2023年高考一轮复习 三角函数与解三角形+含解析

三角函数

题型一：任意角的三角函数

一、单选题

1.(2022•北京市八一中学一模)在平面宜角坐标系宜万中，角。以Ox为始边，终边经过点(-3,4),则cos。=

()

4334

A.-B.-C.--D.—

5555

【答案】C

【解析】

【分析】

根据余弦函数的定义进行求解即可.

【详解】

设点P(—3,4),因为=-3)2+4:=5,所以8S，=g=-,.

故选：C.

3

2.(2022•北京房山•二模)已知cosa=g,a是第一象限角，且角夕的终边关于y轴对称，则tan/7=()

3344

A.—B.—C.-D.—

4433

【答案】D

【解析】

【分析】

根据cosa求出tana,根据角a,夕的终边关于y轴对称可知tan/=Tana.

【详解】

30f门gH.c4sincz4

.cosa二一，a是第一象限角，・・sma=71—cos~2a=—,tana=-------=—,

55cosa3

4

,角a,6的终边关于y轴对称，，tan/7=-tana=--.

故选：D.

3.(2022•山东潍坊•二模)已知角。的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，点A(%,2),贝孙4)

在角a的终边上，且西一“2=1，贝hana=()

A.2B.gC.—2D.—

【答案】C

【解析】

【分析】

2-4

根据题意，得到直线A8的斜率为氏=------=-2,进而判断。所在象限，即可求解.

%一工2

【详解】

由已知得，因为点A&,2）,8（孙4）在角。的终边上，所以直线A8的斜率为2=^—=-2,所以，明

■^1~X2

显可见，。在第二象限，tana=-2.

故选：C

4.（2022•山西临汾•一模（文））已知。角的终边过点（sin30。,-sin30。），贝ijsina的值为（）

A.--B.1C.--D.巫

222V

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出点的坐标，进而根据三角函数的定义求得答案.

【详解】

二

由题意，点的坐标为则2.

故选：C.

5.（2022•河南•一模（文））已知。是第二象限角，贝U（）

A.cosa>0B.sina<0C.sin2a<0D.tana>0

【答案】c

【解析】

【分析】

由已知结合二角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可.

【详解】

由a是第二象限角，可得cosavO,sina>0,tana<0

sin2a=2sinacosav0

故选：C

6.（2022•山东济南•二模）如果角。的终边过点P（2sin30,-2cos30）,则sina的值等于（）

A.1B.--C.一直D.一立

2223

【答案】C

【解析】

先计算三角函数值得尸再根据三角函数的定义sina=5"=庐仔求解即可.

【详解】

解：由题意得尸（1,一石），它与原点的距离,・=，1+（，5）2=2,

所以sina=2=—^=一直.

r22

故选：C.

7.（2022•河北石家庄•一模）若角。终边经过点（-2,1）,则cosa二

A\/52-4s

•"■RkJ.-rlx・

555

【答案】B

【解析】

【详解】

分析：利用三角函数的定义，即可求出.

详解：角々终边经过点（-2,1）,则「=/2）2+1=后

由余弦函数的定义可得cosa='=-撞.

r5

故选B.

点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.

二、多选题

1.（2022•湖北・孝昌县第一高级中学三模）已知角。的终边经过点尸（8,3cosa）.则（）

▲1「c7

A.sma=-B.cos2a--

39

「•上夜n2&

C.tan«=±——D.cosa=-------

43

【答案】ABD

【解析】

【分析】

.3cosa8

根据同终边角的正弦和余弦可知sma=,,,cosa=1,,然后解出方程并判断

\64+9cosaV64+9cosa

sina>0,cosa>0,逐项代入即可.

【详解】

解：由题意得：

如图所示：

y

\PQ\3cosa\OQ8

/.sina=\i---------,cosa------=/------

|。片v64+9cos2av64+9cos2a

,sinaj64+9cos2a=3cosa»即sin2a(64+9cos2a)=9cos2a

sin2a[64+9(1-sin2a)]=9(1-sin2a),即9sin4a_82sir?a+9=0

解得：sin2a=9(舍去)或sin，a=§

,/costz>0

.\sina>0

sina=§,故A正确；

.s号，故D正确;

(g)="故B正确;

/.cos2a=cos2a-sin2a=

sinaaV2

tana=-------=；=丁，故c错误；

cosa2\l2

r

故选：ABD

题型二：同角三角函数的基本关系

一、单选题

3

1.(2022•宁夏•固原一中一模(文))若cosa=《，且a在第四象限，则tana=()

a344

A.-B.——C.-D.——

4433

【答案】D

【解析】

由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解.

【详解】

解：，・，C5tz=g,且。在笫四象限，

/.sina=-Vl-cos2a=一1,

.sina4

.・tana=-------=—.

cosa3

故选：D.

2.(2022•辽宁•沈阳二中二模)若3sina+cosa=0,则—：—---------=()

cosa+sin2a

A.yB.|C.|D.-2

【答案】A

【解析】

先由3sina+8sa=0求出tana=-g,再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子

化简，即可得出结果.

【详解】

因为3sina+cosa=0,所以tana=-g,

l,“1sin2a+cos2atan2a+1o10

因此—；--------=；---------------=--------=——=—.

cos2a+sin2acos2a+2sinacosa1+2tana.23,

~3

故选：A.

【点睛】

本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型.

3.(2022•黑龙江•哈九中三模(文))已知sin2a=L且=二，则8sa-sina=()

432

A.1B.--C.--D.2

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角公式结合平方关系得(cosa-sina)2=l利用?<a开方取负值即可

【详解】

(13

vsin2a=2sinacosa=—,sin2a+cos2a=1,/.(cosa-sina)2=1—=—,

兀冗

,/—<a<—cosa-sma=----，

322

故选：C.

4.(2022•江西萍乡•三模(文))已知tane=g,贝ijsin6cos6=()

2288

--C-

A.5B.5-5-D.5-

【答案】A

【解析】

【分析】

sinOcos。

由sin〃cosO=分子分母同除以cos?e,即可求出结果.

sin20+cos28

【详解】

sinSeos。land

因为sin®cos®=

sin2cos20tan2^+l

}_

i2

又tar）9=-,所以sin6cos0="；^—=一,

2Li5

4

故选：A.

5.（2022・广东广州・三模）己知sinx+cosx=孝，若xe（0,兀），则cos2x的值为（）

A.JB.且C.--D.一3

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

将sinx+cosx='^两边平方得：2sinxcosx=-；<0,结合sinx+cosx=，^>0,求出工的范围，再利

222

用cos?Zx+sin?2x=1求解即可.

【详解】

解：将sinx+cosx=y^两边平方得：2siiucosx=-；<0,

22

所以,

又因为sior+cosx=叵>0,

'2

所以、£(不3~)，2XG(it,—),

242

乂因为Sin2x=-，

所以cos2x=-Vl-sin22x=-—•

故选：D.

6.(2022•江西南昌•三模(文))若角。的终边不在坐标轴上，且sina+2cosa=2,则tana=()

43^3

A.-B.-C.■—D.一

3432

【答案】A

【解析】

【分析】

结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出cosa,从而求出sina,根据Uma=型即可求得结果.

cosa

【详解】

sin2a+cos2a=13„

*=>cosa==或cosa=l,

sina+2cosar=25

,•.a的终边不在坐标轴上，.'.cosa=1,

34sina4

sina=2-2x—=—,..tana=-------=-

55cosa3

故选：A.

7.(2022•广西南宁•二模(文))若。是钝角且sina=g,贝ijtana=()

A.--B.—C.--D.—

4422

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出cosa,再根据商数关系求出tan2即可.

【详解】

因为。是钝角，所以cosau-Jl-sin%=_名色.则tana=亘"。=.

VUJ3cosa4

故选：A.

题型三：三角函数的诱导公式

一、单选题

1.(2022•江西萍乡•三模(理))已知28s("9)=sin5+0),则sin20=()

人4「4-8「8

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】A

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简2cos（%-0）=sin（7t+0）可以得到tan0=2,再将sin20化为齐次式，采用“弦化切”，代入

tanO即可得到答案

【详解】

1/2cos（n-0）=sin（7t+G）,.-.2cos0=sinO

/.tan0=2

.isin202sin0cos0_2tanO_2x2_4

sin2G=一；......-=

sin2G+cos'0sin26+cos20tan20+122+15

故选：A

2.（2022•宁夏•吴忠中学三模（文））若cosa=1,二为第四象限角，则tanS-a）等于（）

4批4-3_3

A.—B.-C.—D.

334~4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用平方关系及商数关系，结合诱导公式即可求值.

【详解】

333

由题设sina=一一,所以tana=一—，则1an(万一a)=-tana=—.

544

故选：C

3.（2022•内蒙古呼和浩特•二模（文））cos^=（）

A.--B.。C.一显V3

D.

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

由诱导公式化简求值即可.

【详解】

20兀，18兀+2兀、..2兀、2兀1

COS—=COS（----------------）=COS（O7T+—）=COS—=--,

故选：A

4.（2022•宁夏石嘴山•一模（理））已知sin］。-普卜!，

则cosa=()

A1R12x/22、伤

rD.

333

【答案】A

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简即得所求

【详解】

sin（a一羡）=一sin（子一a）=-（-cosa）=cosa=g

故选：A

5.（2022•福建漳州•二模）已知sin但一/=:，则cos[x+=]=（）

A.一述B.-1C.1D.还

3333

【答案】C

【解析】

【分析】

整体法用诱导公式求解.

【详解】

c4+升sin（＞冶卜喔一,《

故选：C

（理））已知sin（aT!=1，则cos(a—.)=()

6.（2022•广西柳州•二模-i]

7]_17

A.-B.c.—D.--

9339

【答案】B

【解析】

【分析】

利用诱导公式化简求值.

【详解】

由诱导公式得cos（a4）=cosfa+---1=

sin

I32)

故选：B.

7.（2022•内蒙古・满洲里市教研培训中心三模（文））若singa）=-，cos（*2a）的值为（）

B.-29

A.-D.

2525

【答案】B

【解析】

【分析】

由诱导公式进行化简，然后根据二倍角公式即可求解.

【详解】

(兀一2

U)55cos2a)--cos2a=-2cosa+l=-2x

故选：B

8.(2022・贵州贵阳•二模(理))若cos(a-?)=|,sin2a=(

）

24724

A.-----B.-----C.—D.L

25252525

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式可得cos（加-,利用诱导公式可得结果.

【详解】

•/cosf2a-^]=2cos2=—-1=--,/.sin2a=cos

I2)[4)2525

故选：B.

9.（2022•江西九江•三模（理））己知$山&-8$。=!，则cos（a+?）=（）

A.-1

B.

36c5

【答案】B

【解析】

【分析】

苜先根据辅助角公式得到sin（a-?）=弓，再利用诱导公式求解即可。

【详解】

sina-cosa=\/2sinfa-即sin]J

4,

(4)\(7Tn.(乃）V2

cosa+—=cosa——)=-sina—

I4jI4

故选：B

10.（2022•安徽马鞍山•三模（文））若sina+cosa<l,则lan（4-。）等于（）

3

BD.

-I4

【答案】D

【解析】

【分析】

由平方关系结合已知可得sina,然后由诱导公式和商数关系可得所求.

【详解】

43

因为cosa=g,所以sina=±g

3

因为sina+cosa<l,所以sina=一

5

3

5一3

“I/xsina-

所以tan(^--a)=-tana=------44-

cosa

5一

故选：D

题型四：三角函数恒等变换

一、单选题

1.(2022•湖南•雅礼中学二模)已知3cos2a—8cosa=5,则cosa=()

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二倍角公式即得.

【详解】

由题可得6cos2a-8cosa-8=0，

2

解得cosa=2(舍去)，或cosa=—.

3

故选；A.

2.(2022•北京•二模)已知角0的终边经过点尸卜|,1),则sin%=()

247794

A.---B.---C.—D.—

25252525

【答案】A

【解析】

【分析】

根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求sin2a.

【详解】

434324

由题设sina=—,cosa-——，而sin2a=2sinacosa-2x—x(——)=----.

故选：A

sin2a

3.(2022•河南商丘•三模(文))已知tana=-3,则------=()

1-cos2a

A.3B.—C.——D.-3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角公式化简即可

【详解】

sin2a=2cosasina=cosa=---1----=——1

1-cosla---2sin2a-------sina----tana3,

故选：C

4.(2022•黑龙江•哈九中三模(文))已知sin2a=",且则cosa-sina=()

A.4B.--C.--D.—

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角公式结合平方关系得(cosa-$ina)2=l-；=：,利用?<a开方取负值即可

【详解】

,/sin2a=2sinacosa=—,sin2a+cos2a-1,..(cosa-sina)2=1——=—,

444

7TTV.J5

<acosa-sina=-------，

322

故选：C.

5.(2022•福建南平•三模)在AABC中，若tan(A+8)=-&，则Uin2C=()

A.-2V2B.-也C.V2D.20

2

【答案】A

【解析】

【分析】

由tanC=-tan(A+8)=0,利用正切的二倍角公式即可求解.

【详解】

因为A+B=;r—C,所以tanC=-lan(A+8)=\/5,

.K2ame2>/2仄

所以1an2C=TT^=；q^=—20,

故选：A

3cosa.

6.（2022•内蒙古包头•二模（理））若aw,tan2a--：—,则tana=()

2-sina

B-4C.6D.-73

【答案】B

【解析】

【分析】

根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可.

【详解】

33cosasin2。3cosa2sinacosa3cosa

tan2a=-------=>------=-------=--------——=-------

2-sinacosla2-sina1-2sina2-sina

n

因为2，n,所以cos〃工0,

2sinacosa3cosa2sina3

于是由，=--------=，

l-2sin2a2-sinal-2sin2a2-sina

解得4sin2a+4sina—3=0,

13

解得sina=不，ngsina=--<-l(舍去),

22

因为喏兀,

所以4

6

art57t7t

即tana=tan——=-tan—=

66

故选：B

设sin32°=&,则tanl6Y—1

7.（2022.湖北武汉•二模）)

tanl6

1

B.C.2kD.k

A，7

【答案】A

【解析】

【分析】

化切为弦，通分,再利用平方关系及倍角公式即可得解.

【详解】

1

解：tan160+

tan160cos160sin160

sin216°+cos216°

sinl60cosl6°

]

-sin32°

2

2

=r

故选：A.

8.(2022•陕西・安康市高新中学三模(文))若lana=4，则等给=()

21+sin2a

Qi13

A.-B.—C.—D.—

4235

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角公式及同角二角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；

【详解】

cos2acos2a-sin2acoscr-sinor1-tana71

&2_______—_____________—____________________J

2

,1+sin2a(sina+cos«)cosa+sina1+tana.+J_3'

2

故选：C.

9.(2022•江西萍乡•二模(文))已知sin(a+^)=g,则cos(2a+?)=()

A.yB.无C.--D.-近

2222

【答案】A

【解析】

【分析】

利用二倍角的余弦公式求解.

【详解】

因为sin(a+.)=；,

故选：A

10.（2022•山西•二模（理））若空生=?，贝1]85加=（）

tana3

A2B--c-D--

•33.3.3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用二倍角公式和切化弦，化简即可求得.

【详解】

sin2a2sinacosa-2.〜1c

因为Uma=sina=2cosa=l+ss2a=§,所以8s2a='.

cosa

故选:B.

11.（2022•黑龙江•哈师大附中三模（理））若。«0,4），cosa-sina=g,则cos2a=（)

A.—B.一也C.-D.--

4444

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得sin"的值，再求sina+cosa,结合二倍角余弦

公式求值即可

【详解】

..1

•cosa-sina=—,

2

平方可得1-sin2a=L

4

•・・s•in）2a=3一,

4

sina,8sa同号，又ae（0/）,

二ae（0,/），

（sina+cosa）2=1+sin2a=：,

・・sma+cosa=——，

2

则cos2a=cos2a-sin2a=(cosa-sina)(cosa+sina)=,

4

所以cos%=—

4

故选：A.

12.（2022•山西晋城•三模（理））若tan6=2,则cos2^=（）

A.B.--C.-D.-

5353

【答案】A

【解析】

【分析】

由余弦的二倍角公式,然后再结合平方关系和商的关系，转化为tan®的式子，得出答案.

【详解】

_cos2-sin2_1-tan2^_1_4_3

cos2。=cos2^-sin20

cos2+sin21+tan201+45

故选：A

二、多选题

I.（2022•海南海口•二模）己知。«万,2笈），sina-ta^a=tany,则（）

A.tana=-75B.cosa=—C.tanp=4^D.cos§=3

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据商的关系化简条件可求cosa,利用平方关系求sin。，再由商的关系求lana,再利用lan§,结合二

倍角公式及同角三角函数关系求尸，cos/?.

【详解】

因为sina=tanacosa=-------，

2

所以cosa=/,又ae（乃,2乃），

所以sina=-无，tana=->/3»故A错误，B正确.

2

•P百

tan-=------>

22

2tan—

所以【an夕=-----4=-46,

1-tan2^

2

cos2--sin2—1-tan2—.

______2_1

cosy?=22

62+8"-,区一7,

222

故Ct苦误，D正确.

故选：BD.

（2022・全国•模拟预测）己知工£怎,乃），3cosx=8tanx,则（

2.)

A.sinx=-

3

博一逑

B.

7

C.cos2x=-

3

n34&-9

D.sinx+—X+—7T

4418

【答案】ABD

【解析】

【分析】

切化弦后，由平方关系化为关于sinx的方程，解方程可得sinx,求出cosx后由商数关系得tanx,再由正

切的二倍角公式得tan2x,由余弦的二倍角公式得cos2x,由两角和的正弦余弦公式化简后代入cosx,sinx

值可得sin(x+?7T卜051+［开).

4

【详解】

对于选项A,V3cosx=8tanx,3cos2x=8sinx>A3sin2x+8sinx-3=0»=i«£sinx=-3(^),

故选项A正确;

2

72

2^2=~~'

3

COS2X=2COS2X-1=2x1="♦故选项C错误;

对于选项C,

1、4x/2-9

=(l+2smxcosx)=,故选项D正确.

122J121o

故选：ABD.

题型五：三角函数的图象和性质

1.（2022•河北邯郸・二模）函数〃x）=sin（2喈）在卜;，"上的值域为（）

A.（0,1]B.一^~,0

C.-等1D.[一1,1]

X.

【答案】c

【解析】

【分析】

根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.

【详解】

当xe，雪]时，当2x+m=g时，即x时，f（x）=sin（2x+9取最大值1,当

2x+：=g即时，/（x）=sin（2x+/取最小值大于一日,故值域为一争1

故选：C

2.（2022・陕西西安•三模（文））下列区间中，函数f（x）=2sin（：-x）单调递增的区间是（）

【解析】

【分析】

根据诱导公式，结合余弦型函数的单调性进行判断即可.

【详解】

f（x）=2sin（；-x）=2cos（；-；+x）=2cos（x+；）,

当xw（0,5）时,:显然该集合是（0,兀）的子集

此时函数/（x）=2sin（；-x）单调递减，不符合题意；

当工€俘兀）时，：+传学）显然该集合不是（兀,2兀）的子集

此时函数“X）=2sin（；-X）不单调递增，不符合题意；

当时，:+XC（与■，子），显然该集合是（兀,2兀）的子集

此时函数〃x）=2sin（〉）单调递增，符合题意；

当xe传同时，:+xe传朗，显然该集合不是（兀，2兀）的子集

此时函数f（x）=2sin不单调递增，不符合题意，

故选：C

3.（2022•安徽淮南•二模（文））函数），=（/--卜inx的部分图象可能是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性以及特殊值排除法，即可求解.

【详解】

记/（司二12一/卜由不则/（-刈=一任一］-2卜加工,故/（外=_/（—）,/（幻是奇函数,故图像关于原点对称.

此时可排除A,c,取13,应）呜H>0，排除D-

故选:B

4.（2022-江西九江・一模（理））函数〃力=8$25-2曲2的：3>0）的最小正周期为，，则0的值为（）.

A.2B.4C.1D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据二倍角的余弦公式可得/（X）=|COS25-；,结合求最小正周期的公式r二而计算即可.

【详解】

l+cos2tyxx3_1

解：f(x)=-----------------(Z1-cos2o(ox)=—cos2cox一-,

由切>0得函数的最小正周期为T=§=《，

2UJ2

co=2,

故选：A.

5.（2022•安徽蚌埠•三模（文））已知函数〃力=2/（妙+8）,>0,|同<5）的图像如图所示，则①的值为

【答案】C

【解析】

【分析】

由图象分析函数的周期，求得①的值.

【详解】

由图象可知，函数的半周期是2万，所以卫二2兀，得/

co2

故选：C

6.（2022・上海松江•二模）设函数/（x）=sin（8+g）（0<<y<5）图像的一条对称轴方程为工=白，若为、巧是

612

函数八刈的两个不同的零点，则1茶一巧1的最小值为（）

A.B.-C.-D.7V

642

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对称轴和。的范围可得切的值，从而可得周期，然后由题意可知IN-芍।的最小值为g可得.

【详解】

由题知二切+工=2+&乃次©Z,则G=124+4,keZ,

1262

因为0<0<5,所以刃=4

所以r高三

易知1芭一西1的最小值为《=

故选：B

7.(2022•青海・海东市教育研究室一模(理))已知定义在0,：上的函数/(x)=sin(s-若f(x)

的最大值为则。的取值最多有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【解析】

【分析】

因为⑷工一^^^^/3一丁］,讨论:口一营之］或£0一2<5,结合函数图像理解分析.

4［_444J442442

【详解】

八兀1rin「兀兀TZ

VX€0,—,贝④r——€——6?——

4J4444_

若/(x)的最大值为分两种情况讨论：

①当即之时，根据正弦函数的单调性可知，解得

03/Wmax=l=y>o=5；

②当<5