的实特征向量，λ是对应的特征值，则AX=λX，因X’A’=λX’，于是X’A’AX=λX’λX=λ2X’X因A’A=E，(E为单位阵)，所以X’EX=λ2X’X，即X’X=λ2X’X，(λ2一1)X’X=0．又X≠0为实特征向量，从而X’X≠0，所以λ2=1即｜λ｜=1．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第2套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、行列式=()A、0B、21C、42D、一42标准答案：D知识点解析：行列式展开性质，=(一1)1+4×=一42．答案为D。2、设A、B为n阶方阵，且AB=O(零矩阵)，则()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D。3、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，则()A、α1线性相关B、α1，α2线性相关C、α1，α2，α3线性相关D、α1，α2，α4线性相关标准答案：C知识点解析：单个非零向量是线性无关的，∴选项A不对，而(α1，α2，α3)→因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以C是正确．答案为C4、方程组的一组基础解系由_________个向量组成．()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：该方程组的系数矩阵秩等于1，有3个未知数，因此基础解系由2个线性无关的向量组成．答案为B。5、实二次型f(x1，…，xn)=xTAx为正定的充要条件是()A、f的秩为nB、f的正惯性指数为nC、f的正惯性指数等于f的秩D、f的负惯性指数为n标准答案：B知识点解析：由正定的性质即得．答案为B。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、已知四阶行列式D的第一行元素依次为1，3，0，一2，第三行元素对应的代数余子式依次为8，k，一7，10，则k=_________．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：根据代数余子性质8+3k一20=0→k=4．7、设A=，则(A+B)2一(A2+AB+B2)=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：(A+B)2一(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A2+AB+B2)=A2+B2+AB+BA—A2一AB—B2=BA8、设A=，则(A*)-1=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于A-1=A*，所以A*=｜A｜．A-1，(A*)-1=(｜A｜．A-1)-1=A，又｜A｜=1，所以(A*)-1=A．9、已知α=(2，1，3)，β=(一1，3，6)则2α+3β=_________．FORMTEXT标准答案：(1，11，24)知识点解析：2α+3β=(4，2，6)+(一3，9，18)=(1，11，24)．10、当k为_________时，向量组α1=不能构成R3的一组基．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：∵α1，α2，α3不能构成R3的一组基∴α1，α2，α3线性相关∴=0，∴k=2．11、已知线性方程组有解，则常数a1，a2，a3，a4满足条件_________．FORMTEXT标准答案：一a1+a2—a3+a4=0知识点解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有由此可得一a1+a2—a3+a4=0时线性方程组有解，而一a1+a2—a3+a4≠0时线性方程组无解．12、已知三阶矩阵A的特征值分别为1、一1、2，则｜A一5E｜=_________．FORMTEXT标准答案：一72知识点解析：A的特征值分别为1、一1、2，则A一5E的特征值分别为一4，一6，一3．故｜A一5E｜=一72．13、设n阶方阵A与B相似且A2=A，则B2=_________．FORMTEXT标准答案：B知识点解析：由于A与B相似，存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP，所以B2=P-1AP．P-1AP=P-1A2P=P-1AP=B．14、设三阶矩阵A的特征值为1，4，6，对应的特征向量分别为p1=，则矩阵A=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据特征值和特征向量的定义，有→(Ap1，Ap2，Ap3)=(p1，4p2，6p3)，即A(p1，p2，p3)=(p1，4p2，6p3)，15、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定该二次型的正定性为_________．FORMTEXT标准答案：半正定二次型知识点解析：该题可利用特征值判定．由二次型对应的对称矩阵A=．可知A的特征值为0，2，2，故该二次型为半正定二次型．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算D=．标准答案：直接按对角线法则展开，并整理化简得4a2b2c2．知识点解析：暂无解析17、计算行列式．标准答案：=一100．(一54)=5400．知识点解析：暂无解析18、设A=，求(2E+A)-1(A2一4E)．标准答案：(2E+A)-1(A2一4E)=(2E+A)-1(A+2E)(A一2E)=A—2E=知识点解析：暂无解析19、已知向量组α1=，又β满足3(α1—β)+2(α3+β)一5(α2+β)，求β．标准答案：3α1一3β+2α3+2β=5α2+5β，6β=3α1一5α2+2α3，知识点解析：暂无解析20、已知α=(1，1，—1)T是A=的特征向量，求a，b．标准答案：设对应于特征向量α的特征值为λ，则有得a=2b=一3．知识点解析：暂无解析21、设矩阵A=的三个特征值分别为1，2，5，求正常数a的值，及可逆矩阵P，使P-1AP=．标准答案：由｜A｜=2(9一a2)=1×2×5，得a=2．解方程组(E—A)x=0得基础解系ξ1=一(0，一1，1)T；解方程组(2E—A)x=0得基础解系ξ2=(1，0，0)T；解方程组(5E—A)x=0得基础解系ξ3=(0，1，1)T；所求的可逆矩阵P可取为P=(ξ1，ξ2，ξ3)=．知识点解析：暂无解析22、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+4x32+2Tx1x2+2x1x3+2Tx2x3正定，求t的范围．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设n阶实对称矩阵A为正定矩阵，B为n阶实矩阵，证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是｜B｜≠0．标准答案：如果｜B｜≠0．则齐次线性方程组BX=0仅有零解，所以对一切非零向量X有Y=BX也是非零向量．而A正定，因此XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY＞0即BTAB正定．反之，如果BTAB正定，则｜BTAB｜＞0所以｜BT｜｜A｜．｜B｜=｜A｜．｜B｜T＞0，当然有｜B｜≠0．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第3套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设|A|=|aij|为n阶行列式，则a12a23a34…an-1,nan,1在行列式中符号为()A、正B、负C、(一1)nD、(一1)n-1标准答案：D知识点解析：τ(234…n1)=n一1，故符号为(一1)n-1．故选D．2、设n维向量，矩阵A=E一αTα，B=E+2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB=()A、OB、一EC、ED、E+αTα标准答案：C知识点解析：B=(E—αTα)(E+2αTα)=E+αTα一2αTααTα=E+αTα一2αT(ααT)α=E+αTα一2×=E，选C.3、设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有()A、|A|=|B|B、|A|≠|B|C、若|A|=0，则一定有|B|=0D、若|A|＞0，则一定有|B|＞0标准答案：C知识点解析：设B=PAQ，其中P，Q为可逆矩阵，于是当|A|=0时，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故选C．4、设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则()A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A标准答案：C知识点解析：AA*=|A|E两边取行列式，得|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故(A*)*=5、设3阶矩阵其中α，β，γ2，γ3均为3维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，则行列式|A-B|等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：选B．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设α=(1，1，0，一1)，β=(-2，1，0,0)，γ=(-1，一2，0，1)，则3α—β+5r=_______．FORMTEXT标准答案：(0，一8，0，2)知识点解析：3α—β+5γ=3(1，1，0，一1)一(一2，1，0，0)+5(一1，一2，0，1)=(0，一8，0，2)．7、n阶方阵A=(aii)的每一行元素之和同为a．则属于a的特征向量p为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：取因此a是矩阵A的一个特征值，则p是A属于特征值a的特征向量．8、已知矩阵则为A的特征向量的是_______．FORMTEXT标准答案：(一1，1)T知识点解析：矩阵A的特征值可求出为2，则将λ=2代入(λE一A)x=0中得故x1=一x2，令x2=1则x1=一1，故特征向量为(一1，1)T．9、若可逆矩阵A的特征值λ=2，则(A2)-1必有特征值________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于λ=2是A的特征值，故λ=4是A2特征值，所以是(A2)-1的特征值．10、设矩阵相似，则x=_______，y=_______．FORMTEXT标准答案：-1，1知识点解析：因为|A|=x,|B|=一y，所以根据|A|=|B|得到一y=x，再根据tr(A)=tr(B)，即2+x=y，得x=一1，y=1．11、的根为_______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：f(x)=3x+6+12—27+4x+2=7x一7=0,x=1．12、设则(A+B)2-(A2+AB+B2)=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：(A+B)2一(A2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A2+AB+B2)=A2+B2+AB+BA—A2一AB—B2=BA=13、若向量组线性相关，则t=_______．FORMTEXT标准答案：6知识点解析：由于α1，α2，α3线性相关，故行列式|α1，α2，α3|==2t—12=0，故t=6．14、设A为n阶方阵且|A|≠0，则A*可逆并且(A*)-1=______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因|A|≠0，故A可逆且故(A*)-1=(|A|A-1)-1=15、二次型f(x1，x2，x3，x4)=2x1x2一ax3x4的秩为2，则a=_____．FORMTEXT标准答案：0知识点解析：二次型的矩阵且r(A)=2，故a=0．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、已知D=．求A21+A22+A23+A24．标准答案：A21+A22+A23+A24=知识点解析：暂无解析17、设且已知AX—A=3X，求矩阵X..标准答案：AX一3X=A,(A一3E)X=A，即X=(A一3E)-1A，而知识点解析：暂无解析18、求解矩阵等式AX=B，其中标准答案：由于．故A可逆，知识点解析：暂无解析19、将向量组标准正交化．标准答案：再将β1，β2，β3单位化得γ1，γ2，γ3即为所求的标准正交基．知识点解析：暂无解析20、用初等行变换求解线性方程组标准答案：对增广矩阵进行初等行变换(A，β)=所以原方程组有解，同解方程组为(x1是自由未知量)，得方程组的一个特解为原方程组导出组的同解方程组为得导出组的基础解系为所以(k为任意常数)．知识点解析：暂无解析21、设矩阵，求一个正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵．标准答案：矩阵A的特征多项式为得A的特征值λ1=5，λ2=4，λ3=一2．对于特征值λ1=5，求解方程组(5E—A)x=0，5E—A=得属于特征值λ1=5的一个特征向量e1=(1，0，0)T．同理，可得属于λ2=4，λ3=一2的特征向量分别为η2=(0，1，1)T，η3=(0，一1，1)T，其单位特征向量分别为故所求正交矩阵可取为知识点解析：暂无解析22、考虑矩阵(1)当a为何值时，矩阵A能对角化?(2)求可逆矩阵P和对角矩阵A，使得P-1AP=A．标准答案：所以A的特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1．当λ2=λ3=1时，考虑要使A可对角化，必须使r(E—A)=1，即a=1．(2)当λ1=-1时，解方程组(E+A)x=0，得属于特征值λ1=一1的一个特征向量当λ2=λ3=1时，解方程组(E—A)x=0，属于特征值λ2=λ3=1的特征向量知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设A是n阶方阵，且满足A2一5A+E=0，利用定义证明：A一3E可逆．标准答案：由于A2一5A+E=0，所以A2—5A=一E，故(A一3E)(A一2E)=一E+6E=5E，所以(A一3E)=E，所以A一3E可逆．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第4套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设行列式=0，则k的值为()A、一3或2B、2C、0D、一2或3标准答案：D知识点解析：=k2一2一k一4=k2一k一6一(k+2)(k一3)=0，所以k=一2或k=3．2、设矩阵A，B，C满足AC=CB，且C为m×n矩阵，则A和B分别是()A、n×m与m×n矩阵B、n×n与m×m矩阵C、m×m与n×n矩阵D、m×n与n×m矩阵标准答案：C知识点解析：根据矩阵乘法的定义，A的列数等于C的行数，A的行数等于C的行数，因此A为m×m矩阵；同理B的行数等于C的列数，B的列数等于C的列数，因此B为n×n矩阵．3、设A=(aij)是s×r矩阵，B=(bij)是r×s矩阵，如果BA=Ir，则必有()A、r＞sB、r≤sC、r≥sD、r＜s标准答案：B知识点解析：由于r=r(Ir)=r(BA)≤min{r(B),r(A)}，故得r(B)≥r，且r(A)≥r，故r≤s．4、设A为n阶对称矩阵，则下列矩阵中不是对称矩阵的是()A、A+ATB、A-ATC、ATAD、AAT标准答案：B知识点解析：若A为对称矩阵，则A=AT，选项B，(A—AT)T=AT一A，故不是对称矩阵．5、以下结论中不正确的是()A、二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22；是正定二次型B、若存在可逆实矩阵C，使A=C’C，则A是正定矩阵C、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正数D、n元实二次型正定的充分必要条件是f的正惯性指数为n标准答案：A知识点解析：f(x1，x2，x3)=x12+x22，对应的矩阵对任何实列向量x，都有xTAx≥0，故f为半正定二次型，答案为A.二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、在齐次线性方程组Am×nx=0中，若秩(A)=k且η1，η2，…，ηr是它的一个基础解系，则r=________；当k=________时，此方程组只有零解．FORMTEXT标准答案：n一k，n知识点解析：方程组Am×nx=0的未知量个数为n，故r=n一秩(A)=n一k．方程组只有零解，也即r=0，故当k=n时，方程组只有零解．7、设α1=(2，一1，0，5)，α2=(一4，一2，3，0)，α3=(一1，0，1，k)，α4=(一1，0，2，1)，则k=_______时，α1，α2，α3，α4线性相关．FORMTEXT标准答案：知识点解析：只需满足8、若n元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r，则当________时，方程组有唯一解；当_____时，方程组有无穷多解．FORMTEXT标准答案：r=n，r＜n知识点解析：当r=n时，方程组有唯一解；当r＜n时，方程组有无穷多解．9、设α1=(2，一1，3，0)，α2=(1，2，0，一2)，α3=(0，一5，3，4)，α4=(一1，3，t，0)，则_______时，α1，α2，α3，α4线性相关．FORMTEXT标准答案：t∈R知识点解析：同上只需满足即t为任意实数都有α1，α2，α3，α4线性相关．10、齐次线性方程组只有零解，则k应满足的条件是______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：方程组只有零解，说明系数矩阵满秩．11、已知α=(3，5，7，9)，β=(一1，5，2，0)，x满足2α+3x=β，则x=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：12、设A为4阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组A*x=0(A*是A的伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为________．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：秩(A)=2，则秩(A*)=0，即A*=O．故任意4维向量都是A*x=0的解，即它的基础解系所包含的线性无关的解向量的个数为4．13、当k=______时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，一3，2)，α2=(2，一1，1)线性表出．FORMTEXT标准答案：一8知识点解析：α1，α2线性无关，故只需得k=一8．14、设则Ax=0的通解为_________．FORMTEXT标准答案：x=k(1，1，1)T知识点解析：则基础解系ξ1=(1，1，1)T，通解为x=kξ1，其中k为任意常数．15、已知α1=(1，1，2，2，1)，α2=(0，2，1，5，一1)，α3=(2，0，3，一1，3)，α4=(1，1，0，4，一1)，则秩(α1T，α2T，α3T，α4T)=________．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、设A为n阶实对称矩阵，且A3一3A2+5A-3E=0．证明：A正定．标准答案：证明：设λ是A的任一特征值，对应特征向量为x≠0，即Ax=λx，则有(A3—3A2+5A一3E)x=(λ3—3λ2+5λ一3)x=0，也即λ满足λ3-3λ2+5λ一3=(λ一1)(λ2一2λ+3)=0，解得λ=1或因为A为实对称矩阵，其特征值为实数，故只有λ=1，即A的全部特征值就是λ=1＞0，所以A为正定矩阵．知识点解析：暂无解析17、设λ=1是矩阵的特征值，求：(1)t的值；(2)对于λ=1的所有特征向量．标准答案：=(λ一1)(λ2+4λ+3—2t)，即t为任何值时，矩阵都有特征值1．取x3为自由未知量，并令x3=1，得ε=(0，2，1)T．即属于λ=1的全部特征向量为kε=k(0，2，1)T，k任取但不为0．知识点解析：暂无解析18、设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵，已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵．标准答案：证明：因为BT=(λE+ATA)T=λE+ATA=B，所以B是n阶实对称矩阵，构造二次型xTBx，那么xTBx=xT(λE+ATA)x=λxTx+xTATAx=λxTx+(Ax)T(Ax)．≠0，恒有xTx＞0，(Ax)T(Ax)≥0，因此，λ＞0时，≠0，有xTBx=λxTx+(Ax)T(Ax)＞0．二次型为正定型，故B为正定矩阵．知识点解析：暂无解析19、设矩阵A与B相似，其中(1)求x和y的值；(2)求可逆矩阵P，使得p-1AP=B．标准答案：(1)A的特征值为一1，1，x；B的特征值为y，1，1．A～B，故特征值相同，相比较得y=一1，x=1．令λ=1，解(λE一A)x=0得ε1=(-1，1，0)T，ε2=(1，0，1)T。再令λ=一1，解(λE一A)x=0得ε3=(1，0，0)T．则有P-1AP=B．知识点解析：暂无解析20、设有n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数，试问：当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型?标准答案：由已知条件知，对任意的x1，x2，…，xn，恒有f(x1，x2，…，xn)≥0，其中等号成立的充分必要条件是根据正定的定义，只要x≠0，恒有xTAx＞0，则xTAx是正定二次型，为此，只要方程组①仅有零解，就必有当x≠0时，x1+a1x2，x2+a2x3，…不全为0，从而f(x1，x2，…，xn)＞0，亦即f是正定二次型．而方程组①中只有零解的充分必要条件是系数行列式即当a1a2…an≠(一1)n时，二次型f(x1，x2，…，xn)为正定二次型．知识点解析：暂无解析21、设求A100．标准答案：可求得A的特征值λ1=一1，λ2=1，λ3=2，对应特征向量分别为(0，0，1)T，(1，0，一1)T，令知识点解析：暂无解析22、设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)m×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=(1)记x=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并说明二次型f(x)的矩阵为A-1；(2)二次型g(x)=xTAx与f(x)的规范形是否相同?说明理由．标准答案：因为r(A)=n，知A可逆，又因A是实对称的，有(A-1)T=(AT)-1=A-1，可知是实对称矩阵，于是A*是对称的，故二次型f(x)的矩阵是A-1．(2)经坐标变换x=A-1y，有g(x)=xTAx=(A-1y)TA(A-1y)=yT(A-1)Ty=yTA-1y=f(y)．即g(x)与f(x)有相同的规范形．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1也线性无关.标准答案：设k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0，则有(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0．因为α1，α2，α3线性无关，故有=2≠0，所以，k1=k2=k3=0，所以，向量组α1+α2，α2+α3，α3+α1也线性无关．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第5套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵(m≠n)，则下列运算结果是n阶方阵的是()A、A.BB、AT.BTC、B.ATD、(A+B)T标准答案：B知识点解析：由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知AT.BT是n阶方阵．答案为B.2、设A是3阶反对称矩阵，即AT=一A，则｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1标准答案：A知识点解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案为A.3、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则()A、AA*=｜A｜B、AA*=｜A｜*C、A*A=｜A｜D、A*A=｜A｜*I标准答案：C知识点解析：A.A*=｜A｜I．答案为C.4、若齐次线性方程组只有零解，则λ应为()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1标准答案：B知识点解析：齐次线性方程组Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1时题中齐次线性方程组只有零解．答案为B.5、二次型f=xTAx经过满秩线性变换x=Py可化为二次型yTBy，则矩阵A与B()A、一定合同B、一定相似C、即相似又合同D、即不相似也不合同标准答案：A知识点解析：xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即B=pTAp，所以矩阵A与B一定合同．只有当P是正交矩阵时，由于PT=P-1，所以A与B既相似又合同．答案为A.二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、行列式.FORMTEXT标准答案：-24知识点解析：7、当k=_______时，仅有零解．FORMTEXT标准答案：知识点解析：仅有全解8、设则(A一2E)-1=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：故9、齐次线性方程组有非零解，则a=_______。FORMTEXT标准答案：8知识点解析：齐次线性方程组有非零解即a=8．10、向量β=_______在基下的坐标为(一1，0，1)FORMTEXT标准答案：知识点解析：11、若线性方程组有解，则λ=_______．FORMTEXT标准答案：12知识点解析：对增广矩阵作初等行变换，有因此可见，r(A)=2，如果方程有解，必有，因此，所以λ=12．12、设A为n阶方阵，｜A｜≠0，若A有特征值λ，则A*的特征值_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于｜A｜≠0，因此A可逆并且即A*=｜A｜.A-1；如果Aα=λα，则A-1.Aα=λA-1α，所以．所以是A*的特征值．13、已知向量．方阵A满足Ap1=p1，Ap2=0，Ap3=一p3，则A5=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由特征值和特征向量的定义和已知条件知，3阶方阵A有特征值1，0，一1，对应的特征向量分别为P1，P2，P3，方阵A有不同的特征值，故A相似于对角矩阵，令矩阵则有P-1AP=D，故A=PDP-1A5=(PDP-1)(PDP-1)…(PDP-1)=PD5P-114、设λ1=1，λ2=一1是实对称矩阵A的两个特征向量α1=所对应的特征值，则k=_______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α2)=一4+8k一12=0，所以k=2．15、已知是正定矩阵，则a满足的条件是_______．FORMTEXT标准答案：a＞1知识点解析：3A为正定矩阵，故A的顺序主子式均大于零，得△1=2＞0，△2=8＞0，故a＞1．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)是二次多项式，已知f(1)=1，f(一1)=9，f(2)=一3，求出f(3)．标准答案：设f(x)=ax2+bx+c，则有解得a=0，b=-4，c=5，从而f(x)=一4x+5，f(3)=一7．知识点解析：暂无解析18、设A、B为两个三阶矩阵，且｜A｜=一1，｜B｜=5．求｜2(ATB-1)2｜．标准答案：｜2(ATB-1)2｜=23｜(ATB-1)2｜=23｜(ATB-1)｜2=23｜A｜2｜B｜-2=知识点解析：暂无解析19、设向量α，β，γ满足5(α一γ)+3(β+γ)=0，其中求α+β+γ．标准答案：由于5α一5γ+3β+3γ=0，所以所以知识点解析：暂无解析20、设向量都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A2β．标准答案：因此r(A)=3。知识点解析：暂无解析21、将线性无关向量组,化为单位正交向量组．标准答案：用施密特正交化方法，有则β1，β2，β3是正交向量组，再单位化，有则γ1，γ2，γ3是单位正交向量组．知识点解析：暂无解析22、用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32一2x1x2一2x1x3一2x2x3化为标准型并写出正交变换．标准答案：首先写出二次型的系数矩阵为A的特征多项式｜λE—A｜=λ(λ一3)2，所以A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0．对于λ1=λ2=3解齐次线性方程组(3E-A)X=0，求出基础解系α1=将α1，α2标准正交化得β1=,β2=对于λ3=0，解齐次线性方程组(-A)X=0，求出基础解系将α3标准化得令，则P为正交矩阵，经过正交变换X=PY，二次型化为标准型f=3y32+3y32．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设n阶实对称矩阵A为正定矩阵．B为n阶实矩阵．证明：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是｜B｜≠0．标准答案：如果｜B｜≠0，则齐次线性方程组BX=0仅有零解，所以对一切非零向量X有Y=BX也是非零向量，而A正定，因此XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY＞0即BTAB正定．反之，如果BTAB正定，则｜BTAB｜＞0所以｜BT｜｜A｜．｜B｜=｜A｜.｜B｜2＞0，当然有｜B｜≠0．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第6套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A、B为n阶可逆矩阵，下列选项等式不成立的是A、｜AB｜＝｜BA｜B、(AB)T＝BTATC、(AB)-1＝B-1A-1D、(A+B)-1＝A-1＋B-1标准答案：D知识点解析：因为｜AB｜＝｜A｜·｜B｜，所以｜AB｜＝｜BA｜＝｜A｜·｜B｜，故A成立．而B、C也都符合矩阵运算的规律，故B、c成立．因此D不成立．2、设A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，则()A、AA*=｜A｜B、AA*=｜A｜*C、A*A=｜A｜D、A*A=｜A｜*I标准答案：C知识点解析：A.A*=｜A｜I．答案为C.3、设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有()A、|A|=|B|B、|A|≠|B|C、若|A|=0，则一定有|B|=0D、若|A|＞0，则一定有|B|＞0标准答案：C知识点解析：设B=PAQ，其中P，Q为可逆矩阵，于是当|A|=0时，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故选C．4、设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则()A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A标准答案：C知识点解析：AA*=|A|E两边取行列式，得|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故(A*)*=5、设A、B为n阶方阵，且AB=O(零矩阵)，则()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D。6、设A为四阶方阵，若＝1，则｜2A－1｜＝A、－1B、2C、1/2D、1标准答案：D知识点解析：7、已知三阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为1，2，4，则｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7标准答案：A知识点解析：相似矩阵必有相同的特征值，因A～B，则A与B有相同的特征值，即B的特征值为1，2，4，则｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故选A．8、实二次型f(x1，…，xn)=xTAx为正定的充要条件是()A、f的秩为nB、f的正惯性指数为nC、f的正惯性指数等于f的秩D、f的负惯性指数为n标准答案：B知识点解析：由正定的性质即得．答案为B。9、设ε1，ε2，ε3是Ax=0的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成()A、ε1，ε2，ε3的一个等价向量组B、ε1，ε2，ε3的一个等秩向量组C、ε1，ε1+ε2，ε1+ε2+ε3D、ε1—ε2，ε2一ε3，ε3—ε1标准答案：C知识点解析：A错误，这是因为等价向量组所含向量的个数不一定相同，如ε1，ε2，ε3，ε1+ε2也与ε1，ε2，ε3等价，但它不是基础解系．B也错误，等价自然等秩．C正确，一方面它与ε1，ε2，ε3等价，且另一方面个数也为3．D错误，ε1一ε2，ε2一ε3，ε3一ε1线性相关．10、设λ1与λ2是矩阵A的两个不同的特征值，ε，η是A的分别属于λ1，λ2的特征向量，则()A、存在常数k1≠0，k2≠0，使k1ε+k2η是A的特征向量B、存在唯一的一组常数k1≠0，k2≠0，k1g+k2η是A的特征向量C、对任意k1≠0，k2≠0，k1ε+k2η，是A的特征向量D、当k1≠0，k2≠0时，k1ε+k2η不可能是A的特征向量标准答案：D知识点解析：假设k1ε+k2η是A的属于λ的特征向量，即A(k1ε+k2η)=λ(k1ε+k2η)，即(k1λ1ε+k2λ2η)=λk1ε+λk2η，即(k1λ1—k1λ)ε+(k2λ2—k2λ)η=0，而ε与η分属于A的两个不同特征值的特征向量，又k1，k2都不为0，得λ=λ1=λ2与λ1≠λ2矛盾．故当k1≠0，k2≠0时，k1ε+k2η，不可能是A的特征向量，选D．11、n元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是()A、方程个数m＜nB、方程个数m＞nC、方程个数m=nD、秩(A)＜n标准答案：D知识点解析：对于线性方程组Ax=0来说，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分条件)；同样，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要条件)．答案为D。12、若可逆矩阵A有特征值λ=2，则(λ2)-1必有特征值()A、4B、C、D、标准答案：B知识点解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案为B。13、若n阶方阵A满足A2一2A一3I=0，且矩阵A可逆则A-1=()A、A-2IB、2I-AC、D、标准答案：D知识点解析：由于A(A一21)=3I，因此所以A-1=．答案为D.14、设α1，α2，α3，线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不可由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k必有()A、α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关B、α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关C、α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关D、α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关标准答案：D知识点解析：由于β2不可由α1．α2，α3线性表示，说明α1，α2，α3．β2线性无关．设k1α1+k2α2+k3α3+k4(kβ1+β2)=0，由已知可知β1=m1α1+m2α2+m3α3代入上式整理得(k1+k4m1k)α1+(k2+k4m2k)α2+(k3+k4m3k)α3+k4β2=0．由β2不可由α1，α2，α3线性表示得k1+k4m1k=0，k2+k4m2k=0，k3+k4m3k=0，k4=0,显然k1=k2=k3=k4=0．故选项D成立，至于B，C选项，当k=0时线性相关，当k≠0时线性无关．15、没A是n阶方阵，且｜A｜=5，则｜(5AT)-1｜=()A、5n+1B、5n—1C、5-n—1D、5-n标准答案：C知识点解析：16、下列命题中错误的是A、一个非零向量线性无关B、任意一个含零向量的向量组线性相关C、由4个三维向量组成的向量组线性相关D、由3个四维向量组成的向量组线性无关标准答案：D知识点解析：很显然A、B、C正确，举例法．设α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，显然α1，α2，α3线性相关，故D项错误．17、设三阶实对称矩阵A的特征值分别为－1，－2，0，则A、A正定B、A负定C、A半正定D、A半负定标准答案：D知识点解析：正定矩阵特征值全大于0．负定矩阵特征值全小于0．半正定矩阵特征值中含0，而其余全大于0．半负定矩阵特征值中含0，而其余全小于0．18、设A，B，A+B以及A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A(A+B)-1BC、(A+B)-1D、A+B标准答案：B知识点解析：一一代入，可发现只有选项B满足条件．因(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=E(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1B(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B=B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1.B=E．19、设A为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，若A2=E，则一定有()A、r(A-E)=0B、r(A+E)=0C、r(A)=nD、r(A)＜n标准答案：C知识点解析：由(A—E)(A+E)=O得A2=E，由于A2=E，故|A2|=|A|2=1，|A|≠0，A可逆，所以r(A)=n．20、设A的特征值为1，一1，向量α是属于1的特征向量，β是属于一1的特征向量，则下列论断正确的是()A、α与β线性相关B、α+β是A的特征向量C、α与β必正交D、α和β线性无关标准答案：D知识点解析：属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择D．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、若A＝，则A－1＝______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：22、已知二次型f(x)=xTAx的矩阵为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为二次型f(x1，x2，x3)=x12+6x1x3+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩阵的定义知矩阵为23、设A＝，则A有特征值______；若设B＝，则B有特征值．FORMTEXT标准答案：1，2，3；1，2，3知识点解析：暂无解析24、已知x1＝(1，0，－1)T是三元非齐次线性方程组Ax＝b的一个解向量，又知x2＝(3，4，5)T是其对应齐次线性方程组Ax=0的一个解向量，则对应三元非齐次线性方程组Ax=b有一个非零解向量ξ＝______．FORMTEXT标准答案：(4，4，4)T知识点解析：由非齐次线性方程组解的性质，得ξ＝x1＋x2＝(4，4，4)T．25、设A、B均为3阶矩阵，｜A｜=3，｜B｜=一2，则｜一2A1．B-1｜=_________。FORMTEXT标准答案：12知识点解析：｜一2ATB-1｜=(一2)．｜AT｜．｜B-1｜=一8×｜A｜×=12．26、n阶方阵A=(aii)的每一行元素之和同为a．则属于a的特征向量p为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：取因此a是矩阵A的一个特征值，则p是A属于特征值a的特征向量．27、已知是R3的一组基，则β在这里基下的坐标为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：以α1,α2,α3，β为列向量的矩阵作初等行变换，有因此即β在α1,α2,α3下的坐标为28、设矩阵为正定矩阵，则a的最大取值范围是_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：矩阵A正定，因此顺序主子式大于0，所以a的最大取值范围是29、设向量线性相关，则a=_______．FORMTEXT标准答案：一10知识点解析：α与β线性相关，因此对应分量成比例，所以，所以a=一10．30、设3阶方阵A=(α1，α2，α3)，其中αi(i=1，2，3)为A的列向量，若|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=8，则|A|=________．FORMTEXT标准答案：8知识点解析：|B|=|α1+2α2，α2+3α3，α3|=|α1+2α2，α2，α3|=|α1，α2，α3|=|A|=8．三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、计算标准答案：知识点解析：暂无解析32、设矩阵并且AX=2X+B，求矩阵X．标准答案：由于(A一2E)x=B，所以知识点解析：暂无解析33、设二次型f(x1，x2，x3)＝x12－2x22－2x32－4x1x2＋4x1x3＋8x2x3，用正交变换法x＝Py，将二次型化为标准形．标准答案：知识点解析：暂无解析34、设AB=A+2B，求B.标准答案：由AB=A+2B可得(A一2E)B=A，故知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和．标准答案：知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第7套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设则α3=_______时，有α1,α2,α3为R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T标准答案：D知识点解析：首先已知α1,α2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(α1,α2,α3)，则α1,α2,α3线性无关｜A｜≠0由于A的左上角2阶主子式(记为｜A11｜)不等于0，故选即可．此时答案为D2、下列矩形阵列不是初等方阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵．注意：只能是一次变换，而D项是经过两次初等变换得到的，故不是初等方阵，故选D．3、设A是n阶方阵，已知A2一2A—2I=O，则(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、标准答案：A知识点解析：把已知关系式A2—2A—2I=O写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的逆方阵．由题设关系式A2一2A一2I=O，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I—A)=I，故(A+I)-1=3I—A．答案为A。4、设A是3阶反对称矩阵，即AT=一A，则｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1标准答案：A知识点解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案为A.5、设A、B为n阶方阵，且AB=O(零矩阵)，则()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D。6、二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12＋2x1x2－x22＋2x2x3＋x32＋x42的秩为A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：故r(A)＝4，则二次型f的秩也为4．7、已知二阶行列式A、7B、－7C、1D、-1标准答案：B知识点解析：8、若α1，α2，α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为()A、α1一α2，α2一α3，α3—α1B、α1，α2，α3的任意三个线性组合C、α1，α1一α2，α1—α2—α3D、α1，2α1，3α1标准答案：C知识点解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与α1，α2，α3等价．答案为C。9、向量组α1，α2，…，αs，(s≥2)的秩为零的充要条件是A、α1，α2，…，αs全是零向量B、α1，α2，…，αs中没有线性相关的部分组C、α1，α2，…，αs中可以有非零向量D、α1，α2，…，αs可以全是非零向量标准答案：A知识点解析：只有零矩阵的秩才是0，故此向量组应全是零向量，因此A项正确．10、设则A的属于特征值O的特征向量是()A、(1，1，2)TB、(1，2，3)TC、(1，0，1)TD、(1，1，1)T标准答案：B知识点解析：用定义Ax=λx来判断，这时λ=0，故计算Ax的值，使Ax=0的向量x就是A的属于特征值0的特征向量．当x=(1，2，3)T时，有Ax=0．答案为B。11、已知A、B为n阶方阵，且满足A2＝B2，则必有A、｜A｜＝｜B｜B、｜A｜2＝｜B｜2C、A＝BD、﹣A=B标准答案：B知识点解析：由A2＝B2，得｜A2｜＝｜B2｜，即｜A｜2﹦｜B｜2，故B项正确．12、n元线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是()A、方程个数m＜nB、方程个数m＞nC、方程个数m=nD、秩(A)＜n标准答案：D知识点解析：对于线性方程组Ax=0来说，若r(A)＜n→Ax=0有非零解(充分条件)；同样，若Ax=0有非零解→r(A)＜n(必要条件)．答案为D。13、如果A，B是同阶对称矩阵，则A.B()A、是对称矩阵B、是非对称矩阵C、是反对称矩阵D、不一定是对称矩阵标准答案：D知识点解析：设A与B均为对称矩阵但A.B=不是对称矩阵．答案选D。14、若可逆矩阵A有特征值λ=2，则(λ2)-1必有特征值()A、4B、C、D、标准答案：B知识点解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案为B。15、设二阶矩阵A＝，则A*＝A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由二阶矩阵的伴随矩阵的特点知，若A＝，则A*＝，即主对角线元素互换，次对角线元素乘以(－1)．故A＝的伴随矩阵A*＝16、已知向量组α1＝(1，－1，1)T，α2＝(－1，1，1)T，α3＝(1，1，－1)T，此向量组的秩为A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：由A＝(α1，α2，α3)，则r(A)＝3，故此向量组的秩为3．17、以下各线性方程组中，解空间的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程组是()A、B、C、x1一x2—2x3=0D、x1+x2+2x4=0标准答案：C知识点解析：因5一r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能为C或D。因一眼就能看出，A、B中两方程的系数都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代人验证：因α1满足C，不满足D，故选C。答案为C。18、设m×n矩阵A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ标准答案：D知识点解析：基础解系必须是线性无关的向量组，四个选项中只有D中三个向量线性无关．答案为D。19、设矩阵，则()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3标准答案：C知识点解析：答案为C.20、设m×n矩阵A的秩r(A)=n一3(n＞3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为()A、α，β，α+βB、β，γ，γ一βC、α一β，β一γ，γ一αD、α，α+β，α+β+γ标准答案：D知识点解析：基础解系必须是线性无关的向量组，四个选项中只有D中三个向量线性无关，答案为D二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、设二次型f(x1，x2，x3)=x12＋x324x132x23，则二次型的秩是______．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：由二次型的矩阵A＝，得r(A)＝3，故二次型的秩为3．22、当k=______时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，一3，2)，α2=(2，一1，1)线性表出．FORMTEXT标准答案：一8知识点解析：α1，α2线性无关，故只需得k=一8．23、若A2=E，则A的特征值只能是__________．FORMTEXT标准答案：1或一1知识点解析：由A2=E得A2一E=0，(A—E)(A+E)=0｜(A—E)｜｜(A+E)｜=0故｜A—E｜=0或｜(A+E)｜=｜(一A—E)｜=0故必有λ一1=0或一λ一1=0即λ=1或一1．24、若矩阵相似，则x＝_______．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：因相似矩阵有相同的特征值，而由题知A的特征值为1，2，则B的特征值也为1，2，故tr(B)＝1＋2＝－1＋x，得x＝4．25、设二阶矩阵A＝，则｜2A2｜＝_______．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：26、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定该二次型的正定性为________．FORMTEXT标准答案：半正定二次型知识点解析：该题可利用特征值判定．由二次型对应的对称矩阵可知A的特征值为0，2，2，故该二次型为半正定二次型．27、设，则A-1=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：｜A｜=1利用公式由知故28、设3阶方阵的特征值为1，一1，2，则｜A一5E｜=________．FORMTEXT标准答案：一72知识点解析：如果λ0是A的特征值，则存在非零向量α使Aα=λ0α，因此(A一5E)α=Aα一5α=(λ0—5)α，所以λ0一5是A一5E的特征值，由此可知A一5E的三个特征值为1—5=一4，一1—5=一6，2—5=一3，所以｜A一5E｜=(一4)×(一6)×(一3)=一72．29、已知4阶方阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5，则｜B—E｜=_______。FORMTEXT标准答案：24知识点解析：由于B与A相似，故有相同的特征值，并且存在可逆矩阵P，使所以｜B—E｜=｜P-1｜—E｜.｜B－P｜=｜P-1BP－P-1.P｜=30、设，γ=一2α-β，则α+β一3γ=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、判断向量组α1＝(1，3，4，－2)T，α2＝(3，－1，2，0)T，α3＝(4，－3，1，1)T，α4＝(2，1，3，－1)T是否为R4的基，若不是，求出R4的基．标准答案：向量空间的一个基就是向量组的一个极大无关组．，故有一个极大无关组为α1，α2(极大无关组不唯一)，因此α1，α2，α3，α4不是R4的基，而α1，α2才是R4的基．知识点解析：暂无解析32、求齐次线性方程组的基础解系及通解．标准答案：知识点解析：暂无解析33、已知A＝，(1)求A的相似标准形，即P－1AP＝A；(2)求A的正交相似标准形即QTAQ＝A，且QT＝Q－1．标准答案：知识点解析：暂无解析34、已知向量组是R2的一组基，求向量在这组基下的坐标．标准答案：以α1,α2,α3，α为列向量的矩阵A作初等行变换，有因此α=2α1+3α2一α3，所以α在基α1,α2,α3下的坐标为(2，3，-1)．知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、设n阶方阵A的秩满足r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(单位方阵)，证明：一1是A的一个特征值．标准答案：由于A≠I，所以A—I不是零矩阵，从而r(A—I)≥1，因此由已知条件r(A+I)≤n一1，A+I是奇异矩阵，｜A+I｜=0，所以齐次线性方程组(A+I)X=0有非零解α．即存在非零向量α使得(A+I)α=0．Aα=0，Aα=一α，所以λ=一1是A的一个特征值．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第8套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设α1=，则α3=_________时，有α1，α2，α3为R3的基．()A、(2，1，2)TB、(1，0，1)TC、(0，1，0)TD、(0，0，1)T标准答案：D知识点解析：首先已知α1，α2线性无关(其坐标不成比例)，又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关→｜A｜≠0由于A的左上角2阶主子式(记为｜A11｜)不等于0，故选α3=即可。(此时｜A｜*==｜A11｜．1≠0)．答案为D。2、设A是n阶方阵，已知A2一2A一2I=0，则(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、标准答案：A知识点解析：把已知关系式A2-2A-2I=0写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的逆方阵．由题设关系式A2一2A一21=0，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I一A)=I，故(A+I)-1=3I.A答案为A.3、设A是3阶反对称矩阵，即AT=一A，则｜A｜=()A、0B、1C、±1D、0或1标准答案：A知识点解析：由于｜A｜=｜A｜=｜—A｜=(一1)3｜A｜=一｜A｜，所以｜A｜=0.答案为A.4、设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是矩阵A的伴随矩阵，则()A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A标准答案：C知识点解析：AA*=|A|E两边取行列式，得|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．又(A*)*A*=|A*|E=|A|n-1E，故(A*)*=5、行列式=()A、0B、21C、42D、一42标准答案：D知识点解析：行列式展开性质，=(一1)1+4×=一42．答案为D。6、设A、B为n阶方阵，且AB=O(零矩阵)，则()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D。7、行列式()A、0B、21C、42D、一42标准答案：D知识点解析：行列式展开性质，,答案为D8、方程组的一组基础解系由_________个向量组成．()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：该方程组的系数矩阵秩等于1，有3个未知数，因此基础解系由2个线性无关的向量组成．答案为B。9、已知二阶行列式A、7B、－7C、1D、-1标准答案：B知识点解析：10、零为矩阵A的特征值是A不可逆的()A、必要条件B、充分条件C、非充分、非必要条件D、充要条件标准答案：D知识点解析：零为矩阵A的特征值,|0×E—A|=|-A|=(一1)n|A|=0,|A|=0推得A不可逆．故选D.11、设A为m×n矩阵，秩为r，C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，秩(B)=r1，则()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1与C有关标准答案：C知识点解析：∵C为可逆阵，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案为C。12、设A为n(n≥2)阶矩阵，且A2＝E，则必有A、A的特征值均为1B、A的秩等于nC、A的逆矩阵等于ED、A的行列式等于1标准答案：B知识点解析：A2E(A－E)(A＋E)＝OA＝E或A＝－Er(A)＝n，｜A｜＝±1．13、设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT．BT是矩阵．()A、上三角B、下三角C、对角形D、即非三角也非下三角标准答案：B知识点解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT．BT也是下三角阵．答案为B。14、齐次线性方程组的解的个数为()A、有惟一的零解B、有无穷多个解C、无解D、不确定标准答案：B知识点解析：齐次线性方程系数矩阵A的秩为：r(A)=3＜4，故齐次线性方程组有无穷多个解．答案为B。15、下列命题中错误的是A、一个非零向量线性无关B、任意一个含零向量的向量组线性相关C、由4个三维向量组成的向量组线性相关D、由3个四维向量组成的向量组线性无关标准答案：D知识点解析：很显然A、B、C正确，举例法．设α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，显然α1，α2，α3线性相关，故D项错误．16、设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT.BT是矩阵．()A、上三角B、下三角C、对角形D、即非上三角也非下三角标准答案：B知识点解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT.BT也是下三角阵．答案为B17、λ1，λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当______时，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k