全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷2（共249题）

全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷2（共9套）（共249题）全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第1套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有()A、A=BB、A=一BC、｜A｜=｜B｜D、｜A｜2=｜B｜2标准答案：D知识点解析：∵A2=B2A2=AA=BB=B2，∴｜A2｜=｜B2｜，｜AA｜=｜BB｜．∵｜AA｜=｜A｜｜A｜=｜A｜2，｜BB｜=｜B｜｜B｜=｜B｜2，∴｜A｜2=｜B｜2．答案为D。2、设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：∵A是2阶可逆矩阵，∴A的秩为2，由于两矩阵等价则矩阵的秩相等，由题知D答案中矩阵秩为2，所以选D．答案为D。3、线性方程组无解，则λ=()A、0B、1C、一1D、任意实数标准答案：A知识点解析：当λ≠0且λ≠一1时有惟一解，当λ=一1时有无穷多解．当λ=0时无解．答案为A。4、设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C’AC，则下述结论________不成立．()A、A与B相似B、A与B等价C、A与B有相同的特征值D、A与B有相同的特征向量标准答案：D知识点解析：∵C是正交阵，∴C’=C-1，B=C-1AC，因此A与B相似．A对．C是正交阵｜C｜≠0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对．两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对．(λI一A)X=0与(λI—B)X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D．答案为D。5、当t为________，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3是正定的．()A、｜t｜＞2B、｜t｜＜3C、｜t｜＜D、｜t｜＞1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵A=各阶顺序主子式为2＞0，二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、行列式中(3，2)元素的代数余子式A32=__________．FORMTEXT标准答案：—8知识点解析：A32(一1)3+2=一(4+4)=一8．7、=__________．FORMTEXT标准答案：一3知识点解析：8、设A、B均为3阶矩阵，｜A｜=3，｜B｜=一2，则｜一2A1．B-1｜=_________。FORMTEXT标准答案：12知识点解析：｜一2ATB-1｜=(一2)．｜AT｜．｜B-1｜=一8×｜A｜×=12．9、设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为__________．FORMTEXT标准答案：r知识点解析：根据矩阵的秩的定理2．6．1推论：设A为m×n矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵．则r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)．可推出r(B)=r(AC)—r(A)=r．10、设矩阵A=的秩为2，则λ=__________．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：对矩阵A作初等变换，有由此可知，当λ一1≠0时r(A)=3，而λ一1=0时r(A)=2．所以λ一1=0即λ=1．11、已知线性方程组无解，则λ=__________。FORMTEXT标准答案：一1知识点解析：当λ=一1时，第4个方程为矛盾方程，因而无解．12、若A2=E，则A的特征值只能是__________．FORMTEXT标准答案：1或一1知识点解析：由A2=E得A2一E=0，(A—E)(A+E)=0｜(A—E)｜｜(A+E)｜=0故｜A—E｜=0或｜(A+E)｜=｜(一A—E)｜=0故必有λ一1=0或一λ一1=0即λ=1或一1．13、如果向量x是矩阵A的特征向量，则__________是矩阵P-1AP的特征向量．FORMTEXT标准答案：P-1x知识点解析：设B=P-1AP，则A=PBP-1，又Ax=λx，所以有PBP-1x=λx，两边同时左乘可逆矩阵P-1得BP-1x=λP-1x，即(P-1AP)P-1x=λP-1x，由特征值和特征向量的定义即可得到，P-1x是P-1AP的一个特征向量．14、设A为实对称矩阵，α1=是A属于不同特征值λ1和λ2的特征向量，则a=__________．FORMTEXT标准答案：5知识点解析：由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此(α1，α2)=a一8+3=a一5=0，所以a=5．15、实二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3的正惯性指数p=__________。FORMTEXT标准答案：p=2知识点解析：令=2≠0，所以经过可逆线性变换二次型化为标准型f=y12+2y22—2y32，所以正惯性指数p=2．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算D=．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x)是二次多项式，已知f(1)=1，f(一1)=9，f(2)=一3，求出f(3)．标准答案：设f(x)=ax2+bx+c，则有解得a=0，b=一4，c=5，从而f(x)=一4x+5，f(3)=一7．知识点解析：暂无解析18、设A、B为两个三阶矩阵，且｜A｜=一1，｜B｜=5．求｜2(ATB-1)2｜．标准答案：｜2(ATB-1)2｜=23｜(ATB-1)2｜=23｜(ATB-1)｜2=23｜A｜2｜B｜-2=知识点解析：暂无解析19、设向量α，β，γ满足5(α一γ)+3(β+γ)=0，其中α=，求α+β+γ．标准答案：由于5α一5γ+3β+3γ=0，所以知识点解析：暂无解析20、设向量α1=都是方阵A的属于特征值λ的特征向量，又向量β=α1+2α2，求A。β．标准答案：因此r(A)=3．知识点解析：暂无解析21、将线性无关向量组α1=化为单位正交向量组．标准答案：用施密特正交化方法，有则β1，β2，β3是正交向量组，再单位化，有则γ1，γ2，γ3是单位正交向量组．知识点解析：暂无解析22、用正交变换将二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x22+2x32一2x1x2—2x1x3—2x2x3化为标准型并写出正交变换．标准答案：首先写出二次型的系数矩阵为A=A的特征多项式｜λE—A｜=λ(λ一3)2，所以A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0．对于λ1=λ2=3解齐次线性方程组(3E—A)X=0，求出基础解系α1=对于λ3=0，解齐次线性方程组(—A)X=0，求出基础解系α3=．令P=(β1，β2，β3)=，则P为正交矩阵，经过正交变换X=PY，二次型化为标准型f=3y12+3y22．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、已知向量组α1，α2，…，αm与向量组α1，α2，…，αm，β有相同的秩，证明：β可由α1，α2，…，αm线性表示．标准答案：设是α1，α2，…，αm的一个极大无关组，由于α1，α2，…，αm，β的秩也是r，所以也是α1，α2，…，αm，β的一个极大无关组，所以β可由仅是α1，α2，…，αm的一个部分向量组，所以β也可由α1，α2，…，αm线性表示．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第2套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设矩阵，则A、a＝－1，b＝3，c＝0，d＝3B、a＝－1，b＝3，c=1，d＝33C、a＝3，b＝－1，c＝1，d＝3D、a＝3，b＝－l，c＝0，d＝3标准答案：D知识点解析：矩阵相等，要求对应位置的每一个元素都要相等，则从而得a＝3，b＝－1，c＝0，d＝3，故选D项．2、设A为二阶可逆矩阵，且(3A)－1＝，则A＝A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：3、下列命题中错误的是A、一个非零向量线性无关B、任意一个含零向量的向量组线性相关C、由4个三维向量组成的向量组线性相关D、由3个四维向量组成的向量组线性无关标准答案：D知识点解析：很显然A、B、C正确，举例法．设α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，显然α1，α2，α3线性相关，故D项错误．4、已知是三元齐次线性方程组Ax＝0的解，则系数矩阵A可为A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题知是两个线性无关的解向量，则该Ax＝0的基础解系中至少含有2个自由向量，即3－r(A)≥2，得r(A)≤1，显然只有A项的秩为1≤l，故选A项．5、矩阵A＝的非零特征值为A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：由｜λE－A｜＝＝0，得λ1＝0，λ2＝λ3＝2，故A的非零特征值为2．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设矩阵，则ATB-1＝_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：7、设矩阵A＝，则A2－E＝_______．FORMTEXT标准答案：O知识点解析：又AE＝EA，所以A2－E＝(A+E)(A－E)8、已知向量组α1＝(1，0，2)T，α2＝(0，1，5)T，α3＝(1，－1，0)T，则此向量组的秩为_______．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：设A＝(α1，α2，α3)得r(A)＝3，故向量组α1，α2，α3的秩为3．9、设向量组α1＝(1，－1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(-1，a，1)线性无关，则数a_______．FORMTEXT标准答案：≠2知识点解析：由α1，α2，α3线性无关，得≠0，解之得a≠2．10、设向量α＝(1，2，3，4)，则α的长度为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：11、已知A为三阶方阵，若齐次线性方程组Ax＝0只有零解，则矩阵A的秩r(A)＝_______．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：暂无解析12、设A为n阶方阵，已知A有一个特征值为－2，则(AT)－1必有一个特征值为_______．FORMTEXT标准答案：-1/2知识点解析：因A有一个特征值为－2，又由A与AT有相同的特征值，则AT有一个特征值为－2，且(AT)－1有一个特征值为－1／2．13、已知三阶方阵A的3个特征值为1，－1，2，则｜A*｜＝_______．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：若λ为A的特征值，则A*的特征值，由A的特征值为1，－1，2，则A*的特征值为－2，2，－1．故｜A*｜＝(－2)×2×(－1)＝4．14、已知A＝是正交矩阵，则a－b＝_______．FORMTEXT标准答案：0知识点解析：由正交矩阵的定义知AAT＝En，15、二次型f(x1，x2，x3)＝x12＋x22＋4x1x2－2x2x3的矩阵为_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：暂无解析三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算行列式D＝的值．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设A为n阶方阵，满足A2－3A－2E＝O，其中A可逆，求A－1．标准答案：知识点解析：暂无解析18、判断向量组α1＝(1，2，1)T，α1＝(2，3，3)T，α3＝(3，7，1)T是否为R3的基．若是，求出向量β＝(3，1，4)T在这组基下的坐标．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设向量组α1＝(3，1，2，0)，α2＝(0，7，1，3)，α3＝(－1，2，0，1)，α4＝(6，9，4，3)，求其一个极大无关组，并将其余向量通过极大无关组表示出来．标准答案：知识点解析：暂无解析20、已知方程组，则当a为何值时方程组有非零解，并求其通解．标准答案：(1)当a≠-1时，r(A)＝3，方程组只有零解．(2)当a＝1时，r(A)＝2，方程组有非零解．则基础解系中含3－2＝1个解向量η，且η＝(－1，1，0)T．故此方程组的通解为kη，且k为任意实数．知识点解析：暂无解析21、已知A＝，(1)求A的相似标准形，即P－1AP＝A；(2)求A的正交相似标准形即QTAQ＝A，且QT＝Q－1．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设向量组α1＝(1，－1，1)T，α2＝(0，1，－1)T，α3＝(1，0，1)T，用施密特正交化方法将向量组α1，α2，α3化为标准正交向量组．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、已知A～B，C～D证明：标准答案：因为A～B，C～D．所以必存在可逆矩阵P、Q使P-1AP＝B，Q-1CQ＝D．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第3套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、如果n阶方阵A满足AT．A=A．AT=I，则A的行列式｜A｜为()A、｜A｜=1B、｜A｜=一1C、｜A｜=1或一1D、｜A｜=0标准答案：C知识点解析：｜A．AT=｜A｜．｜AT｜=｜A｜2=｜I｜=1，所以｜A｜=±1．答案为C。2、设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有()A、|A|=|B|B、|A|≠|B|C、若|A|=0，则一定有|B|=0D、若|A|＞0，则一定有|B|＞0标准答案：C知识点解析：设B=PAQ，其中P，Q为可逆矩阵，于是当|A|=0时，|B|=|PAQ|=|P|.|A|.|Q|=0．故选C．3、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，则()A、α1线性相关B、α1，α2线性相关C、α1，α2，α3线性相关D、α1，α2，α4线性相关标准答案：C知识点解析：单个非零向量是线性无关的，∴选项A不对，而(α1，α2，α3)→因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以C是正确．答案为C4、若α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1，α2，α3的任意三个线性组合C、α1，α1一α2，α1一α2一α3D、α1，2α1,3α1标准答案：C知识点解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与α1,α2,α3等价．答案为C。5、若可逆矩阵A有特征值λ=2，则(λ2)-1必有特征值()A、4B、C、D、标准答案：B知识点解析：由于A=2是A的特征值∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案为B。6、≠0的充要条件为()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠±1D、k≠0或k≠±1标准答案：C知识点解析：≠0→k(k2一1)≠0→k≠0且k≠±1．答案为C。7、设＝A、6mB、－6mC、5mD、-m标准答案：B知识点解析：8、设A为m×n矩阵，秩为，r，C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，秩(B)=r1，则()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1与C有关标准答案：C知识点解析：∵C为可逆阵，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案为C9、初等矩阵相当于对A()A、交换2，3两行的变换B、交换2，3两列的变换C、交换1，2两行的变换D、交换1，3两列的变换标准答案：B知识点解析：因右乘初等矩阵为列变换且右乘为交换2，3两列．10、设A，B是两个同阶的上三角矩阵，那么AT．BT是矩阵．()A、上三角B、下三角C、对角形D、即非三角也非下三角标准答案：B知识点解析：AT，BT均为下三角阵，因此AT．BT也是下三角阵．答案为B。11、设矩阵，则A、a＝－1，b＝3，c＝0，d＝3B、a＝－1，b＝3，c=1，d＝33C、a＝3，b＝－1，c＝1，d＝3D、a＝3，b＝－l，c＝0，d＝3标准答案：D知识点解析：矩阵相等，要求对应位置的每一个元素都要相等，则从而得a＝3，b＝－1，c＝0，d＝3，故选D项．12、设A=(aij)是s×r矩阵，B=(bij)是r×s矩阵，如果BA=Ir，则必有()A、r＞sB、r≤sC、r≥sD、r＜s标准答案：B知识点解析：由于r=r(Ir)=r(BA)≤min{r(B),r(A)}，故得r(B)≥r，且r(A)≥r，故r≤s．13、设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：∵A是2阶可逆矩阵，∴A的秩为2，由于两矩阵等价则矩阵的秩相等，由题知D答案中矩阵秩为2，所以选D．答案为D。14、设A为m×n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax＝0存在非零解的充要条件为A、A的列向量线性无关B、A的行向量线性无关C、A的列向量线性相关D、A的行向量线性相关标准答案：C知识点解析：齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充要条件是A的列向量线性相关．15、当t为________，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+21x3是正定的．()A、｜t｜＞2B、｜t｜＜3C、｜t｜＜D、｜t｜＞1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵A=各阶顺序主子式为2＞0，16、设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C’AC，则下述结论_______不成立．()A、A与B相似B、A与B等价C、A与B有相同的特征值D、A与B有相同的特征向量标准答案：D知识点解析：∵c是正交阵∴c=c-1，B=C-1AC，因此A与B相似．A对．c是正交阵｜C｜≠0，CTAC相当对A实行若干次初等行变换和初等列变换，A与B等价，B对．两个相似矩阵A、B有相同的特征值，C对．(λI—A)X=0与(λI—B)X=0是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有D不对，选D答案为D。17、当t为______，二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3是正定的．()A、｜t｜>2B、｜t｜<3C、D、｜t｜>1标准答案：C知识点解析：二次型的矩阵各阶顺序主子式为2＞0，即即因为故当时，答案为C18、设A，B是n阶正定矩阵，则_______是正定矩阵．()A、A*.B*B、A*+B*C、k1A*+k2B*D、A*一B*标准答案：B知识点解析：因为A，B是n阶正定阶阵，则A*，B*也是n阶正定矩阵，所以对于任何非零实列向量x都有xTA*x＞0，xTB*x＞0，二式相加xTA*x+xTB*x=xT(A*+B*)x＞0对任何非零实列向量都成立，由定义知，A*+B*为正定矩阵．答案为B19、λ1，λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当______时，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0标准答案：B知识点解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同时为零，所以C，D不对；x1，x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和，不再是其中一个方程的解．所以A的特征向量不是A选项．选项B，因为k2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．20、设A，B为n阶矩阵，且A，B相似，则以下错误的是()A、A，B有相同的特征值B、r(A)=r(B)C、A，B有相同的特征向量D、|A|=|B|标准答案：C知识点解析：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列式值，但不一定有相同的特征向量，选C．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换下化为标准型y12+2y22，则A的最小特征值为__________．FORMTEXT标准答案：0知识点解析：二次型在正交变换下的标准型为y12+2y22+0．y32．因此特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=0，最小特征值为0．22、设α1=(2，一1，0，5)，α2=(一4，一2，3，0)，α3=(一1，0，1，k)，α4=(一1，0，2，1)，则k=_______时，α1，α2，α3，α4线性相关．FORMTEXT标准答案：知识点解析：只需满足23、已知线性方程组无解，则λ=_______。FORMTEXT标准答案：-1知识点解析：当λ=一1时，第4个方程为矛盾方程，因而无解．24、已知四阶行列式D的第一行元素依次为1，3，0，一2，第三行元素对应的代数余子式依次为8，k，一7，10，则k=_________．FORMTEXT标准答案：4知识点解析：根据代数余子性质8+3k一20=0→k=4．25、设n阶方阵A与B相似且A2=A，则B2=_________．FORMTEXT标准答案：B知识点解析：由于A与B相似，存在可逆矩阵P，使得B=P-1AP．所以B2=P-1AP.P-1AP=P-1A2P=P-1AP=B26、二次型f(x1，x2，x3)一(2x1－x2+3x3)2的矩阵为__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：f(x1，x2，x3)=(2x1－x2+3x3)2=4x12－4x2x+12x2x3+x22一6x2x3+9x3227、行列式FORMTEXT标准答案：a2(a2—1)知识点解析：28、设n阶实对称矩阵A的特征值分别为1，2，…，n，则当t______时，tE—A是正定的．FORMTEXT标准答案：t＞n知识点解析：tE—A的特征值为t一1，t一2，…，t—n．若tE—A是正定的，则t一1＞0，t一2＞0，…，t—n＞0，所以当t＞n时，tE—A是正定的．29、已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则｜A｜=________．FORMTEXT标准答案：36知识点解析：∵λi=｜A｜而λ1=1，λ2=2，λ3=3∴｜A｜=1×2×3=6∴AA*=｜A｜E∴AA*=6E两边同时求行列式有，｜AA*｜=｜6E｜=63→｜A｜｜A*｜=63∴｜A*｜=36．30、设向量α=(1，1，1)，则它的单位化向量为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：根据单位向量定义可知：｜｜a｜｜=1为单位向量．∴α=(1，1，1)的单位化向量为答案为三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+4x32+2tx1x2+2x1x3+2tx2x3正定，求t的范围．标准答案：二次型的矩阵为需即知识点解析：暂无解析32、计算行列式D＝的值．标准答案：数值行列式计算：一般利用倍加性质，将数值较大的元素变换成数值较小的元素，再进行计算．知识点解析：暂无解析33、设求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出．标准答案：(α1，α2，α3，α4)=，则r(α1，α2，α3，α4)=3，其中α1，α2，α3构成极大无关组，且α4=一2α1+2α2+α3．知识点解析：暂无解析已知线性方程组34、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析35、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析36、已知D=．求A21+A22+A23+A24．标准答案：A21+A22+A23+A24=知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、设A，B是n阶正交矩阵，证明：AB也是正交矩阵．标准答案：由已知条件AAT=ATA=I，BBT=BTB=I，则(AB)(AB)T=AB．BTAT=A(BBT)AT=I，所以AB也是正交矩阵．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第4套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、的充要条件为()A、k≠0B、k≠±1C、k≠0且k≠士1D、k≠0或k≠±1标准答案：C知识点解析：答案为C2、若n阶方阵A满足A2一2A一3I=0，且矩阵A可逆则A-1=()A、A-2IB、2I-AC、D、标准答案：D知识点解析：由于A(A一21)=3I，因此所以A-1=．答案为D.3、设A，B是n(≥2)阶可逆方阵，k是一实常数且不为零，下列等式不成立的是()A、(AB)-1=B-1A-1B、(kA)-1=k-1A-1C、(A’)-1=(A-1)’，A’表示A的转置阵D、(AB)-1=A-1B-1标准答案：D知识点解析：本题考查矩阵求逆阵运算法则．选项A、B、C均正确，选项D中(AB)-1=B-1A-1．答案为D。4、设A为m×n矩阵，秩为，r，C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，秩(B)=r1，则()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1与C有关标准答案：C知识点解析：∵C为可逆阵，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案为C5、以下各线性方程组中，解空间的基是α1=(1，一1，1，一1，1)T，α2=(1，1，0，0，3)T，α3=(3，1，1，一1，7)T，α4=(0，2，一1，1，2)T的方程组是()A、B、C、x1一x2—2x3=0D、x1+x2+2x4=0标准答案：C知识点解析：因5一r(A)=4，故r(A)=1．于是，只可能为C或D。因一眼就能看出，A、B中两方程的系数都不成比例，故r(A)=r(B)=2．再把解代人验证：因α1满足C，不满足D，故选C。答案为C。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、行列式中(3，2)元素的代数余子式A32=_______．FORMTEXT标准答案：一8知识点解析：7、=_______.FORMTEXT标准答案：一3知识点解析：8、设A、B均为3阶矩阵，｜A｜=3，｜B｜=一2，则｜一2T.B-1｜=_______。FORMTEXT标准答案：12知识点解析：=12．9、设A为m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，则矩阵B=AC的秩为_______．FORMTEXT标准答案：r知识点解析：根据矩阵的秩的定理2．6．1推论：设A为m×n矩阵，P和Q分别是m阶和n阶可逆矩阵，则r(PA)=r(A)，r(AQ)=r(A)．可推出r(B)=r(A)=r(A)=r．10、设矩阵的秩为2，则λ=_______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：对矩阵A作初等变换，有由此可知，当λ一1≠0时r(A)=3，而λ一1=0时r(A)=2．所以λ一1=0即．λ=1．11、已知线性方程组无解，则λ=_______。FORMTEXT标准答案：-1知识点解析：当λ=一1时，第4个方程为矛盾方程，因而无解．12、若A2=E，则A的特征值只能是_______．FORMTEXT标准答案：1或一1知识点解析：由A2=E得A2一E=0，(A—E)(A+E)=0｜(A—E)｜｜(A+E)｜=0故｜A—E｜=0或｜(A+E)｜=｜(一A—E)｜=0故必有λ一1=0或一λ一1=0即λ=1或一1．13、如果向量x是矩阵A的特征向量，则_______是矩阵P-1AP的特征向量．FORMTEXT标准答案：P-1x知识点解析：设B=P-1AP，则A=PBP-1，又Ax=λx，所以有PBP-1x=λx，两边同时左乘可逆矩阵P-1得BP-1x=λP-1x，即(P-1AP)P-1x=λP-1x，由特征值和特征向量的定义即可得到，P-1x是P-1AP的一个特征向量．14、设A为实对称矩阵，和是A属于不同特征值λ1和λ2的特征向量，则a=_______．FORMTEXT标准答案：5知识点解析：由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此(a1，a2)=a一8+3=a一5=0，所以a=5．15、实二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3的正惯性指数p=_______.FORMTEXT标准答案：p=2知识点解析：令由于所以经过可逆；线性变换二次型化为标准型f=y12+2y22一2y32，所以正惯性指数p=2．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算n+1阶行列式标准答案：知识点解析：暂无解析17、设方阵A、B满足AB+E=A2+B，且求B.标准答案：由于AB-B=A2-E，(A-E)B=(A-E)(A+E)，又即A—E可逆，所以B=(A—E)-1[(A—E)(A+E)]=A+E=知识点解析：暂无解析18、设A为n阶方阵(n≥3)，秩r(A)=r，求A的伴随矩阵A*的秩．标准答案：当r(A)=n时，A可逆，则A*也可逆，因此r(A*)=n；当r(A)=n一1时，｜A｜=0，因此AA*=｜A｜．E=0，即A*的n个列向量均为齐次线性方程组Ax=0的解向量，由于r(A)=n一1，AX=0的基础解系仅含一个解向量，所以A*的列向量的秩≤1；又r(A)=n一1，A中存在一个不为0的n—1阶子式，故A*的n个列向量中至少有一个不为零向量，所以A*的列向量的秩≥1，由以上讨论可知，r(A*)=1．当r(A)＜n-1时，A的每一个n一1阶子式均为零，即A*是零矩阵，所以r(A*)=0．所以知识点解析：暂无解析19、设3维列向量α1,α2,α3，β1，β2，β3满足：α1+α3+2β1－β2=0，3α1一α2+β1一β3=0，一α2+α3一β2+β3=0，且｜α1,α2,α3｜=4，求｜β1，β2，β3｜．标准答案：由条件可知而(α1+α3，3α1－α2，一α2+α3)=(α1,α2,α3)(一2β1+β2，一β1+β3，β2一β3)=(β1，β2，β3)所以两边取行列试，得即｜β1，β2，β3｜=一4｜α1,α2,α3｜=一16．知识点解析：暂无解析20、设α1,α2,α3是4元非齐线性方程组AX=B的三个解向量，并且r(A)=3求方程组AX=B的通解．标准答案：由于r(A)=3，所以齐次线性方程组AX=0的基础解系含有一个解向量，又A[2α1一(α2+α3)]=2Aα1一Aα2－Aα3=2B—B—B=0．因此2α1一(α1+α2)=是AX=0的一个非零解向量．是AX=0的基础解系，所以AX=B的通解为(k为任意实数)．知识点解析：暂无解析21、设三阶实对称矩阵A的特征值为155是分别属于1和2的特征向量，求属于3的特征向量，并求A.标准答案：设属于3的特征向量为ξ3=(x1，x2，x3)T，由(ξ1，ξ3)=0，(ξ2，ξ3)=0得所以即ξ3=k(1，0，1)T．又因为A的特征值为1，2，3，所以即P-1AP=A于是A=PAP-1知识点解析：暂无解析22、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3经过正交变换x=Py化成f=y22+2y32，其中x=(x1,x2，x3)T，y=(y1，y2，y3)T是三维列向量，P是三阶正交矩阵，求常数a，b的值．标准答案：根据假设条件知，变换后二次型f(x1，x2，x3)的矩阵分别为二次型f可以写成f=XTAX，f=YTBY．由于PTAP=B，且P为正交矩阵，故PT=P-1，于是有P-1AP=B，即A～B，所以有｜λI—A｜=｜λI—B｜，即由此可得方程λ2一3λ2+(2一a2一b2)λ+(a一b)2=λ2一3λ2+2λ，从而有方程组解之得a一b=0，为所求的常数．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、设A为n阶正定矩阵，则A的主对角线上的元素全大于零．标准答案：对于任意取定的1≤i≤n，取第i个标准单位向量εi=(0，…．，0，1，0，…，0)T．第i列由A的正定性知道必有知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第5套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、行列式()A、0B、21C、42D、一42标准答案：D知识点解析：行列式展开性质，,答案为D2、设A、B为n阶方阵，且AB=0(零矩阵)，则()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于｜AB｜=｜A｜.｜B｜1=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D.3、α1=(1，2，3)，α2=(2，1，3)，α3=(一1，1，0)，α4=(1，1，1)，则()A、α1线性相关B、α1，α2线性相关C、α1，α2，α3线性相关D、α1，α2，α4线性相关标准答案：C知识点解析：单个非零向量是线性无关的．∴选项A不对．而(α1,α2,α3)→因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以C是正确．答案为C4、方程组的一组基础解系由_______个向量组成．()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：该方程组的系数矩阵秩等于1，有3个未知数，因此基础解系由2个线性无关的向量组成．答案为B5、实二次型f(x1，…，xn)=ATx为正定的充要条件是()A、f的秩为nB、f的正惯性指数为nC、f的正惯性指数等于f的秩D、f的负惯性指数为n标准答案：B知识点解析：由正定的性质即得．答案为B二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、的根为______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：f(x)=3x+3+12—27+2x+2=5x-10=→x=2.7、FORMTEXT标准答案：211知识点解析：依据行列式计算法则：原式=一2×(一2)×(一2)×(一2)×(一2)+3×3×3×3×3一0×0×(一2)×0×3—0×3×0×0×(一2)一0×(一2)×0×0×3—0×3×0×(一2)×0一(一2)×0×0×3×0=一32+243一0=211．8、设A，B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为_______．FORMTEXT标准答案：AB=BA知识点解析：A、B为n阶对称矩阵，则AT=A，BT=B，因为AB也是对称矩阵．(AB)T=BTAT=BA=AB，故A、B都为n阶对称矩阵，则AB也为对称矩阵的充要条件为AB=BA.9、用初等变换将矩阵化为标准型为______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：对A进行初等变换，有10、设向量组线性无关，则a、b、c满足的关系式是_______．FORMTEXT标准答案：A≠0，b≠0，c≠0知识点解析：由于α1,α2,α3线性无关，因此矩阵A=(α1,α2,α3)为满秩矩阵，即所以A≠0，B≠0，c≠0．11、n阶矩阵A的秩为n—1且矩阵A的各行元素之和为0，齐次线性方程组Ax=0的通解为______．FORMTEXT标准答案：k(1，1，…，1)Tk为任意常数知识点解析：Ax=0的基础解系解向量的个数为1，由题设知A(1，1，…，1)T=0，故(1，1，…，1)T≠0为Ax=0的一个线性无关解，所以通解为k(1，1，…，1)T，其中k为任意常数．12、设矩阵已知向量是A的一个特征向量，则α对应的特征值λ=_______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：根据特征值与特征向量的定义，Aα=λα因此所以λ=1．13、若λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵必有特征值_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：A有特征值λ=2，则必有特征值必有特征值.14、设向量则α与β的内积(α，β)=_____。FORMTEXT标准答案：-3知识点解析：(α，β)=1×1+2×1+(一2)×2+1×(一2)=一3．15、设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换下化为标准型y12+2y22，则A的最小特征值为_______．FORMTEXT标准答案：0知识点解析：二次型在正交变换下的标准型为y12+2y22+0.y32，因此特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=0，最小特征值为0．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算.标准答案：第一行乘1加第二行，再让第二行乘1加第三行……以此类推得D=1．知识点解析：暂无解析17、设矩阵求2A一3B及AT.B.标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算下列矩阵的逆：标准答案：我们用初等变换法计算：因此原矩阵的逆阵为：知识点解析：暂无解析19、已知向量组求向量组α1,α2,α3,α4,α5的秩．标准答案：对以α1,α2,α3α4,α5为列向量的矩阵A进行初等变换，有r(A)=2，所以向量组α1,α2,α3α4,α5的秩为2．知识点解析：暂无解析20、已知四元非齐次线性方程组Ax=b的r(A)一3，α1,α2,α3是它的三个解向量，且求该方程组的通解．标准答案：Ax=0的基础解系为：(α1一α2)+(α1—α3)=2α1一(α2+α3)所以通解为(c为任意常数)．知识点解析：暂无解析21、求线性方程组的通解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有所以线性方程组的同解方程组为其中x4是自由未知量，方程组的通解为k为任意实数．知识点解析：暂无解析22、用初等变换法将下列二次型化为标准型并求正、负惯性指数：f(x1，x2，x3)=x12+2x22+2x1x2+2x2x3+4x32．标准答案：对二次型的系数矩阵进行行初等变换：因此二次型的标准型为y12+y22，正惯性指数为2，负惯性指数等于0．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、已知向量β=(一1，2，s)可由α1=(1，一1，2)，α2=(0，1，一1)，α3=(2，一3，t)惟一地线性表示，求证：t≠5．标准答案：α1,α2,α3是3个3维向量，如果它们线性无关，则任意一个3维向量均可惟一地由它们线性表示．反之，若它们线性相关，则或者不能表示，或者表示不惟一，而α1,α2,α3要线性无关由它们组成的矩阵必须是非奇异矩阵，即通过计算得t≠5．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第6套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设＝A、6mB、－6mC、5mD、-m标准答案：B知识点解析：2、设A、B、C均为n阶方阵，且满足AB＝BA，BC=CB，则CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC标准答案：C知识点解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C项正确．3、设二阶矩阵A＝，则A*＝A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由二阶矩阵的伴随矩阵的特点知，若A＝，则A*＝，即主对角线元素互换，次对角线元素乘以(－1)．故A＝的伴随矩阵A*＝4、已知向量组α1＝(1，－1，1)T，α2＝(－1，1，1)T，α3＝(1，1，－1)T，此向量组的秩为A、0B、1C、2D、3标准答案：D知识点解析：由A＝(α1，α2，α3)，则r(A)＝3，故此向量组的秩为3．5、设A为n(n≥2)阶矩阵，且A2＝E，则必有A、A的特征值均为1B、A的秩等于nC、A的逆矩阵等于ED、A的行列式等于1标准答案：B知识点解析：A2E(A－E)(A＋E)＝OA＝E或A＝－Er(A)＝n，｜A｜＝±1．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)6、设矩阵A＝，已知0是A的一个特征值，求a＝______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：由0是A的一个特征值，则｜A｜＝0，即－(a－1)2＝0，得a＝1．7、三阶矩阵A有特征值－1，1，2，B＝A－2E，则｜B｜＝______．FORMTEXT标准答案：0知识点解析：由A的特征值为－1，1，2，知B＝A－2E的特征值为－3，－1，0．故｜B｜﹦(－3)×(－1)×0＝0．8、已知A～，则r(A－E)＝______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：因A～，故A的特征值为1，-1，2．故A－E～，则r(A-E)＝2．9、已知α＝(1，1，－1)T是矩阵A＝的一个特征向量，求a＝______．FORMTEXT标准答案：-3知识点解析：由题知Aα﹦λα,10、设A＝，则A有特征值______；若设B＝，则B有特征值．FORMTEXT标准答案：1，2，3；1，2，3知识点解析：暂无解析11、设A＝，则A～A=______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：12、设A＝正定，则k应满足条件______．FORMTEXT标准答案：-3知识点解析：因A正定，故｜A｜＞0，即＝(1－k)(k＋3)＞0，得－3＜k＜1．13、设二次型f(x1，x2，x3)=2x12＋2x1x2＋4x2x3，则二次型的对应矩阵是______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：暂无解析14、设二次型f(x1，x2，x3)=x12＋x324x132x23，则二次型的秩是______．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：由二次型的矩阵A＝，得r(A)＝3，故二次型的秩为3．15、设二次型f(x1，x2，x3)=x12＋4x22－x32＋4x1x2，则此二次型的正惯性指数是______．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：由配方得f(x1，x2，x3)＝x12＋4x22－x32＋4x1x2＝(x1＋2x2)2－x32，故二次型f的规范型为f＝z12－z22，则正惯性指数为1．三、计算题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)16、计算行列式D＝的值．标准答案：将第2、3、4列乘(－1)加到第1列，将D化成上三角形行列式知识点解析：暂无解析17、已知，其中满足X＝AX+B，求矩阵X．标准答案：X＝AX﹢B，得(E-X)＝B．知识点解析：暂无解析18、设向量组α1＝(1，3，3，5)T，α2＝(1，2，1，3)T，α3＝(－3，－5，－1，－7)T，α4＝(1，1，－1，1)T，α5＝(4，5，－2，6)T．求：(1)此向量组的一个极大无关组；(2)将其余的向量用此极大无关组线性表出．标准答案：(1)设A＝(α1，α2，α3，α4，α5)，，显然α1，α2是此向量组的一个极大无关组(极大无关组不唯一)．(2)由(1)知，α3＝α1－4α2，α4＝－α1＋2α2，α5＝－3α1＋7α2．知识点解析：暂无解析19、设三元非齐次线性方程组Ax＝b的系数矩阵A的秩为2，且它的三个解向量α1，α2，α2满足α1＋α2＝(3，1，－1)T，α1＋α3＝(2，0，－2)T，求Ax＝b的通解．标准答案：因r(A)＝2，故Ax＝0的基础解系中有3－r(A)＝1个解向量ξ．因r(A)＝2，故Ax＝0的基础解系中有3－r(A)＝1个解向量ξ．且ξ＝(α1＋α2)－(α1＋α3)＝(1，1，1)T．而Ax＝b的一个特解为α*＝＝(1，0，－1)T．故Ax＝b的通解为α*×kξ，且k为任意实数．知识点解析：暂无解析20、求矩阵A＝的特征值和特征向量．标准答案：所以A的特征值为1，3，3．对λ﹦1，解齐次线性方程组(E﹣A)x﹦0，得(x3为自由未知量)令x3﹦1，得属于1的全部特征向量为k，k≠0为任意常数．对λ﹦3,解齐次线性方程组(3E﹣A)x﹦0得(x3为自由未知量)令x3﹦2，得A的属于特征向量为3的全部特征向量为l，l≠0为任意常数．知识点解析：暂无解析21、设矩阵A＝，已知线性方程组Ax＝b有无穷多解，求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q和对角矩阵A，使得QTAQ＝A．标准答案：知识点解析：暂无解析22、二次型f(x1，x2，x3)＝ax12＋x22＋x32＋2bx1x3(b>0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为3，特征值之积为－3．(1)求a，b的值；(2)利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换对应的正交矩阵．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)23、已知矩阵A，B，A＋B均可逆，证明：A－1＋B－1也可逆，且(A－1＋B－1)－1＝A(A＋B)－1B．标准答案：由A，B，A＋B均可逆．则(A－1＋B－1)A(A＋B)－1B＝(E＋B－1A)(A＋B)－1B＝(B－1B＋B－1A)(A＋B)－1B＝B－1(B＋A)(A＋B)－1B＝B－1B＝E．故A－1＋B－1可逆，且(A－1＋B－1)－1＝A(A＋B)－1B．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第7套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、若A，B均为n阶方阵，且AB=0，则()A、A=O或B=OB、A+B=OC、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0标准答案：C知识点解析：AB=0→｜AB｜=0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案为C。2、如果n阶方阵A满足AT．A=A．AT=I，则A的行列式｜A｜为()A、｜A｜=1B、｜A｜=一1C、｜A｜=1或一1D、｜A｜=0标准答案：C知识点解析：｜A．AT=｜A｜．｜AT｜=｜A｜2=｜I｜=1，所以｜A｜=±1．答案为C。3、设向量组(I)：α1，α2，…，αn的秩为r，则必有A、(I)中任意r个向量必线性无关B、(I)中任意r－1个向量必线性无关C、(I)中任意r+1个向量必线性相关D、(I)中线性相关向量的个数必大于r标准答案：C知识点解析：因向量组(I)的秩为r，故向量组的一个极大无关组为(Ⅱ)：αi1，…，αir，则(I)中任意r+1个向量都可由(Ⅱ)线性表示，故C选项正确．4、设A是m×n阶矩阵，B是n×m阶矩阵(m≠n)，则下列运算结果是n阶方阵的是()A、A．BB、AT．BTC、BT．ATD、(A+B)T标准答案：B知识点解析：由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知AT．BT是n阶方阵．答案为B。5、若齐次线性方程组只有零解，则λ应为()A、λ=一1B、λ≠一1C、λ=1D、λ≠1标准答案：B知识点解析：齐次线性方程组Ax=0只有零解｜A｜≠0故λ≠一1时题中齐次线性方程组只有零解．答案为B.6、已知三阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为1，2，4，则｜B－1｜﹦A、1／8B、8C、1／7D、7标准答案：A知识点解析：相似矩阵必有相同的特征值，因A～B，则A与B有相同的特征值，即B的特征值为1，2，4，则｜B｜＝，即｜B｜＝1×2×4＝8，而｜B-1｜＝，故选A．7、实二次型f(x1，…，xn)=xTAx为正定的充要条件是()A、f的秩为nB、f的正惯性指数为nC、f的正惯性指数等于f的秩D、f的负惯性指数为n标准答案：B知识点解析：由正定的性质即得．答案为B。8、要使ε1=(1，0，1)T，ε2=(一2，0，1)T都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：ε1，ε2显然线性无关，故系数矩阵的秩至多为3—2=1，只有D符合．9、若AB=AC，能推出B=C，其中A，B，C为同阶方阵，则A应满足条件()A、A≠0B、A=0C、｜A｜=0D、｜A｜≠0标准答案：D知识点解析：若AB=AC,则A(B-C)=0，故当A可逆，即｜A｜≠0时B=C答案为D。10、设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是A、r(A)＝r(B)B、λE一A＝λE一BC、｜A｜＝｜B｜D、存在可逆矩阵P，使P－1AP＝B标准答案：B知识点解析：暂无解析11、若可逆矩阵A有特征值λ=2，则(A2)-1必有特征值()A、4B、C、D、一标准答案：B知识点解析：由于A=2是A的特征值．∴λ=4是λ2特征值，所以是(A2)-1的特征值．答案为B。12、若四阶实对称矩阵A是正定矩阵，则A的正惯性指数为A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：暂无解析13、设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1=()A、A-1+B-1B、A+BC、A(A+B)-1．BD、(A+B)-1标准答案：C知识点解析：由于(A-1+B-1)A(A+B)-1B=(A-1A+B-1A)(A+B)-1B=(B-1B+B-1A)(A+B)-1B=B-1(A+B)(A+B)-1．B=B-1．B=I，所以(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B．答案为C。14、下列命题中错误的是A、一个非零向量线性无关B、任意一个含零向量的向量组线性相关C、由4个三维向量组成的向量组线性相关D、由3个四维向量组成的向量组线性无关标准答案：D知识点解析：很显然A、B、C正确，举例法．设α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，显然α1，α2，α3线性相关，故D项错误．15、设A是三阶可逆方阵，则与A等价的矩阵为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：等价矩阵有相同的秩，因A为可逆矩阵，所以r(A)＝3，显然只有B项的秩为3，故选B项．16、线性方程组无解，则λ=()A、0B、1C、一1D、任意实数标准答案：A知识点解析：当λ≠0且λ≠一1时有惟一解，当λ=一1时有无穷多解．当λ=0时无解．答案为A。17、设，则α3=______时，有α1，α2，α3为R3的基．()A、(0，0，1)TB、(0，1，0)TC、(1，0，1)TD、(2，1，2)T标准答案：A知识点解析：首先易知α1，α2线性无关(其坐标不成比例，)又令A=(α1，α2，α3)，则α1，α2，α3线性无关,|A|≠0．由于A的左上角2阶主子式(记为|A11|)不等于0，故选α3==|A11|×1≠0)．18、行列式()A、48B、84C、一48D、一84标准答案：A知识点解析：答案为A19、λ1，λ2都是n阶矩阵A的特征值，λ1≠λ2，且x1与x2分别是对应于λ1与λ2的特征向量，当______时，x=k1x1+k2x2必是A的特征向量．()A、k1≠0且k2≠0B、k1≠0而k2=0C、k1=0且k2=0D、k1.k2=0标准答案：B知识点解析：A的特征向量不能是零向量，所以k1，k2不同时为零，所以C，D不对；x1，x2是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和，不再是其中一个方程的解．所以A的特征向量不是A选项．选项B，因为k2=0，k1≠0，x=k1x2仍然是A的特征向量．20、设则以矩阵A为对应的二次型是()A、f(x1，x2，x3)=x12+2x2x3B、f(x1，x2，x3)=x12+x22=x32C、f(x1，x2，x3)=x32+2x1x2D、f(x1，x2，x3)=x22+2x1x3标准答案：D知识点解析：A的主对角线元素1对应x22系数；a13=1，a31=1，之和对应系数2．答案为D.二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、若D==__________．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：22、已知齐次线性方程组，有非零解，则λ=__________．FORMTEXT标准答案：一2或1知识点解析：由于齐次线性方程组有非零解，系数行列式∴λ=一2或λ=1．23、设矩阵A=是A的一个特征向量，则α对应的特征值λ=__________．FORMTEXT标准答案：1知识点解析：根据特征值与特征向量的定义，Aα=λα因此所以λ=1．24、设A，B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=一3，则|2A*B-1|=_____．FORMTEXT标准答案：知识点解析：AA*=|A|E，即|A|.|A*|=|A|n|E"=2n．得|A*|=2n-1．而BB-1=E，得|B-1|=所以|2A*B-1|=2n|A*|.|B-1|=2n.2n-1.25、已知x1＝(1，0，－1)T是三元非齐次线性方程组Ax＝b的一个解向量，又知x2＝(3，4，5)T是其对应齐次线性方程组Ax=0的一个解向量，则对应三元非齐次线性方程组Ax=b有一个非零解向量ξ＝______．FORMTEXT标准答案：(4，4，4)T知识点解析：由非齐次线性方程组解的性质，得ξ＝x1＋x2＝(4，4，4)T．26、已知α=(3，5，7，9)，β=(一1，5，2，0)，x满足2α+3x=β，则x=_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：27、设A=，则(A一2E)-1=_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：28、若向量组线性相关，则t=_______．FORMTEXT标准答案：6知识点解析：由于α1，α2，α3线性相关，故行列式|α1，α2，α3|==2t—12=0，故t=6．29、二次型f(x1，x2，x3)一(2x1－x2+3x3)2的矩阵为__________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：f(x1，x2，x3)=(2x1－x2+3x3)2=4x12－4x2x+12x2x3+x22一6x2x3+9x3230、设A==________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：｜A｜=1利用公式A-1==A*，三、计算题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)31、已知三阶矩阵A＝，求A的伴随矩阵A*和(A*)－1．标准答案：由｜A｜＝2≠0，故A可逆．知识点解析：暂无解析32、设有线性方程组问m，k为何值时，方程组有唯一解?有无穷多解?在有无穷多组解时，求出一般解．标准答案：系数矩阵的行列式为故当m≠一1时，方程组有唯一解．又增广矩阵即当m=一1，k=1时方程有无穷多解．取x3为自由未知量，并令x3=0，得特解知识点解析：暂无解析33、求及的特征值及特征向量．标准答案：(1)特征值为λ1=λ2=0，λ3=3．属于λ1=λ2=0的特征向量满足于是全部的特征向量为(k1，k2为不全为零的实数)．属于λ3=3的特征向量满足于是全部的特征向量为(2)特征值为λ1=一1，λ2=λ3=1，属于λ1=一1的特征向量满足于是全部的特征向量为属于λ2=λ3=1的特征向量满足x1-x3=0，于是全部的特征向量为(k1，k2为不全为零的实数)．知识点解析：暂无解析34、设矩阵可以对角化，求x与y满足的条件．标准答案：由于A可以对角化，因此，A有3个线性无关的特征值向量，先求A的特征值，由于因此A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=一1，所以A可对角化，则λ1=λ2=1对应于两个线性无关的特征向量．即齐次线性方程组(E—A)X=0的基础解系含有两个解向量，因此r(E—A)=1，对E—A作初等行变换有所以当且仅当x+y=0时，r(E-A)=1，即A可对角化，则x，y满足的条件是x+y=0．知识点解析：暂无解析已知线性方程组35、讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．标准答案：将线性方程组的增广矩阵作初等行变换当λ=一2时，r(A)=2，，方程组无解；当λ≠一2且λ≠1时，，方程组有惟一解；当λ=1时，，方程组有无穷多个解．知识点解析：暂无解析36、在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)．标准答案：当λ=1时,同解方程组为x1=一2一x2一x3．对应齐次方程组的基础解系为ξ1=(一1，1，0)T，ξ2=(一1，0，1)T非齐次方程组的一个特解η=(一2．0，0)T，所以原方程组的通解为x=k1ξ1+k2ξ2+η(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)37、设n阶方阵A的秩满足r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(单位方阵)，证明：一1是A的一个特征值．标准答案：由于A≠I，所以A—I不是零矩阵，从而r(A—I)≥1，因此由已知条件r(A+1)≤n一1，A+I是奇异矩阵，｜A+I｜=0，所以齐次线性方程组(A+I)X=0有非零解a，即存在非零向量口使得(A+I)α=0，Aα=0，Aα=一α，所以λ=一1是A的一个特征值．知识点解析：暂无解析全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷第8套一、单选题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、若A，B均为n阶方阵，且AB=0，则()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜=0或｜B｜=0D、｜A｜+｜B｜=0标准答案：C知识点解析：AB=0→｜AB｜→0→｜A｜．｜B｜=0→｜A｜=0或｜B｜=0．答案为C2、设，则Ax=0的基础解系含有_______个解向量．()A、1B、2C、3D、0标准答案：A知识点解析：由于V(A)=3，所以基础解集含有4—3=1个向量．答案为A.3、设A是n阶方阵，已知A2一2A—2I=O，则(A+I)-1=()A、3I—AB、3I+AC、A一3ID、标准答案：A知识点解析：把已知关系式A2—2A—2I=O写成(A+I)M=I的形式，则M是(A+I)的逆方阵．由题设关系式A2一2A一2I=O，可得A(A+I)一3(A+I)=一I，即(A+I)(3I—A)=I，故(A+I)-1=3I—A．答案为A。4、若只有零解的充要条件是a≠A、－1B、－2C、－3D、﹣4标准答案：D知识点解析：方程组只有零解的充要条件．因方程组只有零解，故｜A｜≠0，即r(A)＝3，则－a－4≠0，得a≠﹣4．5、二次型f＝x12＋x22＋x32＋4x2x3的规范形是A、z12＋z22+32B、z12－z22－z32C、z12＋z22﹣z32D、z12－z22标准答案：C知识点解析：，得A的特征值为λ1＝1，λ2＝－1，λ3＝3，故A的正惯性指数为2，负惯性指数为1．故此二次型的规范型为z12＋z22－z32．6、设A、B为n阶方阵，且AB=O(零矩阵)，则()A、A=P或B=OB、A+B=OC、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于｜AB｜=｜A｜．｜B｜=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D。7、设A、B为n阶方阵，且AB=0(零矩阵)，则()A、A=0或B=0B、A+B=0C、｜A｜+｜B｜=0D、｜A｜=0或｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于｜AB｜=｜A｜.｜B｜1=｜0｜=0，所以｜A｜=0或｜B｜=0．答案为D.8、设矩阵A与对角矩阵D＝相似，则A2＝A、－EB、EC、DD、A标准答案：B知识点解析：由于A～D，则存在可逆矩阵P，使D＝P-1AP．所以A＝PDP-1，A2＝PDP-1·PDP-1＝PEP-1，由D2＝＝E，得A2﹦PE2P-1＝E．故本题选B．9、二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12＋2x1x2－x22＋2x2x3＋x32＋x42的秩为A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：故r(A)＝4，则二次型f的秩也为4．10、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()A、α1+α2，α2+α3，α3+α1B、α1，α1+α2，α1+α2+α3C、α1一α2，α2一α3，α3一α1D、α1+α2，2α2+α3，3α3+α1标准答案：C知识点解析：显然(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0．11、设矩阵Am×n的秩为r(A)=m＜n，Im为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()A、A的任意m个列向量必线性无关B、A的任意一个m阶子式不等于零C、若矩阵B满足BA=O，则B=OD、A通过初等行变换，必可以化为(ImO)的形式标准答案：D知识点解析：矩阵Am×n的秩r(A)=m＜n．故A的行满秩，列不满秩，A的m个列向量可能线性无关也可能线性相关，且A通过初等行变换，可以化为(ImO)形式，故选D．答案为D。12、若α1,α2,α3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列答案中也是Ax=0的基础解系的为()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1B、α1，α2，α3的任意三个线性组合C、α1，α1一α2，α1一α2一α3D、α1，2α1,3α1标准答案：C知识点解析：本题考查基础解系的定义，基础解系必须线性无关，且与α1,α2,α3等价．答案为C。13、的根为()A、a+a，a+aB、0，a1+a2+a3+a4C、a1.a2.a3.a4，0D、0，一a1一a2一a3一a4标准答案：D知识点解析：提示2、3、4列加到第一列．答案为D。14、设A、B、C均为n阶方阵，且满足AB＝BA，BC=CB，则CAB＝A、ABCB、ACBC、BCAD、BAC标准答案：C知识点解析：因AB＝BA，BC＝CB，所以CAB＝CBA＝BCA．故C项正确．15、设A为m×n矩阵，秩为，r，C为n阶可逆矩阵，矩阵B=AC，秩(B)=r1，则()A、r1＞r2B、r＜r1C、r=r1D、r1与C有关标准答案：C知识点解析：∵C为可逆阵，且B=AC∴r(B)=r(AC)=r(A)=r，即r1=r．答案为C16、实二次型f(x1，x2，x3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2正定，则k的取值范围为()A、k＜0或k＞0B、-2＜k＜0或0＜k＜2C、一2＜k＜2D、k＜-2或k＞-2标准答案：B知识点解析：由于二次型的矩阵为，A正定，则顺序主子式大于零，即=4一k2＞0，一2＜k＜2，=k2(4一k2)＞0，k≠0且-2＜k＜2，所以k的取值范围是一2＜k＜0或0＜k＜2．17、下列命题中错误的是A、一个非零向量线性无关B、任意一个含零向量的向量组线性相关C、由4个三维向量组成的向量组线性相关D、由3个四维向量组成的向量组线性无关标准答案：D知识点解析：很显然A、B、C正确，举例法．设α1＝(1，2，3，4)T，α2＝(1，0，4，5)T，α3＝(1，-2．5．6)T．故r(A)＝2，显然α1，α2，α3线性相关，故D项错误．18、设行列式=0，则k的值为()A、一3或2B、2C、0D、一2或3标准答案：D知识点解析：=k2一2一k一4=k2一k一6一(k+2)(k一3)=0，所以k=一2或k=3．19、以下结论中不正确的是()A、二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22；是正定二次型B、若存在可逆实矩阵C，使A=C’C，则A是正定矩阵C、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正数D、n元实二次型正定的充分必要条件是f的正惯性指数为n标准答案：A知识点解析：f(x1，x2，x3)=x12+x22，对应的矩阵对任何实列向量x，都有xTAx≥0，故f为半正定二次型，答案为A.20、设矩阵，则()A、a=3，b=一1，c=1，d=3B、a=一1，b=3，c=1，d=3C、a=3，b=一1，c=0，d=3D、a=一1，b=3，c=0，d=3标准答案：C知识点解析：答案为C.二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)21、已知四阶行列式D的第二行元素为1，0，﹣2，3，第四行元素对应的代数余子式依次为6，﹣2，k，1，则k﹦______．FORMTEXT标准答案：9/2知识点解析：由行列式某行元素乘以不同行元素对应的代数余子式的和为零，得1×6+0×(－2)＋(－2)×k＋3×1＝0，得k＝9／2．22、已知方阵A与方阵相似，则A的特征值为_______．FORMTEXT标准答案：λ1=λ2=2，λ3=一2知识点解析：由于B的特征多项式为因此B的特征值为λ1=λ2=2，λ3=一2，而A与B相似，因此有相同的特征值．23、设3阶方阵A的特征值为λ1=1，λ2=1，λ3=2，则｜A｜=__________．FORMTEXT标准答案：一2知识点解析：｜A｜=λ1．λ2．λ3=一2．24、设向量α＝(1，0，－1)，则它的单位化向量为______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：25、当k=_________时，仅有零解．FORMTEXT标准答案：知识点解析：仅有全解→26、设矩阵，则A+P1TB＝______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：27、设A是n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，|A|=5，则方阵B=AA*的特征值是________，特征向量是________．FORMTEXT标准答案：5任意n维非零向量α知识点解析：因为AA*=A*A=|A|E，所以对于任意n维非零向量α，有AA*α=|A|Eα=|A|α．所以|A|=5是B=AA*的特征值，任意n维非零向量α为其对应的特征向量．28、设A为n阶方阵，｜A｜≠0，若A有特征值λ，则A*的特征值_________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由于｜A｜