全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷5（共225题）

全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷5（共9套）（共225题）全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第1套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、向量a={1，-1，2}与b={2，1，一1}的夹角为α，则cosα=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：2、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：3、r为圆周则∫rx2ds=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由对称性，∫rx2ds=∫ry2ds=∫rz2ds，则(2πa=∫rds：球面大圆周长)．4、微分方程y"=ex的通解是()A、exB、e2+C1C、ex+C1xD、ex+C1x+C2标准答案：D知识点解析：y"=ex，两边同时积分y’=ex+C1，两边再同时积分y=ex+C1x+C2．5、设幂级数的收敛半径分别为的收敛半径为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题意可知则所求收敛半径二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、微分方程x2dy+(3xy-y)dx=0的通解是_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：7、若级数=________FORMTEXT标准答案：10知识点解析：8、微分方程y"+2y’一3y=0的通解为_______．FORMTEXT标准答案：C1ex+C2e-3x知识点解析：特征方程为r2+2r-3=0，其根r1=1，r2=一3，故通解为y=C1ex+C2e-3x．9、幂级数e1+x在x=一1处展开式为______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：ex在x=0处的幂级数展开式为ex=故e1+x在x=-1处的幂级数展开式为e1+x=10、当|x|＜1时，无穷级数的和函数为______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因|x|＜1，则级数的首项为一1，故其和函数为三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求过点(0，1，4)且与平面x+2z=1及y一2z=2都平行的直线方程．标准答案：设所求直线的方向向量n={a，b，c}，则a+2c=0，b—2c=0，故a=一2c=一b．故取n={一2，2，1}，则所求直线方程为知识点解析：暂无解析12、求曲面处的切平面方程．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2一xyz在点P(1，一1，2)处沿方向l={1，0，1}的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析15、求函数z=x2+y2在条件下的极值．标准答案：构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=x2+y2+令是一个极小值点，知识点解析：暂无解析16、求其中D是以(0，0)(1，1)(0，1)为顶点的三角形．标准答案：无法用初等函数表示，故积分时必须考虑次序．知识点解析：暂无解析17、计算(x2ycosx+2xysinx—y2ex)dx+(x2sinx—2yex)dy，其中L为正向星形线标准答案：P=x2ycosx+2xysinx—y2ex，Q=x2sinx一2yex知识点解析：暂无解析18、求微分方程的通解．标准答案：由一阶线性微分方程的通解公式有知识点解析：暂无解析19、设∑为坐标面及平面x=1，y=1，z=1所围成的正方体表面的外侧，计算曲面积分(2xz2+y2一z)dxdy．标准答案：设Ω：0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1．由高斯公式得知识点解析：暂无解析20、一曲线通过点(1，3)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点平分，求该曲线方程．标准答案：设曲线方程为y=y(x)，曲线上任一点(x，y)的切线方程为由假设，当Y=0时，X=2x，代入上式，即得曲线所满足的微分方程为积分得xy=C，且由题意，初始条件为y|x=1=3，故C=3，从而所求曲线方程为xy=3．知识点解析：暂无解析21、求幂级数的收敛半径和收敛区间．标准答案：故级数的收敛半径为令t=x一1对t=2，原级数成为发散．对t=-2原级数成为是交错级数，由莱布尼茨判别法知该级数收敛，则该级数收敛区间为t∈[一2，2)，即x∈[一1，3)．知识点解析：暂无解析22、求级数(一1)n(n+1)xn的和函数x∈(一1，1)．标准答案：设其和函数为s(x)，其一般项为(一1)n(n+1)xn=[(-1)nxn+1]’．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、试确定a、b，使得(ay2一2xy)dx+(bx2+2xy)dy是某一个函数的全微分．标准答案：因P(x，y)=ay2一2xy，Q(x，y)=bx2+2xy，若Pdx+Qdy是某个函数的全微分，则故2ay一2x=2bx+2y，则a=1，b=一1．知识点解析：暂无解析24、求函数f(x，y)=2(x+y)一x2一y2的极值．标准答案：由得驻点(1，1)，又由于fxx=一2＜0，fxy=0，fyy=一2．而△=fxy2一fxxfyy=0一(一2)×(一2)=一4＜0，且fxx＜0，所以f(x，y)在点(1，1)处取得极大值f(1，1)=2×(1+1)一1—1=2．知识点解析：暂无解析25、试证f(x，y)=在点(0，0)处两个偏导数存在，但是函数f(x，y)在该点不连续．标准答案：知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第2套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设积分区域D是由直线x＝y，y＝0及所围成，则二重积分的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：．答案为D2、平面x+2y一3z+4=0的法向量为()A、{1，2，一3}B、{一1，2，一3}C、{1，一2，3}D、{1，一2，3}标准答案：A知识点解析：x+2y一3z+4=0的法向量为(1，2，一3)．3、微分方程y’+x2y=cosx是()A、一阶线性齐次微分方程B、一阶线性非齐次微分方程C、二阶微分方程D、可分离变量方程标准答案：B知识点解析：由一阶线性微分方程定义即知．4、已知f(1，2)＝7－10ln2为函数f(x，y)＝ax2＋bxy＋ay2＋clnx＋dlny的极小值，则a、b、c、d分别为()A、1，1，4，10B、－1，－1，－4，－10C、1，1，－4，－10D、－1，－1，4，10标准答案：C知识点解析：本题考查函数取极值的必要条件．f(x,y)＝ax2＋bxy＋ay2＋clnx＋dlny，则，由函数取极值的条件知f(1，2)取极小值．故a＋2b＋4a＋din2＝7－10ln2，即5a＋26＋dln2＝7－10ln2，所以d＝－10，5a＋2b＝7联立及2a＋2b＋c＝0得a＝1，b＝1，c＝－4．答案为C．5、设无穷级数收敛，则()A、p＞1B、p＜3C、p＞2D、p＜2标准答案：D知识点解析：此级数为P级数，根据其特点知，当3－P＞1时，即P＜2时该级数收敛．答案为D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、若，则．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为，则·，即．7、微分方程e－xdy＋e－ydx＝0的通解为________．FORMTEXT标准答案：ex＋ey＝C知识点解析：由e－xdy＋e－ydx＝0分离变量得eydy＝－exdx．两端积分得ey＝－ex＋C，即ex＋ey＝C8、设函数f(x)＝7πx＋x2(－π＜x＜π)的傅里叶级数展开式为(ancosnx＋bnsinnx)，则其系数b3＝_______.FORMTEXT标准答案：知识点解析：本题考查函数的傅里叶系数．9、已知z＝f(x＋y，xy)，其中f为可微函数，则dz＝________．FORMTEXT标准答案：(f’1＋yf’2)dx＋(f’1＋xf’2)dy知识点解析：10、微分方程xdy—ydx＝y2eydy的全部解为________．FORMTEXT标准答案：x＋yey＝Cy及y＝0知识点解析：y＝0是所给微分方程的解，下面考虑y≠0，将所给微分方程改写为所以，所给微分方程的全部解是及y＝0，即x＋yey＝Cy及y＝0．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求函数u(x，y，z)=在(一1，1，0)处的梯度．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求曲面x2＋2y2－3z＝0在点(2，1，2)处的法线方程．标准答案：设F(x，y，z)＝x2＋2y2－3zFx＝2x，Fy＝4y，Fz＝－3Fx(2，1，2)＝4Fy(2，1，2)＝4Fz(2，1，2)＝－3所求法线方程为．知识点解析：暂无解析13、计算(x2ycosx+2xysinx—y2ex)dx+(x2sinx—2yex)dy，其中L为正向星形线标准答案：P=x2ycosx+2xysinx—y2ex，Q=x2sinx一2yex知识点解析：暂无解析14、求经过点P(3，0，－1)，平行于平面π：3x－7y＋5z－12＝0的平面方程．标准答案：本题考查平面方程的求解．平面π的法向量为{3，－7，5)，所求平面平行于平面π，于是其点法式方程为3(x－3)－7y＋5(x＋1)＝0，即：3x－7y＋5z－4＝0．知识点解析：暂无解析15、设Ω是由旋转抛物面z=x2+y2，平面z=0及平面z=1所围成的区域，求三重积分．标准答案：积分区域Ω，如下图所示，Ω在Oxy坐标面上的投影域为Dxy：x2+y2≤1，(x2+y2+z)dxdydz=(r2+z)dz=知识点解析：暂无解析16、设L为折线OAB，其中O(0，0)，A(1，1)，B(1，0)，求曲线积分∫Lxyds．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求z=sinxcosy在点的切平面与法线方程．标准答案：令F(x，y，z)=sinxcosy一z，则知识点解析：暂无解析18、求过点(0，2，4)且与两平面x＋2z＝1和y－3z＝2平行的直线方程．标准答案：本题是有关直线方程的求解问题．平面x＋2z＝1和y－3z＝2的法向量分别为n1＝{1，0，2)和n1－{0，1，－3}．n1＝{1，0，2)和n1－{0，1，－3}．因所求直线与两平面均平行，从而其方向向量可取为v且有v⊥n1，v⊥n2．又直线过点(0，2，4)，从而所求直线的对称式方程为知识点解析：暂无解析19、求曲面z=3一x2一2y2上平行于平面2x+4y+z+8=0的切平面方程．标准答案：由z=3一x2一2y2，于是zx=一2x，zy=一4y，由于所求切平面平行于平面2x+4y+z+8=0，因此，解上式得x=1，y=1，z=0，则=—2，=—4，故所求平面方程为z=—2(x—1)—4(y—1)．知识点解析：暂无解析20、求函数u=x+y2+yz在曲线x=t，y=t2，z=t3上点(1，1，1)处，沿曲线在该点的切线正方向的方向导数．标准答案：切向量T=(t，2t，3t2)|(t,1)=(1，2，3)，e=，gradu|(1,1,1)=(1，2y+z，y)|(1,1,1)=(1，3，1)．所求方向导数为知识点解析：暂无解析21、计算三重分zdxdydz，其中Ω是由曲面z＝x2＋y2，z＝0及x2＋y2＝1所围区域．标准答案：知识点解析：暂无解析22、已知可导函数f(x)满足f(x)=2+∫0xtf(t)dt，求函数f(x)．标准答案：由f(x)=2+∫0xtf(t)dt，两边同时求导得：知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、(1)已知函数x+y+z=sin(x+y+z)，求z对x，y的一阶与二阶偏导数；(2)已知函数z=，求dz．标准答案：(1)令F(x，y，z)=x+y+z一sin(x+y+z)，则Fx=Fy=Fz=1一cos(x+y+z)．故(2)所以dz==知识点解析：暂无解析24、将函数展开成(x＋4)的幂级数．标准答案：本题考查函数幂级数展开成立的区间．知识点解析：暂无解析25、设z=y+F(u)，u=xn一yn，其中F是可微函数，证明标准答案：知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第3套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、平面π1：x－4y＋z＋5＝0与π2：2x－2y－z＋3＝0的夹角θ＝()A、πB、C、D、标准答案：C知识点解析：本题考查空间两平面的夹角．由题意知平面π1、π1的法线向量分别为n1＝{1，－4，1)，n2＝{2，－2，－1)．知｜n1｜，｜n2｜＝3，n1.n22＋8—1＝9，所以cosα＝．答案为C．2、设函数f(x，y)满足fx(x0，y0)＝f(x0，y0)＝0，则函数f(x，y)在点(x0，y0)处()A、一定连续B、一定有极值C、一定可微D、偏导数一定存在标准答案：D知识点解析：本题考查函数在某点处的性态．由二元函数连续可微的定义可知，fx(x0，y0)＝0(x0，y0)＝0不能推出f(x，y)在点(x0，y0)处一定连续，可微．而fx(x0，y0)＝fy(x0，y0)＝0只是极值存在的必要条件，不能推出f(x，y)在点(x0，y0)处一定有极值．由偏导数的定义可知，D选项正确．答案为D．3、设B是圆形区域x2＋y2≤4，则二重积分dxdy＝()A、B、C、4πD、π标准答案：B知识点解析：令x＝rcosθ，y＝rsinθ，则0≤θ≤2π，0≤r≤2∴答案为B．4、已知二阶常系数线性齐次微分方程y"＋Py’＋qy＝0的通解为y＝ex(C1sin2x＋C2cos2x)，则常数p和q分别为()A、－2和5B、2和－5C、2和3D、－2和－3标准答案：A知识点解析：依题知特征方程r2＋pr＋q＝0有一对共轭复根，r＝1±2i，代入特征方程得：P＝－2，q＝5．答案为A．5、级数＋…()A、发散B、收敛于C、收敛于0D、收敛于标准答案：B知识点解析：该级数是公比．故该级数收敛，且和为。答案为B。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、若向量两两的夹角都为＝_______．FORMTEXT标准答案：5知识点解析：只需求出．设向量的夹角为θab，则．由已知条件．同理，于是7、设函数＝_______.FORMTEXT标准答案：知识点解析：8、二重积分＝_______．FORMTEXT标准答案：f(a)－f(0)知识点解析：本题考查二重积分的计算．由题意知，积分区域如下图所示．9、微分方程y"’－3y＝sinx的阶数是_______．FORMTEXT标准答案：3知识点解析：由题意知：特征方程：r3一3r＝0r(r2－3)＝0∴r＝0或r＝±故此微分方程的阶数是3阶．10、将函数展开为(x－2)的幂级数_______．FORMTEXT标准答案：(x－2)n，1＜x＜3知识点解析：先将函数改写成变量为(x－2)的表达形式，则再在－1＜x＜1内，将展开式中的x代换为(x－2)，可得，－1＜x－2＜1．解其中的不等式可得收敛域为1＜x＜3．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求过点(3，3，－2)并且与平面2x－y＋z－3＝0垂直的直线方程．标准答案：所求直线的方向向量为{2，－1，1}所以所求直线方程为．知识点解析：暂无解析12、设．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求函数f(x，y，z)＝x2－y＋z2在点P(2，－1，2)处沿方向L＝{2，－1，2)的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求函数z＝x2－y2在点(1，1)处，沿与x轴正向成60°角的方向l的方向导数．标准答案：本题考查函数在某点处的方向导数．zy＝2x，zy＝－2y，又，(1,1)cosα＋zy(1，1)cosβ＝．知识点解析：暂无解析15、计算积分。标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算。标准答案：本题考查三重积分的计算．用球坐标系：知识点解析：暂无解析17、计算对弧长的曲线积分，其中C是圆周x2＋y2＝1．标准答案：原式＝∮ce2ds＝e2∮cds＝2πe2．知识点解析：暂无解析18、计算∫L(x＋2y)dx＋xdy，其中L是从点(0，1)沿曲线(x≥0)到点(1，0)．标准答案：L的参数方程为，故∫L(x＋2y)dx＋xdy＝[(cos3t＋2sin3t)(－3cos2tsint)＋3sin2tcos4t]dt知识点解析：暂无解析19、求微分方程y"－2y’－3y＝0的通解．标准答案：特征方程为r2－2r－3＝0特征根为r1＝－1，r2＝3方程通解为y＝C1e－x＋C2e3x.知识点解析：暂无解析20、求下列微分方程满足所给初始条件的特解：y"＋4y’＋29y＝0，y’｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝15．标准答案：本题考查微分方程的求解．与原齐次方程对应的特征方程为，r2＋4r＋29＝0此方程的解为r1＝－2＋5i，r2＝－2＝－5i。故所给方程的通解为y＝e－2x(C1cos5x＋C2sin5x)y’＝5e－2x(－C1sin5x＋C2cos5x)－2e－2x(C1cos5x＋C2sin5x)＝e－2x[(－5C1－2C2)sin5x＋(5C2－2C1)cos5x]把初始条件y｜x＝0＝0，y’｜x＝0＝15代入上面两式解得C1＝0，C2＝3故所求特解为y＝3e－2xsin5x．知识点解析：暂无解析21、判断无穷级数的敛散性．标准答案：∵∴由达朗贝尔判别法得，原级数收敛．知识点解析：暂无解析22、求幂级数的收敛区间．标准答案：令x－3＝t，原级数转化为故级数(1)的收敛半径R＝1．当t＝1时级数(1)成为∵．当t＝－1时，级数(1)成为是交错级数，收敛．因此级数(1)的收敛域为[－1，1]，即原级数当－1≤x－3≤1时收敛，从而原幂级数的收敛域为[2，4]．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求函数z＝x3＋8y3－6xy＋5的极值．标准答案：(1)令，解这个方程组．第一个方程可变为x2＝2y，第二个方程可变为x＝4y2＝(2y)2．于是得到x＝(x2)2＝x4，进而变为x(x3－1)＝0．得到x1＝0，x2＝1，从而方程组的解为。得到两个驻点M1(0，0)和M2．求函数的二阶偏导数A＝zxx＝6x，B＝zxy＝－6，C＝zyy＝48y．在点M1(0，0)处，A＝0，B＝－6，C＝0，因此△＝B2＝AC＝36＞0．则在点M1(0，0)处函数不取得极值．在点M2处，A＝6，B＝－6，C＝24，因此△＝B2－AC＝－108＜0．则在点M2处，函数取得极值．因A＞0，则是极小值．注：多元函数求极值一般分为两个步骤，第一步是求出可疑的极值点(驻点、不可导点)，第二步是在可疑点处判断是否取得极值．对于第一步，通常是找驻点，其方法是令函数的各个偏导数等于零，然后解这个由偏导数构成的方程组．对于第二步，当函数有二阶偏导数时，可用取得极值的充分条件来判断驻点是否为极值点．知识点解析：暂无解析24、设曲线y＝z(x)在其上点(x，y)处的切线斜率为4x2＝，且曲线过点(1，1)，求该曲线的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析25、将函数ln(3＋x)展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间．标准答案：本题考查函数幂级数展开成立的区间．知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第4套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、点P(2，一3，1)关于Oxz坐标面的对称点是()A、(一2，3，一1)B、(一2，一3，一1)C、(2，一3，一1)D、(2，3，1)标准答案：D知识点解析：设点P(2，-3，1)关于Oxy坐标面的对称点为P0(x0，y0，z0)，则x0=x，y0=-y，z0=z，故P0(2，3，1)．2、记其中D1={(x，y)|x2+y2≤1)，D2={(x，y)|1≤x2+y2≤2)，D3={(x，y)|2≤x2+y2≤4)，则下列关系式中________成立．()A、I2＜I3＜I1B、I1＜I2＜I3C、I2＜I1＜I3D、I3＜I2＜I1标准答案：D知识点解析：由在D1上(等号仅在圆周x2+y2=1上取到)知，I1＞0；由在D2上-1≤知I3＜一π．于是有I3＜I2＜I1．3、y"=sin(一x)的通解为()A、sin(一x)B、一sin(一x)+C1x+C2C、一sin(一x)D、sin(一x)+C1x+C2标准答案：B知识点解析：对方程两边积分得y’=cos(一x)+C1，对方程两边积分得y=一sin(一x)+C1x+C2，即为原方程的通解．4、微分方程x3y2dx一(2y+xysinx)dy=0是()A、可分离变量微分方程B、一阶线性齐次微分方程C、一阶线性非齐次微分方程D、齐次微分方程标准答案：A知识点解析：暂无解析5、设无穷级数收敛，则()A、P>1B、p<一1C、P<1D、p>一1标准答案：B知识点解析：无穷级数，当一p>1，即p<一1时收敛，故选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、Oxy平面上的抛物线y2＝4x绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是____________FORMTEXT标准答案：y2＋z2＝4x知识点解析：Oxy平面上的抛物线y2＝4x的对称轴为x轴，因此所求旋转曲面方程为)2＝4x，即y2＋z2＝4x．7、微分方程xdy＝(x＋y2／x＋y)dx的通解为____________FORMTEXT标准答案：arctany／x＝lnx＋C知识点解析：原方程可化为dy／dx＝1＋y2／x2＋y／x．令u＝y／x，则y＝ux，dy／dx＝u＋du／dx．故u＋xdu／dx＝1＋u2＋u．分离变量积分得，arctanu＝lnx＋C．将u＝y／x代入得原方程的通解为arctany／x＝lnx＋C．8、微分方程ydx－xdy＝0的通解为____________FORMTEXT标准答案：y＝Cx(C为任意常数)知识点解析：ydx－xdy＝0，即dy／y＝dx／x两边同时积分得lny＝lnx＋lnC即y＝Cx．(C为任意常数)9、若＝_______．FORMTEXT标准答案：．知识点解析：本题考查函数的偏导数．10、微分方程y"＋4y＝0的通解y＝______．FORMTEXT标准答案：C1sin2x＋C2cos2x知识点解析：y"＋4y＝0，特征方程为r2＋4＝0，∴r＝±2i，则通解为C1sin2x＋C2cos2x．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、求方程y〞－4yˊ＋4y＝0的通解标准答案：y〞－4yˊ＋4y＝0的特征方程为r2－4r＋4＝0，其特征根为r1＝r2＝2，故所求特解为y＝（C1＋C2x）e2x．知识点解析：暂无解析12、已知级数收敛，证明级数是绝对收敛标准答案：＝｜an／n｜≤1／2（an2＋1／n2），由于级数均收敛，故原级数绝对收敛．知识点解析：暂无解析应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数13、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；标准答案：设un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，则当｜x2｜＜1时原级数收敛，故原级数的收敛半径为R＝1，当x＝±1时，则原级数可化为1／2n，故其发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），内逐项求导得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知识点解析：暂无解析14、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．标准答案：设an＝n，R＝＝1，当x＝±1时原级数均发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)＝，逐项积分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函数S(x)＝x2／（1－x）2．知识点解析：暂无解析15、设D是由x2＋y2＝π2与x2＋y2＝4π2所围成的区域，求二重积分标准答案：令x＝rcosΘ，y＝rsinΘ且0≤θ≤2π，π≤r≤2π，所以知识点解析：暂无解析16、在所有周长等于6的直角三角形中，求出斜边最小的三角形．标准答案：设直角三角形的两直角边为x，y，斜边为z，则有，构造拉格朗日函数L(x，y)=+λ(x+y+z一6)=(1+λ)+λ(x+y一6)，解方程组当λ=一1时，方程组的前两个式子都不成立，故λ≠一1．解得x=y=3(2一)．由于实际情况必存在斜边最小值，故当直角三角形的两直角边长均为3(2一)时，斜边最小．知识点解析：暂无解析17、求空间曲线L：x＝2t，y＝t2，z＝t3在点(2，1，1)处的法平面方程．标准答案：所求法平面的法向量为所以所求法平面为2(x－2)＋2(y－1)＋3(z－1)＝0即2x＋2y＋3z－9＝0．知识点解析：暂无解析18、将函数f(x)=展开成x的幂级数．标准答案：|x|＜+∞，将其中的x换成一x2，得到|—x2|＜+∞，|x|＜+∞，从而知识点解析：暂无解析19、求函数f(x，y)=ln(xy2+x)的梯度gradf(x，y)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求z=x2ey+(x一1)arctan在点(1，0)处的一阶偏导数，全微分．标准答案：dz|(1,0)=2dx+dy．知识点解析：暂无解析21、求周期函数f(x)＝｜sinx｜的傅里叶级数展开式．标准答案：f(x)＝｜sinx｜是周期为π的周期函数．由于f(x)在上是偶函数，所以知识点解析：暂无解析22、设L是圆周x2＋y2＋2y＝0，求关于弧长的曲线积分∫L(y2x＋x4)ds．标准答案：知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、将函数f(x)＝1／（2＋x）展开为x的幂级数标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x，y)连续，D是由y=0，y=x2，x=1所围成的区域，且有求f(x，y)．标准答案：积分区域如右图，因D是一有界闭区域，f(x，y)连续，所以为一定值I．知识点解析：暂无解析25、求球S1：x2＋y2＋z2＝a2位于柱面S2：x2＋y2＝a｜x｜(a＞0)之内部分的面积及球x2＋y2＋z2≤a2位于柱面S2之内部分的体积．标准答案：(1)记S1位于S2之内部分为∑．由于它在各个卦限的面积相等，所以S的面积为A＝8A1(其中A，为∑在第一卦限部分∑1的面积)．由于∑1的方程为(x，y)∈Dxy)，其中Dxy是∑1在xOy平面上的投影区域，即Dxy＝{(x，y)｜x2＋y2≤ax，y≥0)，所以由此得到(2)记球x2＋y2＋z2≤a2位于柱面内的立体为Ω，则Ω的体积为V＝8V1(其中V1是Ω位于第一卦限部分Ω1的体积)．知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第5套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、在空间直角坐标系中，方程3y－4z＝0的图形是（）A、垂直于x轴的平面B、平行于x轴的直线C、通过原点的直线D、通过x轴的平面标准答案：D知识点解析：暂无解析2、若函数f(x，y)在(x0，y0)点存在偏导数，且在该点取得极小值，则下列结论正确的是（）A、一定是最小值点B、一定是驻点C、一定是最大值点D、无法判断标准答案：B知识点解析：偏导存在极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点；极值点不一定是最值点．3、设f(x)是连续函数，区域D：x2＋y2≤4，则二重积分＝（）A、B、C、D、标准答案：A知识点解析：4、微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的通解y＝（）A、C1ex。B、(C1cosx＋C2sinx)exC、(C1＋C1x)exD、C1sinxex标准答案：C知识点解析：微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的张、特征方程为r3－2r＋1＝0，故微分方程的特征根r1＝r2＝1，故微分方程的通解为y＝（C1＋C2x）ex．5、下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（）A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：对于选项A由于，故此级数发散；对于选项B，由于也发散；对于选项D，由于，故选项D也发散；选项C故397收敛．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、过点(1，4，－1)并且平行于Oyz坐标面的平面方程为____________FORMTEXT标准答案：x－1＝0知识点解析：因为所求的平面平行于Oyz坐标面，故设其方程为Ax＋D＝0，又因为该平面过点（1，4，－1），所以A＋D＝0，即A＝－D，因此所求平面方程为x－1＝0．7、设函数z＝exy(x2＋y－1)，则＝____________FORMTEXT标准答案：exy（x2y＋2x＋y2－y）知识点解析：函数z＝exy（x2y＋2x＋y－1），则＝yexy（x2＋y－1）＋exy（2x）＝exy（x2y＋y2－y）＋2xexy＝exy（x2y＋2x＋y2－y）8、设∑为平面x＋y＋z＝1，第一卦限中的部分，则对面积的曲面积分＝____________FORMTEXT标准答案：知识点解析：9、已知y1＝ex，y2＝x2是微分方程y’＋P(x)y＝Q(x)的两个特解，则Q(x)＝____________FORMTEXT标准答案：（x2－2x）ex／x2－ex知识点解析：将y1＝ex，y2＝x2代入微分方程y’＝P(x)y＝Q(x)得解方程组得Q(x)＝（x2－2x）ex／x2－ex．10、无穷级数1／1·6＋1／6·11＋…＋1／［（5n－4）（5n＋1）］＋…的和为____________FORMTEXT标准答案：1／5知识点解析：Sn＝1／1·6＋1／6·11＋…＋1／（5n－4）（5n＋1）＝1／5（1－1／6＋1／6－1／11＋…＋1／5n―4―1／5n＋1）＝1／5（1－1／5n＋1）．1／5（1－1／5n＋1）＝1／5．故所求无穷级数的和为1／5．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、设平面π1：2x－y＋z－7＝0和平面π2：x＋y＋2z－11＝0，求π1和π2的夹角标准答案：设两平面的夹角为Θ，由于两平面的法向量分别为n1＝｛2，－1，1｝，n2＝｛1，1，2｝，故即两平面的夹角Θ＝π／3．知识点解析：暂无解析12、求曲面z＝arctan（y／x）＋x－y在点(1，1，π／4)处的切平面方程标准答案：Zx＝则Zx（1，1）＝1／2，Zy（1，1）＝－1／2，故所求切平面方程1／2（x－1）－1／2（y－1）－（z－π／4）＝0．知识点解析：暂无解析13、设方程z2＋xyz－exy＝1确定函数z＝z(x，y)，求标准答案：令F（x，y，z）＝z2＋xyz－exy－1，则知识点解析：暂无解析14、求函数f(x，y)＝ln(x2y＋x)的梯度gradf(x，y)标准答案：Fx＝（2xy＋1）／x2y＋x，fy＝x2／x2y＋x＝x／xy＋1，故gardf(x，y)＝［（2xy＋1）／x2y＋x，x／xy＋1］．知识点解析：暂无解析15、计算积分标准答案：知识点解析：暂无解析16、已知积分区域Ω是由x2＋y2＝1，z＝－1及z＝1所围成，求三重积分标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算对坐标的曲线积分，其中L为从(1，1，1)到(3，4，5)的直线段标准答案：由题意知，直线的参数方程为x＝1＋2t，y＝1＋3t，z＝1＋4t（0≤t≤1），故知识点解析：暂无解析18、计算对坐标面的曲面积分，其中∑是柱面x2＋y2＝1(0≤z≤1)外侧标准答案：积分区域，如下图所示，利用柱坐标变换．令x＝cosΘ，y＝sinΘ，0≤z≤1．知识点解析：暂无解析19、求微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的通解标准答案：微分方程的特征方程为r2－2r＋1＝0，则其特征根为r1＝r2＝1，故所求通解为y＝（C1＋C2x）ex．知识点解析：暂无解析20、求一曲线，使得该曲线上任意点(x，y)处的切线平行于x＋3y＝1，且点(1，2)在该曲线上标准答案：由题意知yˊ＝－1／3，所以y＝－1／3＋C．又因为点（1，2）在该曲线上，故有C＝2＋1／3＝7／3，因此所求方程为y＝－1／3x＋7／3即3y＋x＝7．知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性标准答案：因此该级数收敛．知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)＝的傅里叶级数展开式为求系数a3标准答案：an＝故a3＝－2／9π．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求曲面x2＋y2＋z＝4将球体x2＋y2＋z2≤4z分成两部分的体积之比标准答案：由得z＝1，z＝4（两曲面的切点），两曲面的交线为如下图所示，两曲面所交的体积为V1和V22．V2＝4／3π·23－37／6π＝27／6π．故V1／V22＝37／27．知识点解析：暂无解析24、计算，其中∑是圆锥曲面z2＝x2＋y2平面z＝0和z＝2所围成的区域的外侧标准答案：由∑区域(如下图所示)是封闭曲面，故．知识点解析：暂无解析25、求旋转抛物面z＝x2＋y2被平面z＝2和z＝0所截部分的曲面面积标准答案：曲面Oxy平面上的投影区域D(如下图所示)：x2＋y2≤2，且＝2x，＝2y．设所要求的曲面面积为S，则知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第6套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设函数f(x，y)在(x0，y0)处偏导数存在，则fx(x0，y0)＝()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：根据偏导数的定义可得出答案．答案为A．2、设f(x，y)在点(x0，y0)处偏导数存在，则＝()A、2fx(x0，y0)B、fx(x0，y0)C、fx(x0，y0)D、f’(x0，y0)标准答案：A知识点解析：答案为A．3、设f(u)是连续函数，区域D：x2＋y2≤1，则二重积分＝()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：答案为B．4、微分方程y’＋x2y＝cosx是()A、一阶线性非齐次微分方程B、一阶线性齐次微分方程C、二阶微分方程D、可分离变量方程标准答案：A知识点解析：由一阶线性微分方程的定义即知．答案为A．5、若，k是常数，则级数()A、收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与k值有关标准答案：D知识点解析：若k＝0，则收敛，否则发散，故的收敛性与k有关．答案为D．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设函数z＝arctan(x＋y)，则＝_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：．7、设u＝f(x)可导，则复合函数u＝f(xyz)的全微分du＝_______．FORMTEXT标准答案：yzf’(xyz)dx＋xzf’(xyz)dy＋xyf’(xyz)dz知识点解析：由题得8、已知sinxdx＋cosydy是某个函数u(x，y)的全微分，则u(x，y)＝_______．FORMTEXT标准答案：－cosx＋siny＋C知识点解析：根据全微分的定义，，则u(x,y)＝∫sinxdx＋∫cosydy＝－cosx＋siny＋C．9、微分方程是_______方程．FORMTEXT标准答案：一阶可分离变量知识点解析：本题考查微分方程的定义．由可分离变量微分方程的定义可知，，所以该方程为一阶可分离变量方程．10、设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[－π，π)上表达式为，s(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则s(π)＝_______．FORMTEXT标准答案：知识点解析：因为f(x)是周期为2π的周期函数，可得x＝π为f(x)的间断点，根据狄里克雷收敛准则，可得f(x)的傅里叶级数在x＝π处收敛于．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、设平面π过点P1(1，2，－1)和点P2(－5，2，7)，且平行于y轴，求平面π的方程。标准答案：设平面π为Ax＋By＋Cz＋D＝0∵π平行于y轴∴{A，B，C).{0，1，0)＝0得B＝0∵点P1(1，2，－1)和P2(－5，2，7)在平面π上∴所以所求平面π：4x＋3z－1＝0．知识点解析：暂无解析12、设．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设函数，求全微分dz．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求抛物面z＝3x2＋4y2在点(0，1，4)处的切平面方程．标准答案：zx＝6x，zy＝8y，zx(0，1)＝0，zy(0，1)＝8故取法向量n＝{0，8，－1}∴切平面方程为0.(x－0)＋8(y－1)－(z－4)＝0即8y—z＝4．知识点解析：暂无解析15、求曲面x2＋y2＋2z2＝23在点(1，2，3)处的切平面方程．标准答案：设F(x，y，z)＝x2＋y2＋2z2－23∵F’(1，2，3)＝2x｜p0＝2F’y(1，2，3)＝2y｜p0＝4F’(1，2，3)＝4z｜P0＝12∴所求平面方程为2(x－1)－b4(y－2)＋12(z－3)＝0即x＋2y＋6z＝23．知识点解析：暂无解析16、I＝(x2＋y2)dv，Ω是由曲面x2＋y2＝2z及平面z＝2围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算三重分zdxdydz，其中Ω是由曲面z＝x2＋y2，z＝0及x2＋y2＝1所围区域．标准答案：知识点解析：暂无解析18、把对坐标的曲线积分∫LP(x，y)dx＋Q(x，y)dy化成对弧长的曲线积分，其中L为：沿上半圆周x2＋y2＝2x从点(0，0)到点(1，1)．标准答案：本题考查曲线积分的应用．知识点解析：暂无解析19、计算对坐标的曲线积分(1—3y)dx＋(1—2x—y)dy，其中C为区域D：｜x｜≤1，y≤1的正向边界曲线．标准答案：由格林公式∮C(1—3y)dx＋(1－2x＋y)dy＝∫∫d[(－2)－(－3)]dxdy＝∫∫Ddxdy知识点解析：暂无解析20、求微分方程的通解．标准答案：线性微分方程的特点是其中的未知函数及其导数都是一次方，本题中的y及其导数y’都是一次方，故为一阶线性微分方程．原方程变形为，Q(x)＝－x．按一阶线件微分方程的通解涌公式得所以原万程的通解为y＝x2(－ln｜x｜＋C)．注：这类方程的解法有两种，一种是将其化为标准形式：＋P(x)y＝Q(x)，找出方程中的P(x)、Q(x)，按一阶线性微分方程的通解公式：y＝e－∫p(x)dx[∫Q(x)e∫p(x)dxdx＋C]求解；另一种方法是利用常数变易法求解．此题也可用常数变易法求解．知识点解析：暂无解析21、判断无穷级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求幂级数的收敛半径和收敛域．标准答案：∴级数的收敛半径为对x＝2，原级数成为发散．对x＝－2，原级数成为是交错级数，由莱布尼茨判别法菇该级数收敛。∴级数的收敛半径为2。收敛域是[一2,2)．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求函数f(x，y)＝x2＋xy＋y2－6x－3y的极值．标准答案：得驻点(3，0)∵fxx(x，y)＝2fxy(x，y)＝1fyy(x，y)＝2而B2－AC＝1—4－3＜0A＝2＞0∴f(x，y)在(3，0)处取得极小值为f(3，0)＝－9．知识点解析：暂无解析24、设Ω为曲面x2＋y2＝az与(a＞0)所围的封闭区域，求Ω的表面积．标准答案：本题考查曲面积分的求解．由于表面由抛物面与锥面两部分构成．记抛物面部分面积为S1，锥面部分面积为S2，则S＝S1＋S2．故S＝S1＋S2＝．知识点解析：暂无解析25、将函数展开为x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第7套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、过点(0，2，4)且与半面x＋2z＝1及y－2z＝2－都平行的直线是()A、B、C、D、－2x＋3(y－2)＋z－4＝0标准答案：C知识点解析：设直线的方向向量v＝{x，y，z).则：又该直线过(0，2，4)点∴直线方程为：．答案为C。2、已知函数f(x＋y，x－y)＝x2y2，则fx(x，y)＋fy(x，y)＝()A、2x－2yB、x＋yC、2x＋2yD、x－y标准答案：D知识点解析：因f(x＋y，x－y)＝x2－y2＝(x＋y)(x－y)故f(x，y)＝xy从而fx(x，y)＋fy(x，y)＝y＋x．答案为B。3、设＝()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：。答案为D。4、设曲线C是从点A(1，0)到点B(－1，2)的直线段，则∫C(x＋y)dy＝()A、0B、2C、D、标准答案：B知识点解析：过点A和B的直线为x＋y＝1，故。答案为B．5、记，其中D1＝{(x，y)｜x2＋y2≤1}，D2＝{(x，y)｜1≤x2＋y2≤2}，D3＝{(x，y)｜2≤x2＋y2≤4}，则下列关系式中________成立．()A、I1＜I2＜I3B、I2＜I1＜I3C、I2＜I3＜I1D、I3＜I2＜I1标准答案：D知识点解析：由在D1上(等号仅在圆周x2＋y2＝1上取到)知，I1＞0；由在D2上－1≤知－π≤I2≤0；由在D3上≤－1知I3＜－π．于是有I3＜I2＜I1．答案为D。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、已知向量a＝{－1，3，－4}和b＝{2，0，1}，则3a＋6＝_______.FORMTEXT标准答案：{－1，9，－11}知识点解析：a＝{－1，3，－4}，b＝{2，0，1}＝{－3，9，－12)＋{2，0，1}＝{－1，9，－11}．7、若＝_______．FORMTEXT标准答案：．知识点解析：本题考查函数的偏导数．8、设积分区域D．x2＋y2≤4，则二重积分(x，y)dxdy在极坐标下化为二次积分为________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：由积分区域，x2＋y2≤4即x2cos2θ＋r2sin2θ≤4r2≤4∴r≤2．∴．9、的通解为_______．FORMTEXT标准答案：y＝lnxy＋C知识点解析：本题考查微分方程的通解．两边积分得lnx＝y－lny－C，即y＝lnxy＋C．10、无穷级数的和为________．FORMTEXT标准答案：e知识点解析：易知：三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)11、已知平面π1：mx－3y＋4z－7＝0与π2：2x＋6y－nz＋3＝0表示两个互相平行的平面，求m和n的值．标准答案：平面π1和π2的法向量分别为n1＝{m，－3，4)和n2＝{2，6，－n)若两平面互相平行，则n1∥n2，即解之得m＝－1，n＝8．知识点解析：暂无解析12、设w＝xyez，且x2＋2y＋z－3＝0，求．标准答案：由方程x2＋2y＋z－3＝0得z＝3－x2－2y，则．所以，知识点解析：暂无解析13、在曲面z＝xy上求一点，使这点的法线垂直于平面x＋3y＋z＋9＝0，并写出法线方程．标准答案：易知平面x＋3y＋z＋9＝0的法向量为n1＝{1，3，1)．令F(x，y，z)＝z－xy则Fx＝y，Fy＝－x，Fz＝1从而曲面上任一点(x0，y0，z0)处的法向量为n2＝{－y0，－x0，1}依题意知n1∥n2故有即x0＝－3，y0＝－1从而曲面上点(3，－1，3)处的法线垂直于平面x＋3y＋z＋0＝0．该点处的法线方程为．知识点解析：暂无解析14、计算二重积分，其中B是由y＝x2，y＝x所围成的区域．标准答案：B可表示为0≤x≤1，x≤y≤x，由此将二重积分化为累次积分．知识点解析：暂无解析15、计算I＝(x2＋y2)dxdydz，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z＝2，z＝8所围成的立体。标准答案：知识点解析：暂无解析16、设L是圆周x2＋y2＋2y＝0，求关于弧长的曲线积分∫L(y2x＋x4)ds．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算曲面积分∫∫∑f(x,y,z)dS，其中∑为抛物面z＝2－(x2＋y2)在Oxy面上方的部分，f(x，y，z)＝1．标准答案：∑在Oxy面上的投影域为Dxy：x2＋y2≤2知识点解析：暂无解析18、计算dxdydz，Ω为柱面及平面z＝0，z＝a(a＞0)，y＝0所围成的区域．标准答案：Ω在xOy平面上的投影区域D由y＝，y＝0围成，利用柱面坐标系，即r＝2cosθ(0≤θ≤)及θ＝0．故知识点解析：暂无解析19、解方程y"－2y’－3y＝2x＋1．标准答案：该方程对应的齐次方程为y"－2y’－3y＝0，特征方程为r2－2r－3＝0，特征根为r1＝3，r2＝－1于是齐次方程通解为y＝C1e3x＋C2e－x设非齐次特解为y*＝ax＋b代人原方程得故原方程的一个特解为从而原方程的通解为y＝C1e3x＋C2e－x－．知识点解析：暂无解析20、将函数展开成x的幂级数，并求收敛区间．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求幂级数的收敛区间．标准答案：收敛故收敛区间为[－1，1]．知识点解析：暂无解析22、求微分方程满足条件y｜x＝1＝1的特解．标准答案：将方程变形为方程的通解为，将条件y|x－1＝1代入，得，所以所求特解为．知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求函数f(x，y)＝4(x－y)－x2－2y2的极值．标准答案：而△＝B2－AC＝－8＜0且A＝－2＜0∴f(x，y)在点(2，－1)处取得极大值为f(2，－1)＝6．知识点解析：暂无解析24、设平面薄板所占Oxy平面上区域D，其中D是由曲线，y＝x，x＝2所围，薄板上每一点的密度等于该点的纵坐标，求该薄板的质量．标准答案：由于D＝{(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤x)，所以知识点解析：暂无解析25、将函数f(x)＝xarctanx展开为x，的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第8套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、微分方程y"＝ex的通解是（）A、ex＋C1x＋C2B、exC、ex＋C1xD、ex＋C1标准答案：A知识点解析：y〞＝ex，两边同时积分yˊ＝ex＋C1，两边再同时积分y＝ex＋C1x＋C2．2、微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的通解y＝（）A、C1ex。B、(C1cosx＋C2sinx)exC、(C1＋C1x)exD、C1sinxex标准答案：C知识点解析：微分方程y〞－2yˊ＋y＝0的张、特征方程为r3－2r＋1＝0，故微分方程的特征根r1＝r2＝1，故微分方程的通解为y＝（C1＋C2x）ex．3、设B是圆形区域x2+y2≤4，则二重积分()A、4πB、πC、D、标准答案：C知识点解析：令x=rcosθ，y=rsinθ，则0≤θ≤2π，0≤r≤2，故4、下列命题中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：可用排除法，A选项对于交错级数不成立；对于B选项，若un=，vn=，则与vn都发散，但(un+vn)=0收敛，故B选项错误；对于D选项，当收敛时，有可能为1，故D选项错误；则选C．5、交换积分顺序，则f(x，y)dy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由二重积分f(x，y)dy可知，积分区域D：0＜x＜1，0＜y＜，如下图所示，故原积分=f(x，y)dx．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、设区域D：0≤x≤1，｜y｜≤2，则二重积分(x＋ysinx)dxdy的值等于________．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：先画出D区域7、设f(x)=则f(x)的傅里叶级数的和函数在处的值为_______.FORMTEXT标准答案：知识点解析：将f(x)作以2π为周期的延拓且f(x)按段光滑．而是f(x)的间断点，故f(x)收敛于即f(x)的傅里叶级数的和函数在8、计算＝_______，其中∑为z＝x2＋y2上z≤1的部分．FORMTEXT标准答案：3π知识点解析：曲面∑的方程为z＝x2＋y2(0≤z≤1)上图所示，∑在xOy平面上的投影区域为Dxy：x2＋y2≤1．此时注意到9、微分方程y"＋2y’＋5y＝0的通解为________．FORMTEXT标准答案：y＝e－x(C1cos2x＋C2sin2x)知识点解析：本题考查二阶常系数齐次微分方程的通解．对应于微分方程y"＋2y’＋5y＝0的特征方程为λ2＋2λ＋5＝0，所以特征根为λ＝－1±2i，所以微分方程的通解为y＝e－x(C1cos2x＋C2sin2x)．10、设函数＝_______.FORMTEXT标准答案：知识点解析：三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数11、x2／2＋x4／4＋…＋x2n／2n＋…；标准答案：设un＝x2n／2n，故｜un＋1／un｜＝x2，则当｜x2｜＜1时原级数收敛，故原级数的收敛半径为R＝1，当x＝±1时，则原级数可化为1／2n，故其发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)x2n／2n，在x∈（－1，1），内逐项求导得Sˊ(x)＝x2n－1＝1／1－x2故S(x)＝＝－1／2ln（1－x2）x∈（－1，1）．知识点解析：暂无解析12、x2＋2x3＋3x4＋…＋nxn＋1＋…．标准答案：设an＝n，R＝＝1，当x＝±1时原级数均发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)＝，逐项积分得＝x／1－xx∈（－1，1）．故f(x)＝（x／1－x）’＝1／（1－x）2故和函数S(x)＝x2／（1－x）2．知识点解析：暂无解析13、求函数f(x，y)＝x2－xy＋y2的梯度gardf(1，－1)标准答案：fx＝2x－y，fy＝－x＋2y，则＝－1－2＝－3．故gradf(1，1)＝(3，－3)知识点解析：暂无解析14、将坐标的曲线积分转换成对弧长的曲线积分，其中L为沿抛物线y=x2+2从点A(0，2)到B(1，3)．标准答案：ds=dx=dx，cosα==，则cosβ=sinα==故知识点解析：暂无解析15、求方程y"一4y’+4y=0的通解．标准答案：y"一4y’+4y=0的特征方程为r2一4r+4=0，其特征根为r1=r2=2，故所求通解为y=(C1+C1x)e2x．知识点解析：暂无解析16、计算对弧长的曲线积分∫L(2x－y＋1)ds,其中L是直线y＝x－1上点(0，－1)到点(1，0)的直线段．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求微分方程的通解．标准答案：由一阶线性微分方程的通解公式有知识点解析：暂无解析18、设函数求全微分dz．标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算zdxdy＋zdydz，其中∑是圆柱面x2＋y2＝1被z＝0和z＝3所截得部分的外侧．标准答案：原积分＝由于曲面∑(如下图所示)与xOy面垂直，所以∑在xOy面上投影的面积为零，故zdxdy＝0．下面计算曲面积分xdydz．将∑分成前后两片：∑＝∑1＋∑2，由∑的方程x2＋y2＝1(0≤x≤3)得，∑1的方程为x＝(－1≤y≤1)；∑2的方程为x＝－(－1≤y≤1)．∑1和∑2在yOz面上的投影均为矩形区域Dyz：－1≤y≤1，0≤z≤3．由于∑1和∑2的法向量分别指向其投影坐标面yOz面的上、下方，故化为二重积分时分别取正号和负号．于是其中由定积分的几何意义得．知识点解析：暂无解析20、设函数的傅里叶级数展开式为求系数a3．标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算三重积分I＝(y2＋z2)dv，其中Ω是由Oxy平面上的曲线y2＝2x绕x轴旋转而成的曲面与平面x＝5所围成的闭区域．标准答案：本题考查三重积分的计算．如下图所示，Oxy平面上曲线y2＝2x绕x轴旋转而成的曲面方程为y2＋z2＝2x，故Ω是由曲面y2＋z2＝2x及平面x＝5所围成的闭区域．当0≤x≤5时，平面X＝x与Ω相交的区域为y2＋z2≤2x．知识点解析：暂无解析22、求函数u=xyz在点(3，1，2)处，沿A(3，1，2)到B(7，4，14)的方向l的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析四、综合题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)23、求点M(2，1，4)到直线L：（x－1）／3＝（y＋1）／－2＝（z－3）／1的距离标准答案：设点M到直线L的垂足为N，则就是点M到直线L的距离，因点N在直线L上，故设N对应的参变量为t，则N(3t＋1，－2t－1，t＋3)，又因直线L的方向向量为v＝{3，－2，1}，由题意可知v⊥＝{3t－1，－2t－2，t－1}，则v·＝0，即3(3t－1)＋(－2)·(－2t－2)＋(t－1)＝0，解得t＝0，从而＝{－1，－2，－1}，则有于是点M到直线L的距离为．知识点解析：暂无解析24、求函数f(x，y)＝x3＋y3－3xy的极值．标准答案：∵∴得驻点为(0，0)，(1，1)而fxx＝6x，fxy＝－3，fyy＝6y，对于(0，0)点，B2－AC＝9＞0，所以(0，0)不是极值点；对于(1，1)点，B2－AC＝－27＜0，A＝6＞0，所以f(x，y)在(1，1)点处取得极小值为f(1，1)＝－1．知识点解析：暂无解析25、将函数f(x)=arctanx展开为x的幂级数．标准答案：因为所以知识点解析：暂无解析全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷第9套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、点(－1，2，3)关于y轴的对称点的坐标是()A、(1，－2，－3)B、(－1，－2，－3)C、(1，2，－3)D、(1，－2，3)标准答案：C知识点解析：点(x，y，z)关于y轴的对称点坐标为(－x，y，－z)．答案为C．2、设函数f(x，y)＝(4x—x2)(6y—y2)，则f(x，y)的一个驻点是()A、(2，6)B、(4，3)C、(0，6)D、(0，3)标准答案：C知识点解析：f(x，y)＝(4x－x2)(6y－y2)，则，则选项A、B、C、D依次代入只有选项C使得fx(0，6)＝fy(0，6)＝0．答案为C．3、设D＝{(x，y)｜1≤x≤2，1≤y≤2)，则二重积分＝()A、B、C、D、4标准答案：B知识点解析：本题考查二重积分的计算．由题意知积分区域如下图所示．答案为B．4、微分方程y"一5y’＋6y＝x2e3x的一个特解y*可设为()A、(b0x2＋b1x)e3xB、(b0x2＋b1x)xe3xC、(b0x2＋b1x＋b2)e3xD、(b0x2＋b1x＋b2)xe3x标准答案：D知识点解析：先求y－5y’＋6y＝0的解，其特征方程为r2－5r＋6＝0r1＝2，r2＝3．由e3x知r2＝3为齐次方程的一个单根，则其特解形式设为y*＝xQm(x)e3x，由x2可知m＝2，∴Qm(x)＝b0x2＋b1x＋b2，∴最终特解形式为y*＝(b0x2＋b1x＋b2)xe3x．答案为D．5、设为正项级数，下列结论中正确的是()A、若级数B、若级数C、若级数D、若级数发散，则存在非