2024届高考数学一轮复习命题方向精讲系列43讲22 解三角形（原卷附答案）

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考向22解三角形

解答三角高考题的策略：

(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”.

(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系.

13)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.

两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数

联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，利用正弦定理

解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮

助理解.

我用

1.方法技巧：解三角形多解情况

在△4BC中，已知小〃和A时，解的情况如下:

A为锐角A为钝角或直角

cc

图形史-,Zx

AB；--…AB

AztB,A-....

bsinA<a<b

关系式a=bsinAa>ba>ha<b

解的个数一解两解一解一解无解

2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,

要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

(1)若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”：

(2)若式子含有。,力,。的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

(3)若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

(4)代数变形或者三角恒等变换前置：

15)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

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：6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+8+C=乃.

1.基本定理公式

U）正余弦定理：在△A4C中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

abc_„

公式------=-------=------=2Ab2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c2=/+6—2abcosC

Ab2^c2-a2

cosA=---------------；

(1)a=2RsinA,b=2/?sinB，c=2/?sinC；2bc

c2+a2-b2

常见变形(2)sinA=—,sinB=—»sinC=；cosBD=---------------；

2R2R2Rlac

a2-^-b2-c2

cosC=---------------・

lab

：2）面积公式:

S、A3C=—"sinC=—bcsinA=—acsinB

222

SAA3C=翳=；(a+〃+c)・r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R,r.)

2.相关应用

(I)正弦定理的应用

①边化角，角化边u>a.b\c=sinA:MIIB:sinC

②大边对大角大角对大边

a>〃。A>5osinA>sin3ocos4vcosb

③合分比："He="b=b+c=a+c=3=上=3=2/?

sinA+sin8+sinCsin4+sinBsin8+sinCsinA+sinCsinAsinBsinC

(2)AA8C内角和定理：A+B+C=TT

®sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBoc=acosB+AcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cos4cosB-sinAsinB；

③斜三角形中，-tanC=tan(A+8)=tanA+tanB+tan+tan(^_,tanC

1-tanA-tanB

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0.A+BCA+BC

⑷sin（-----）=cos——；cos（-----）=sin——

2222

⑤在AABC中，内角AB,C成等差数列08=2,4+。=空.

33

3.实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

13）方向角：相对于某一正方向的水平角.

①北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

②北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

③南偏西等其他方向角类似.

⑷坡角与坡度

①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角6为坡角）.

②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）.坡度又称为坡比.

1.（2022•青海•模拟预测（理））在△ABC中,内角A,B,。的对边分别为a,4c,若a?+及=kab,MAABC

的面积呜时/的最大值是（）

A.2B.75C.4D.2石

2.（2022•全国•高三专题练习）在△ABC中,角A、B、。所对的边分别为a、b、c,且从+/=〃+*,若

sinBsinC=sin2A>则△ABC的形状是()

A.等腰三角形8.直角三角形C.等边三角形Q.等腰直角三角形

3.（2Q22•青海・海东市第一中学模拟预测（理））在NABC中，内角A,B,C的对边分别为a,4c.已知。=2,

sin2A+3sin2B=2asin2C»则cosC的最小值为

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4.（2022•上海•位育中学模拟预测）如图所示，在一条海防警戒线上的点43、。处各有一个水声监测点,

B、。两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻，3收到发自静止目标户的一个声波信号，8

秒后4C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是L5千米/秒.

（1）设A到尸的距离为“千米，用％表示艮C到尸的距离，并求x的值;

（2）求静止目标P到海防警戒线AC的趾离.（结果精确到0.01千米）.

5.（2022•全国•模拟预测）在-ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,5n8,a<b.

sine

（1）求角B；

（2）若a=3,b=7,。为AC边的中点，求△BCD的面积.

6.（2022•河南省杞县高中模拟预测（文））在二ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,

24cosA=bcosC4-ccosB.

（1）求角A的大小；

（2）若。=2如，。+c=6,求3ABe的面积.

7.（2022•全国•高三专题练习）在4ABe中，内角4氏。对应的边分别为,ABAC=6^向量

s=（cosAsinA）与向量7=（4,-3）互相垂直.

（1）求二ABC的面积；

（2）若b+c=7,求。的值.

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1.（2022•全国•高三专题练习）已知在345c中，8=30,〃=应,匕=1,则A等于（）

A.45B.135C.45或135D.120

2.（2022•河南•南阳中学模拟预测（文））-ABC中，若A8=AC=5,BC=6,点E满足—。石=52—0+：I圆，

直线CE与直线A8相交于点。，则CO的长（）

A8MRV15rVionx/30

5101010

3.（2022・全国•高三专题练习）在-ABC中，A,B,C所对的边分别为mb,c,若一瓜=c?-同c•且

bcosC=asinB,则.ABC是（）

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

4.（2022•四川省宜宾市第四中学校模拟预测（文））如图所示，为了测量4,8处岛屿的距离，小明在。处

观测，A,8分别在。处的北偏西15。、北偏东45。方向，再往正东方向行驶4。海里至。处，观测B在。处

的正比方向，A在C处的北偏西60。方向，则4,B两处岛屿间的距离为（）

A.20面海里B.406海里C.20（1+。）海里D.40海里

5.（多选题）（2022•福建•福州三中高三阶段练习）3ABe中，角A&C的对边分别为a/,c,且

a=2,sin8=2sinC,以下四个命题中正确的是（）

A.满足条件的ABC不可能是直角三角形

4

B.44c面积的最大值为］

C.M是中点，MA.MB的最大值为3

D.当A=2C时，48c的面积为名叵

3

6.（多选题）（2022•广东•华南师大附中三模）已知圆锥的顶点为P,母线长为2,底面圆直径为26，A,8,

C为底面圆周上的三个不同的动点，M为母线PC上一点，则下列说法正确的是（）

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A.当A,8为底面圆直径的两个端点时，ZAPB=120°

B.△以8面积的最大值为石

C.当△布8面积最大值时，三棱锥C-BAB的体积最大值为近史

3

D.当AB为直径且。为弧A8的中点时，MA+MB的最小值为历

7.（多选题）（2022•河北♦沧县中学模拟预测）在“8C中，三边长分别为a,b,c,且防c=2,则下列结论

正确的是（）

A.a2b<2+ah2B.ab+a+b>2\f2

C.a-i-b2+c2>4D.a+h+c<2y/2

8.（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（文））在.ABC中，。为其外心，近OA+2OB+OC=0，若BC=2,

则OA=.

9.（2022.河北.高三期中）已知.ABC中角A,B,。所对的边分别为小b,c,p=£±|±£,则-旗。的面

积5=.储-。）（~）储-0）,该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若ABC的周

长为15,（sinA+sinB）:（sinB+sinC）:（sinC+sinA）=4:6:5,则&48c的面积为.

10.（2022・全国•高三专题练习（理））在-ABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,且〃、〃/二。?，则

tanB的最大值为.

11.（2022•辽宁・沈阳二中模拟预测）沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒

形成了一个“秀”字，故称“秀湖”.湖畔有秀湖阁（A）和临秀亭（3）两个标志性景点，如图.若为测量隔湖相

望的A、8两地之间的距离，某同学任意逃定了与A、8不共线的C处，构成ABC,以下是测量数据的不

同方案:

①测量乙4、AC、BC；

②测量4、DB、BC,

③测量/C、AC.BC；

④测量乙4、NC、DB.

其中一定能唯一确定A、8两地之间的距离的所有方案的序号是

3

12.（2022•青海•海东市第一中学模拟预测（理））如图，在平面四边形A3C。中，已知3c=2,cos/BCO="

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⑴若/C8D=45。，求8。的长;

⑵若cosNAC。岑，且48=4,求AC的长.

13.（2022•青海玉树•高三阶段练习（文））在-48c中，内角A,B,。所对的边分别为小h,c,且S8C的

面积S=#（/+/一从）

⑴求角3的大小；

⑵若a+41b=2c，求sinC.

14.（2022•上海浦东新•二模）已知函数/（x）=/sinx-8Sx（，wK）

⑴若函数/（%）为偶函数，求实数，的值；

⑵当1=不时，在“1BC中（A8,C所对的边分别为a、6、c）,若/（2A）=2,c=3,且的面积为2省,

求。的值.

5（2。22・全国•高三专题练习）记二配的内角48,C的对边分别为小b,0已知备T3

（1）若。=与，求B；

a2+b2

⑵求的最小值.

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16.(2022•青海•海东市第一中学模拟预测(文))在二ABC中，角A,B,。的对边分别为小b,c,

a2-tr+—be=accosB.

2

⑴求角4

(2)若bsinA=VJsinB,求二ABC面积的最大值.

17.(2022•上海金山•二模)在中，用A、B、C所对的边分别为。、b、c.已知2加inA-3=0,且

笈为锐角.

⑴求角3的大小；

(2)若3c=3a+辰，证明：一ABC是直角三角形.

18.(2022・湖南•湘潭一中高三阶段练习)3ABe的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,已知

(2tz—c)sinA+(2c—«)sinC=2bs\nB.

⑴求B；

(2)若为锐角三角形，且c=2,求；ABC周长的取值范围.

19.(2022・上海黄浦•二模)某公园要建造如图所示的绿地OABC,Q4、OC为互相垂直的墙体，已有材料

可建成的围栏45与8C的总长度为12米，且/B4O=/BCO.设NB4O=a(0<a<y).

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（1）当AB=4,?时，求AC的长；（结果精确到0.1米）

（2）当A8=6时，求。48c面积S的最大值及此时。的值.

20.（2022•上海虹口•二模）如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCO的区域进行绿化，在此绿化区域中,

分别以NDCB和NA48为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与8。相切.

⑴若AD=4历，AB=3后,80=37（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；

（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135。，则N8D4多大时，平行四边形绿地A8c。占地面积最小？

1真题练）

1.（2021.全国•高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测

海岛的高.如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和叩是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,

称为“表高”，EG称为“表距”，GC和9/都称为“表目距”，GC与E”的差称为"表目距的差”则海岛的高

AB=()

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表高x表距表高X表距

A.表目距的差衣图表目距的差一表号

表高X表距表高X表距.

C.表目距的差+表距表目距的差表距

2.（2021•全国•高考真题（文））在3ABe机已知B=120。，AC=Ji§,AB=2,则BC=（）

A.1B.V2C.75D.3

3.（2021•浙江•高考真题）在“IBC中，N3=6（）o,A8=2,M是5c的中点，AM=2jL则AC=,

cosZMAC=.

4.（2D22.浙江.高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法

称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就是

S=t,其中”，尻c是三角形的三边，S是三角形的面积.设某三角形的三边

a=Rb=5c=2,则该三角形的面积S=.

Ar*

5.（2022•全国•高考真题（理））已知“BC中，点。在边BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.当，

AB

取得最小值时，BD=.

6.（2022•上海•高考真题）在△ABC中，=A8=2,AC=3,则3c的外接圆半径为

7.（2021•全国•高考真题（理））记的内角A,8,C的对边分别为mb,c,面积为G，8=60°,/+/=3改，

贝।回.

8.（2022.全国•高考真题（理））记3ABe的内角A&C的对边分别为a,0,c,已知

sinCsin（A—B）=sinBsin（C—4）.

（1）证明:2a2=6+62；

25

（2）若。=5,cosA=/,求ABC的周长.

9.⑵22•全国•高考真题）记,ABC的内角48.C的对边分别为a,b,c,已知高蛋二3

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(1)若C=y求B；

⑵求匚乏的最小值.

c~

10.(2022•浙江•高考真题)在二ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4a=石c,cosC=1.

⑴求sinA的值；

(2)若3=11,求3ABe的面积.

11.(2022•北京•高考真题)在中,sin2C=^sinC.

⑴求“；

⑵若。=6,且3ABe的面积为66,求“1BC的周长.

12.(2022•全国•高考真题)记eABC的内角A,B,C的对边分别为小b,c,分别以小b,。为边长的三个

正三角形的面积依次为九邑,与,已知S/S2+S3=日,sin8=g.

⑴求1MBe的面积；

(2)若sinAsinC=巫，求。.

3

13.(2022•全国•高考真题(文))记丛8C的内角A,B,C的对边分别为小6,c,已知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

(1)若A=2A,求C；

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(2)证明：2々2=/+。2

14.(2022・上海・高考真题)如图，矩形A3CO区域内，。处有一棵古树，为保护古树，以。为圆心，0A为

半径划定圆。作为保护区域，已知AB=30m,AQ=15m,点石为AB上的动点，点尸为CO上的动点，满

足EF与圆。相切.

(1)若乙3=20°,求石户的长；

(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？

(长度精确到0.1m,面积精确到O.Olm?)

15.(2021•天津•图考真题)在ABC,角ABC所对的边分别为。也。，已知sinA:sinB:sinC=2:l:J5，

b=y/l•

(I)求〃的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-j1的值.

16.(2021•全国•高考真题)在-ABC中，角A、B、。所对的边长分别为。、b、c,b=a+\,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求3ABe的面积；

(2)是否存在正整数%使得A8C为钝角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，说明理由.

17.（2021・北京•高考真题）在3ABe中，c=2/?cosB,C=—.

(1)求网

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(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使GABC存在且唯一确定，求BC边

上中线的长.

条件①：c=缶；

条件②："C的周长为4+26；

条件③：ABC的面积为土叵;

4

18.(2021•全国•高考真题)记”IBC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知加=讹，点。在边AC

上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b：

(2)若AD=2DC,求8SZABC.

基础练

1.【答案】B

【解析】由题意得SA8C=；。加inC=],所以c'HsinC,

又因为/=〃2+从-2cibcosC»所以。2+〃=/+2tzZ>cosC=absinC+2abcosC,

所以&=£_^^_=5m€1+285。=石$由(。+0),其中tan0=2,且4>0,

所以A的取值范围为(0,百],

故选：B.

2.【答案】C

【解析】AABC中，tr+c2=a2+bc»则cosA="十"———=-^-=—

2bc2bc2

又OVAVTT,则A=]

由5指8$皿。=5而24，可得42=6(?,代入力2+/=〃+*

贝U有〃+c?=反+儿=次，则(b-c)2=0,则b=c

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又4=],则△4BC的形状是等边三角形

故选：C

3.【答案】B

4

【解析】。=2,则原等式为sin2A+3的23=4而2（7,由正弦定理得/+36?=4^,

a2+b2-c2*+3序）3/+/6,当且仅当从=3/时取等号.

cosC=---------------=----------------------------=------------>——

2ab2ab8ab4

故答窠为：立.

4

4.【解析】（1）根据题意可得：A8=20（千米），AC=50（千米），AP=PC=x（1米），BP=x-\2

（千米），

AB2+AP2-BP2AC2+AP2-PC2

*/cos/PAB=cosZ.CAP，则mil-----------------=------------------

2ABxAP2ACxAP

即202+』2（J12）2=502+%2-2,解得x=3]

2x20x2x50.v

在△中，AC+APPC则

（2）PACcosZCAP=~~~=25/CAP=Jl—cos?NCAP=

2ACKAP3131

设尸到4c的距离为d（千米），^i-APxACxs\nZCAP=-ACxd

22

••・d=4后。18.33

静止H标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米

cosC—2cosA

5.【解析】（1）由tanB=—:—；———,tanBsinC=cosC-2cosA,两边同乘8sB得

sine

sinBsinC=cosBcosC-2cosAcosB,故85（8+。）=2854858,即一cos4=2cosAcos3.

因为a＜。，所以A为锐角，cosArO,所以COSB=-；.

又因为340,乃），所以B=彳.

在中，由余弦定理即」,2解得

（2）3ABecos8='+c、"=-L9+「49^c+3c-40=0,c=5

2ac26c2

或c=-8舍）.

故S3=S△楹=|x|x3x5xsin^=-^.

6.【解析】（I）因为2。854=匕8$。+以058,

由正弦定理得2sin4cosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（3+C）,

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又B+C=7t-A,所以2sinAcosA=sin(7t-A)=sinA.

因为4c(0,冗),所以sinA工0.

所以8sA=g,所以A=g.

(2)由余弦定理，得/=/+c2-3c8s4,即M=(b+c)2—3",

因为。=2百，b+c=6

所以力c=竺卫

所以4人8c=；bcsinA=gx8x*=26

・•4

7.【解析】(1)因为=4cosA-3sin月=0，解得【anA=§,

43

因为0<A<;r,所以sinA=g,cosA=-.

有因为A8AC=bccosA=6，所以儿=10.

Ii4

所以^ABC的面积S=-bcs\nA=-xl0x-=4.

(2)a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2/?c-2/?ccos4=49-20-12=17,

所以a=>/\7.

提升练

1.【答案】c

，得疝八一一史一女，

ab31

【解析】由正弦定理

sinAsinB

b12

因为a=&>b=l,Ae(0,7t),故4=45°或135,

故选：C

2.【答案】A

AB2+AC2-BC225+25-36二7

【解析】在AABC中，由余弦定理得：cosA=

2ABAC2x5x5-25

—2—1—

设CE=4CO，4#0，因为以=百。+^。8,

一2一1—一2一I

所以4CQ=上04+—8,^CD=-CA+—CB,

15515252

因为4、8、。三点共线,

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所以777+77=1，

154JA

解得：喝,

23

所以CO=wC4+gC8,

即|（8_C4）=|（C8-C力）

--3

AD=-DB

2

因为48=5,

所以40=3,BD=2

在三角形AC。中，由余弦定理得：

717R

CD2=AD2+AC2-2ADACcosA=9+25-2x3x5x—=—,

255

因为C£>>0,所以0=8叵.

5

故选：A

3.【答案】A

［解析］ila2-b2=c2->l2bc»得b2+c2-a2=\/2bc.

所以由余弦定理得cosA="+i-力=幽=也,

2bc2bc2

因为人£（0,九）,

所以4=%

4

因为Z?cosC=asin3,

所以由正弦定理得sinBcosC=sinAsin8,

因为sinBrO,所以cosC=sinA=sinN=，^,

42

因为Ce（0,2,所以C=：,

4

所以5=TC—A—C=TC一四一二=四，

442

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所以,ABC为等腰直角三角形，

故选：A

4.【答案】A

【解析】由题意可知C。=40,4QC=105。,NBOC=45°,ZfiCD=90。,ZACD=30°,

所以ZC4D=45°,ZADB=60°,

在八48中，由正弦定理得4%=—%，得AO=20忘，

sin30sin45

在R38a）中，因为N8£>C=45o,N8CD=90。，

所以5O=x/5cO=40夜，

在△4?。中，由余弦定理得

AB=\lAlf+BEr-2AD-BDcosZADB

=^800+3200-2x205/2x40>/2xl

=J24（X）=2076，

故选：A

5.（多选题）【答案】BD

【解析】以C为原点，以6所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C（0,0）,8（2,0）,

设4（工,力，由sinB=2sinC,得b=2c,即AC=2A8,

.♦.庐了=2而-2）2+>2,化简得：+y2=/,

即点A在以（小0）为圆心，以g为半径的圆上（除去尸,Q两点）.

如图所示：

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对于A：以（L0）为圆心，1为半径作圆，记该圆与圆（x-g）+y2=?的交点为A,则

&ABC为直角三角形，A错误；

对于B：由图得eABC面积的最大值为S=：1x2x44=4；,8正确；

233

对于C:M是8C中点，的值为M4在M8上的投影与的积，又点A在以（*。）为圆心，以g为

半径的圆上（除去RQ两点），故MA-M8<3，C错误；

2122

对于0：若A=2C,MsinA=sin2C=2sinCcosC,.\a=2ccosC=2c-a+———,,.4=2,b=2c,

lab

b2=a2+c2,:.B=—

2t

.•.S=lac=1x2x2=型，D正确.

2263'

故选：BD

6.（多选题）【答案】ACD

【解析】对于A,记圆锥底面圆心为O,sin/APO=42=且，所以NAPO=60°,所以NAPB=120。，故

AP2

A正确；

对于B,设NAP8=e（0o<eW120。），则截面三角形的面积S=；PA-P3sine=2sineW2,故B不正确；

对于C,由选项B中推理可知，此时A8=2应，所以点C到4B的距离的最大值为

有”的Y&F=6+1，从而可知三棱锥的体积最大值为9（'（6+1卜2&b1二驾也，

故C选项正确；

对于D,由题意可得△附C和APBC全等，在中，PA=PC=2,AC=瓜,所以

cosZA尸（=,+/_:二!，进而sin/APC=姮，

2x2x244

记PC边上的高为/?（垂足为Q）,则〃=PAsinN4PC=2x^=^,所以MA+MB22力=厉，当M与

。重合时取等号，故D选项正确；

故选：ACD.

7.（多选题）【答案】ABC

【解析】对于A,A3+加，即否―加<2,也就是成（。-与<2=成％

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另一方面，在aASC中，ab>O,a-b<c,贝ij。伏。一力<讪。成立，故A正确；

对于B,ab+a+b>ab+cN2jabc=20，故B正确；

对于C,a+b2+c2>a+2bc>2y/2^=4,当且仅当。=2c=2时取等号，故C正确；

对于D,边长为1,应,应的三角形，满足必c=2,但a+Hc=l+2&>2应，故D错误.

故选：ABC.

8.【答案】亚

7

【解析】设以8C外接圆的半径是R,

y/2OA+2OB+OC=0=>yf2OA=-2OB-OC

2OA2=4OB2+0C2+408-OC

3

2R2=4R2+R2+4R2cosNBOC=cosZ.B0C=——.

4

设N8OC=26,则在等腰aBOC中，sinG=巫.

4

所以。4=*=岖.

2sin67

2而

故答案为：

156

9.【答案】

4

【解析】解：可令sin4+sinB=4k,sinB+sinC=6k,sinC+sinA=5k,

将上式相加：sinA+sinB+sinC=y/c,

357

由此可解的：sinA=—k,sinB=—4,sinC=—k,

222

由正弦定理:a:b:c=3:5:l,

又因为：a+b+c=\5,

「rc-r-.Ma+b+c15

解得：a=3,h=5,c=7.所以p=---------=—

代入海伦公式解律5:苧

故答案为：”正

4

10.【答案】巫

15

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【解析】・・・a2+4/=c2,・・・/=£^£1,

4

22

.・.a2+c2-b2，+/一£7^5/+3。2、27^?7后，

cosB=----------------=-----------------2——=------------->---------------=-------

2ac2acSacSac4

当且仅当3/=5/时等号成立，

又Ae(O,乃)，所以cosBw也^,1),cos26G[j|j)

，-cos-83摩普

lan5=

Ycos2B

故答案为：巫.

15

11.【答案】②③

【解析】对于①，由正弦定理可得手;=%,则sin8=42r4,

sinBsinADC

A(nA

若AC>8C且NA为锐角，MsinB=———>sinA,此时B8有两解,

AB

则NC也有两解，此时AB也有两解：

对于②，若已知NA、£>3,则NC确定，由正弦定理1=-^；可知AB唯一确定；

sinAsinC

对于③，若已知NC、AC.BC,由余弦定理可得48=〃。2+8。2一247.总8$。，

则AB唯一确定；

对于④，若已知NA、NC、DB,则AB不确定.

故答案为：②③.

12.【解析】(l)・.・cos/8C£)=-1,sinABCD=Vl-cos2ZBCD=1

又VNCBD=45°,所以sinNCDB=sin(/BCD+450)=n/.BCD+cos/BCD)=