2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第4章 §47 正弦定理、余弦定理

§4.7正弦定理、余弦定理

【考试要求】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形2能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单

的三角形度量问题.

■落实主干知识

【知识梳理】

I.正弦定理与余弦定理

定理正弦定理余弦定理

。2=6+修一23CCOSA；

.=上=3=2/?

内容尼=c2+°2-2c4cos8：

sinAsinBsinC

。=42+1—'々AosC

(l)a=2RsinA,

l=22sinB,分+c2-

cosA—2bc；

c=2/?sinC；

/+苏一力2

变形(2)asinB=bs\nA,COSB-加：

方sinC=csinB,a24-^2—c2

cose-

asinC=csinA2ab

2.三角形中常用的面积公式

(1)5=枣也(心表示边a上的高)；

(2)S=；absinC=；acsinB=^bcsinA；

(3)S=；r(a+A+c)(r为三角形的内切圆半径).

【常用结论】

在△A8C中，常有以下结论：

(1)NA+N8+NC=TT.

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)a>尔，QBOsinA>sinB,cosA<cosB.

A+BCA+

(4)sin(A+5)=sinC；cos(A+fi)=~cosC：tan(A+B)=­tanC；sin-"=cosy；cos-y

sinf

(5)三角形中的射影定理

在△4BC中，a=bcosC+ccosB：b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(X)

(2)在△A5C中，若sinA>sinB,A>B.(J)

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(X)

(4)当攵+/—〃>0时，/XABC为锐角三角形.(X)

【教材改编题】

1.在△ABC中，48=5,AC=3,BC=7,则NBAC等于()

n八兀

A6B3

-2儿〜5兀

CTD.y

答案c

解析因为在ZVIBC中，

设4B=c=5,AC=b=3,BC=a=l,

所以由余弦定理得

一+」一岸9+25-491

cosNB4C=­诋-=-=一2,

因为N84C为5c的内角，

所以N8AC=争.

2.在△ABC中，若4=60。，°=46，b=4吸,则6=.

答案450

解析由正弦定理知瘾=磊，

加inA4淄X号小

则sinB=^~=^^~=2•

又cob,则A>3,所以8为锐角，故8=45。.

3.在△ABC中，a=2,b=3,C=60°,则c=,△A8C的面积=

答案巾乎

解析易知

△ABC的面积等于Sx2X3X^=岁.

■探究核心题型

题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1(12分)(2021•新高考全国I)汜△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知〃=

ac,点、D在边AC.E,BDsinZABC=as\nC.

(1)证明：3。=〃,•［切入点：角转化为边］

(2)若AO=2OC,求cos/ABC［关键点：N8D4和/BOC互补］

思路分析由定理边角转化一用6表示ADQC-求出角的余弦一由条件列等式一对解进行讨论一结论

答题得分模板规范答题不丢分

(1)证明由正弦定理知.____〃=____L____=2R

sinABCsinZ^ACB'

..b=2RsinZ-ABC,c=2Rsin4ACS,®［2分］♦-①处边角进行转化

vb2=ac,/.b•2RsinZ.ABC=a,2RsinZ.ACB,

即〃sinZ.A8C=asinC,②3分］<②处寻求与条件的联系

/BDs\nLABC=asinC./.BD=b.［5分］

(2)解由(1)知8O=b,.AD=2OC,..Aojb,OC=",③［6分卜③处用b表示AO.DC

在aAB。中，由余弦定理知，

/停)-2④!

13分-9〃

­=殁也叨3④处用余弦定理表示48OA

2BD•AD2b•枭12〃1

在△C8。中，由余弦定理知，

：分］

BD2+CD2-BC2=［7

cosZ.BDC=

6炉

2BD•CD2b

•J

Z.BDA+LBDC=ir,cosLBDA+。05/.8。。=0.(5；［8分］・⑤处利用两角关系列式

13b2-9c210Z>2-9a2

即=0,得1162=3"+6”2,

12b26b2

〃=ac,J.3"-1lac+6a2=0,c=3a或c='a$［10分］♦--⑥处解出两种情况

在△A8C中,由余弦定理知,cos乙A8C=a"：5

2ac2ac

当c=3a时，cosZ.A8C=g>l(舍)；⑦⑦处对各种情况讨论

6

当c］”时.cosZ-ABC=-^r;

•11/

综上所述，cos/A8C=§"［12分］，⑧处给出结论

【高考改编】

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知加inC+asinA=bsinB+csinC.

⑴求A;

(2)设。是线段8C的中点，若c=2,>40=713,求4

解(1)根据正弦定理，

由Z>sinC+asinA=6sinB+csinC,

可得历+。2=从+〃，

212

即bc=b+c-at

岳+/一/1

由余弦定理可得，cos4=；人=果

因为A为三角形内角，

所以4=].

(2)因为O是线段8c的中点，c=2,AO=，13,

所以N4QB+ZADC=n,

则cosZ4D5+cosZ4DC=0,

心十协一十谈心+0c2-3

所以2ADBD-+2ADDC-=°'

22

13+彳a一2?13+a彳一按

即---------+----------=0,

2-713-22-\fi3-2

整理得出=2/>2—44,

又理=/+/—2/?ccos4=〃+4—2仇

所以拄+4—2。=2乂-44,

解得力=6或8=一8(舍)，

因此岸=26-44=28,

所以4=2巾.

思维升华解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理：如果式子中含

有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理

都有可能用到.

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解•是唯一的；已知两边

和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进

行判断.

跟踪训练1(2021•北京)已知在△4BC中，c=2bcosB,C=y.

⑴求5的大小；

(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出8C边上的中线

的长度.

①②周长为4+2小；③面积为8c=乎.

解(l)：c=2Aos6,

则由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

sin2B=sin,=当，•:C=专，

・・・B£(0,28£(0,空)，

/.2B=^,解得3=聿.

(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得

近

£=皿=2=小

bsin5\_3，

2

与。=0匕才盾，故这样的△ABC不存在;

若选择②：由⑴可得A=/

设AABC的外接圆半径为R,

则由正弦定理可得a=b=2Rsin*=凡

27r

c=2Rsin£=小/?,

则周长为a+b+c=2R+，5R=4+2小，

解得R=2,则。=2,c=2小，

由余弦定理可得BC边上的中线的长度为

若选择③：由⑴可得A=，即〃=瓦

2

则SAA8c=%bsinC=pX^=-^,

解得a=y[3,

则由余弦定理可得8C边上的中线的长度为

题型二正弦定理、余弦定理的简单应用

命题点1三角形形状判断

例2在△ABC中，望=sii?笈b,c分别为角A,B,C的对边)，则△48C的形状为()

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

答案A

解析由cos1—2sin2-2，

.B1—COSB

7(导sin222，

所以就=匕誓，

即cos

+^2-6a

方法一由余弦定理得2：=3

即〃+/—尻=勿2,

所以屋+拄=。2.所以△ASC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

方法二由正弦定理得cos8=黑，

又sin4=sin(8+C)=sinBcosC+cosBsinC,

所以cosfisinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sinBcosC=0,又sin8WO,

所以cosC=0,又角C为三角形的内角，

所以C==,所以△45C为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.

延伸探究将“与望=sin号”改为“鬻=£(b+c+a)(b+c-a)=3加"，试判断△ABC的

/c/sinAJC

形状.

解因为

所以称=务所以b=C.

又S+c+〃)(b+c—a)=3bc,

212

所以b+c—a=bcf

所以cos4--荻一一诋一下

因为4£(0,兀)，所以A=1,

所以△ABC是等边三角形.

思维升华判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A

+B+C=?r这个结论.

命题点2三角形的面积

例3(2022•沧州模拟)在①sinA,sinC,sinB成等差数列；②a：力：c=4：3：2；③AosA

=1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积

的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(sinA-sinB)+/?sin

B=csinC,c=L?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解因为。(sinA-sinB)+bsin8=csinC,

由正弦定理得4(4一力)+从=/,

即屋+力2—/=Q6

2

匕匕八？八二+加一C1

所以cosC=2ab=2,

又C£(0,71),

所以c=$

选择①：

因为sin4,sinC,sinB成等差数列，

所以sin4+sin8=2sinC,即a+b=2c=2,

由a2-^-b2-c1=a1+b1—1=ab,

得(a+b)2—3ab=l,所以ab=1,

故存在满足题意的△ABC,

Sz^Bc=2^sinC=5X1Xsin

选择②：

因为a：b：c=4：3：2,

所以A>B>C=^,

这与A+6+C—兀矛盾，所以6c不存在.

选择③：

因为bcosA=l,

―按+1一4

所以"苏=]，

得b2=\+a2=c2-^a2,

所以B=],此时△ABC存在.

又C=：,所以A哼

所以4=1乂匕吟=乎，

所以S^ABC=2^C=~^.

思维升华三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=；absinC=^acsinB=^bcs\nAt一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

命题点3与平面几何有关的问题

例4如图，在平面四边形ABCO中，已知4=看8=与，AB=6.在四边上取点E,使得

BE=\f连接EC,ED.若NCED=3,EC=yp.

BEA

⑴求sin/BCE的值；

⑵求CO的长.

解（1）在△BEC中，由正弦定理,

今BECE

知sin/8CE=^T^

VB=y,BE=\yCE=巾,

亚L

..-sin82旧

..sinZBCE-CE一币-i4・

（2Y：ZCED=B=y,

:・/DEA=NBCE,

/.cosZDEA=AJ1—sin2ZDE4

=3-sin?NBCE=N1-&

•••△AE£＞为直角三角形，又AE=5,

'ED=cos方以=盍=2币.

在ACED中，

CD2=CE2+OE2—2CEDEcosZCED

=7+28-2义巾X2市X(-$49.

：.CD=1.

思维升华平面几何图膨中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，

通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题

时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再

利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.

跟踪训练2(1)在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别是a,b,c,若c-acos8=(2«—

份cosA,则△ABC的形状为()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

答案D

解析因为c—acos8=(%一6)cos4,

C=L(A+5),

所以由正弦定理得sinC-sinAcosB

=2sinAcosA—sin8cosA,

所以sinAcosB+cosAsin8—sinAcosB

=2sinAcos4—sinBcosA,

所以cosA(sinB—sinA)=0,

所以cosA=0或sin8=sinA,

所以A=1或B=A或B=TC—A(舍去),

所以△ABC为等腰或直角三角形.

2

(2)(2022•郑州模拟)如图，在AABC中，AB=9,cosB=§,点。在5C边上，入。=7,ZADB

为锐角.

①求BD；

②若NBAO=ND4C,求sinC的值及CO的长.

解①在△45。中，由余弦定理得

AB2^-BD2-2ABBDcos

整理得fiZ)2-12SD+32=0,

所以8。=8或80=4.

16+49-812

当BD—4时，cos/AOB

2X4X7T

则NAO时，不符合题意，舍去;

644-49-812

当BD=8时，cosZADB=

2X8X7T

则NAOBg,符合题意，所以87)=8.

②在△ABO中，

"2+AD2-3D2

cosZBAD=2ABAD

92+72—8211

―2X9X7=亓

所以sinZBAD=^|^,

又sinZ.ADB=^~^~y

所以sinC=sin(ZADB-ZCAD)

=sin(ZADB-ZBAD)

=sinZADBcosZBAD—cosNAOBsinNBA。

3小、」12、,8小17^/5

=7X2i-7X21=147，

在48中，由正弦定理得

即但给MC但在又好答

147

课时精练

E基础保分练

辟十房一/

1.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若AABC的面积为---------,则C等于（）

兀c兀

A2B3

C.47D76

答案C

解析根据题意及三角形的面积公式知

1,.a*12-\-b2—c2

2〃0sinC4，

4+从一d

所以sinC=---2^---=cosC,

所以在△ABC中，C=：.

2.（2022•北京西城区模拟）在△ABC中，C=60。，a+2b=8,sinA=6sinB,则c等于（）

A.^35B.^/31C.6D.5

答案B

解析因为sin4=6sinB,

由正弦定理可得a=6b,

又a+26=8,所以。=6,b=1,

因为C=60。，

所以c2=a2+Z?2—2abcosC,

即C2=62+12-2X1X6XI

解得c=，5T.

3.已知△ABC的内角A,B,。对应的边分别为a,b,c,a=4,cos2A=一女，则△ABC

外接圆半径为（）

53

A.5B.3C，2D，2

答案C

7

解析因为cos2A=一天,

7

所以1—2sin2A=一后,

/J

解得sin4=?，

因为A£（0,兀），

4

-

5

a4

-5

nA-4-

si-

5

所以R=y

4.（2022•河南九师联盟联考）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2b,sin2A

—3sin2B—^sinAsinC,则角C等于（）

it「兀

A6B-3

_71c2兀

C-2DT

答案B

解析Vsin2A—3sin2B=2sinAsinC,

22

由正弦定理可得a—3b=^act

•・Z=2b,

a2——3h2=^a2b=ah,

由余弦定理可得

/+力—2/。2-3力2|

cosC=

~五-=~2^b~=2f

V0<C<Jt,AC=1.

5.（2022・济南模拟）在△ABC中，帝A,B,C的对边分别为小b,c,2戾in4=，^acosB,AB

=2,AC=2#,。为BC的中点，E为AC上的点，且8E为/48C的角平分线，下列结论

正确的是（）

A.cos/8AC=—乎B.S^BC=3小

C.BE=2D.AD=2y[5

答案A

解析由正弦定理可知

2sinBsinA=y[5s\nAcosB,

••・sinAHO,

2sinB=-\/5cosB.

又sin2B+cos2B=1,

疗D

/.sin5=,cos8=’，

在△ABC中，

AG=A82+叱-24B8CcosB,

得BC=6.

A项,

4+24-36

cosZBAC=2ABAC

-2X2X2V6

=一乎，故A正确;

B项，Sa8c=：48BCsinB=Tx2X6X雪=2小，故B错误;

ApAR1

c项，由角平分线性质可知等=箧=],

••AE—2.

BE2=AB24-Afi2-2ABAEcosA

=4+》X2X乎X（邛）弋

；・BE=等,故C错误；

D项，在△A8O中，

AD2=AB2+BD2~2ABBDcosB

=4+9-2X2X3x|=5,

:,AD=®故D错误.

6.（2022•张家口质检）下列命题中，不正确的是（）

A.在△ABC中，A>B,则sinA>sin8

B.在锐角5c中，不等式sin4>cosB恒成立

C.在△A8C中，若〃cosA=AosB,则△ABC必是等腰直角三角形

D.在△4BC中，若8=60。，b2=ac,则△ABC必是等边三角形

答案C

解析对于A,由A>8,可得a>瓦

利用正弦定理可得sinA>sin8,正确;

对于B,在锐角△ABC中，A,8£(0,

：A+转,

sinA>sin（^—B^=cosB,

工不等式sinA>cos8恒成立，正确;

对于C,在△ABC中，由acosA=〃cos8,

利用正弦定理可得sinAcosA=sin8cos8,

sin2A=sin28,

VA,3u（0,兀），

，2A=28或24=五一2B,

,.A=B或A+B=，，

•••△ABC是等腰三角形或直角三角形，

・•・是假命题，错误；

对于D,由8=60°,b2=ac>

利用余弦定理可得l7=ac=a1+c1—ac,

可得(a—c)2=0,解得a=c,

可得A=C=B=60。，故正确.

7.(2022・许昌质检)已知△A8C的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且方=3,

月=李人必入叱的面积为.

答案呼

解析由余弦定理得。2=护+/—2bccos4,

•；b=3,a—c=2t4=专，

解得c=5,

则△ABC的面积为

S=；bcsinA=gx3X5X乎

8.（2021.全国乙卷）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为由，8=60。,

〃+/=3。。，则b=.

答案2V5

解析由题意得SzsA8C=*csinB=*ac=小,

则ac=4,

所以。2+/=3加=3义4=12,

所以b2=a2+c2—2accosB=12—2X4X^=8,

则6=2啦（负值舍去）.

9.（2022・南平模拟）在①2eos8=2a—Zb②△ABC的面积为坐（标十52一好），③cc^A—cos2c

=sin25—sinAsinB,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.（如果选择

多个条件作答，则按所诜的第一个条件给分）

已知5c的内角4,B,C所对的边分别是小b,a且.

⑴求角C的大小；

（2）若c=2且4sinAsin8=3,求△ABC的面积.

解（1）若选条件①2ccosB=2a-b,

…〃+/一拄

则2c.2"="b.

即c^-^b2—c2=ab,所以cosC=l,

又因为C£（0,Ji）,所以。=生

若选条件②AABC的面积为坐（标+〃一/）,

则坐（标+按一c2）=5bsinC,

即sinC=*\/3cosC,

所以tanC=y[3,

又因为C£（0,兀），

所以。=全

若选条件③cos?4—cos2C=sin2B—sinAsinB,

则（1—siMA）—（1—sin2Q=sin2B—sinAsinB,

即sin2A+sin2B—sin2C=sinAsinB,

即cP+b?—d=ab,

所以cosC=1,

又因为C£(0,北),所以为=字

(2)因为c=2,

所以‘一=」一==一=，一=<-

mkAsinA~sinB~sinC~.兀一S'

s,n3

所以sinA=^a,sinB=~^bt

又因为4sinAsinB=3,所以ab=4,

△ABC的面积为ga加inC=小.

10.(2022・湘携联盟联考)如图，在△48C中，N5=60。，AB=8,AD=7,点。在上,

r1

且cosZADC=ij.

⑴求BDx

⑵若85/。4。=彳A，求△ABC的面积.

解(1)VcosZADB=cos(7t—AADC)

=—cosZADC=—j.

在△ABD中，由余弦定理得

82-5D2+72-25D7COSZADB,

解得BD=3或40=—5(舍).

(2)由已知sin/AOC=^^,sinZCAD=^,

4sA/31113

sinC=sin(ZADC+ZCAD)=_72_X^-4--XZ=VT-

I乙1乙I今

由正弦定理得

1

ADsinZCAD7X249

CD=~^Tc-=_ir=l3,

14

49_88

，8C=3+B=13,

E技能提升练

11.在△ABC中，三个内角A,B,C的对边分别为小b,c,若△ABC的面积为S,且4s

=3+4—/,则$足e+0等于（）

A.1B.一坐

C坐D坐

答案C

解析因为S=^absinC,

/+抉一C2

cosC=

2ab

所以2S=absinC,a2-\~h2—c2=2ahcosC.

又4s=3+8）2—/=屋+62一^+2时,

所以2absinC=2abcosC+2ab.

因为abWO,所以sinC=cosC+L

因为sin2C+cos2C=1,

所以（cosC+l）2+cos2C=l,

解得cosC=-1（舍去）或cosC=0,

所以sinC=1,

则sine+0=¥（sinC+cosC）=乎.

12.（2022•焦作模拟）在AASC"中，内角A,B,C的对边a,b,c依次成等差数列，ZVISC

的周长为15,且（sinA+sinSA+cos2c=l+sinAsin3,则cos8等于（）

13cU

A14B14

C.JD.-1

答案B

解析因为（sinA+sinBA+COS?。

=l+sinAsinB,

所以sin24+sin2B4-2sinAsin8+1—sin2C

=l+sinAsinB,

所以由正弦定理得标+分一/=一仍,

又a,b,。依次成等差数列，△ABC的周长为15,

即。+c=2A,a+b+c=15,

*+扶一/=一々儿

由"a+c=2b,

a+b+c=15,

a=3,

解得•b=5,

6=7.

屏+〃一/32+72-52]]

COSB=_2ac-=2X3X7=U'

13.（2022・开封模拟）在平面四边形A8CO中，BCLCD,ZB=y,AB=3巾,AD=2y[10,

若AC=次后，则CO为.

答案1或5

解析因为在△48C中，/8=竽，AB=3yf2f

AC=3小，

由正弦定理可4

x应

•/“R".sinB32小

所以smN4C4—AC一3小一5，

又BCtCD,所以NAC8与NACZ）互余，

因此cosN4C£>=sin/ACB=坐，

在△ACO中，AD=2yflO