2023届高考数学一轮复习 19 解三角形 讲义 （解析版）

专题19解三角形

W真强试炼

3___________I

1.(2021•全国甲卷)在&ABC中，已知B=120°,AC=M，AB=2，则BC=()

A.1B.72C.逐D.3

2

2.(2020•新课标HI•文)在△ABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,则tanB=()

3

A.75B.2石C.4&D.86

基础梳理

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是。，b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

(2)/="+/—26cosA；

内容(1)sin/l_sinB_sinC~2R护=/+/-2cacosB；

(r=cr-\-b2-2abcosC

(3)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2/?sinC；/+c2―/

(7)cosA-2bc；

/八•A〃.□b•「c

(4)smA=港，sin8=无，sinC=正：

c2-/-Z?2

变形

(5)。：b:c=sinA：sin8：sinC；cos8-2"；

(6)asinB=bsinA,匕sinC=c,sinB,asinCa2-^b2-c2

cos。-2ab

=csinA

2.三角形常用面积公式

(1)5=%也,(/?“表示边a上的高).

(2)S=g〃加inC=£acsin8=2加sinA.

(3)S=J(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).

3.测量中的几个有关术语

术语名称术语意义图形表示

在目标视线与水平视线（两者在同一铅

垂平面内）所成的角中，目标视线在水平

仰角与偏角

视线上方的叫做卸角，目标视线在水平

视线下方的叫做游角

从某点的指北方向线起按顺时针方向到

方位角FI标方向线之间的夹角叫做方位角.方

位角。的范围是0。“<360。

正北或正南方向线与目标方向线所成的

方向角

锐角，通常表达为北（南）偏东（西）a

坡面与水平面所成的锐一面角叫坡角⑹

为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之

坡角与坡比

比叫坡比（坡度），即i=4=tan。

考点归纳

考点一利用正弦、余弦定理解三角形

【方法总结】（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元

素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方

程求得未知元素.

（2）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条

件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

在①加+q5ac=q2+c2；②acosB=bsinA；③sin8+cos8=啦这三个条件中任选一个，补

充在下面的问题中，并解决该问题.

1.已知△43C的内角4,B,C的对边分别为mb,c,,A=?b=y/2,求△48。

的面积.

考点二正弦定理、余弦定理的应用

【方法总结】（1）判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.

②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A+B+C=7t这个结论.

2.三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.

设AABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccos8=asinA,则△ABC

的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

3.在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且A哼a=2,则△ABC面积的最

大值为.

考点三解三角形应用举例

4.（2020・宁德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密

的最后遗产“，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径

（即A,5两点间的距离），现取两点C,D,测得C£>=80,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA

=15°,NACB=120。，则图中海洋蓝洞的口径为.

5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶。在西

偏北30。的方向上，行驶600m后到达8处,测得此山顶在西偏北75。的方向上,仰角为30。,

则此山的高度CD=m.

余对点练习

一、单选题

1.（2022•南昌模拟）在△A5C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,cos4=J,

8

sinB=47，则〃=()

16

A.8B.6C.5D.3

2.（2022•吉林模拟）已知△ABC,内角4、B、。的对边分别是

a,b,c,a=近,b=6,B=60。,则A等于（）

A.45°B.30。C.45°或135D.30°或

150°

3.（2022.江西模拟）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

bsinB+csinC=—asinA,则3t3n的值为（）

3sinBsinC

A.4B.5C.6D.7

4.（2022•河南模拟）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），

为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点

保护文物，已被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英

塔底部D在同一水平面上的A,B两点，测得AB=35J7米，ZC4£>=45°,ZCBD=30°，

ZADB=150°,则蜚英塔的高度。。是（）

A.30米B.30，*米C.35米D.35近

米

5.（2022.河南模拟）在长方体中，A8=2A4=2ADE,凡G,H

分别是棱A。，C.D.,8C,4片的中点，则异面宜线所与GH所成角的余弦值是（）

A1B6cRD1

9993

6.（2022・西安模拟）设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若L+g—Ln-J—

abca+b-c

则AABC的形状是（）

A.等边三角形

B.C为直角的直角三角形

C.C为顶角的等腰三角形

D.A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形

7.（2022•浙江模拟）如图，四边形A3CQ中，AB=BD=DA=2,BC=CD=y/2-现

将沿30折起,当二面角A-B力—C处于过程中，直线A。与BC所成角

oo

的余弦值取值范围是（）

8.（2022•上海市模拟）如图，在aABC中，已知N8=45。，D是3C边上的一点,

AD=5,AC=7,DC=3,则A8的长为（）

5G

A.5eB.55/6

FD・平

9.（2022•泰州模拟）为庆祝神州十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，

特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，具冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径

为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上

折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cm.

A.6+9百B.6+12石C.9+9百

D.9+18百

10.（2021高「上•广东月考）2021年7月份河南郑州地区发生水灾，灾后需要对市区所有

街道进行消毒处理.下面是消毒装备的示意图，MN为路面，PQ为消毒设备的高，OQ为

喷杆，PQ工MN,ZPQO=—,O处是喷洒消毒水的喷头，且喷头的喷射角

4

=q，已知PQ=2,OQ=血,则消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小

值为（）

A.6B.25/3C.些D.3百

3

二、填空题

11.（2022•浙江模拟）如图，在AABC重，点D是线段BC上靠近点C的三等分点.若AB=9,

4c=3,AD=M，则NA=；BC=.

12.（2022・日照模拟）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2c,且

sinA,sinB,s加C成等比数列，则cosA=

13.（2022•柯桥模拟）如图，在△ABC中，D为边上一近B点的三等分点,

sinZBAD

AB=6,AC=6,ZC则Ml---------S

=IsinZ.DAC

14.（2022•河南模拟）在△ABC中，ZC=120%△ABC的面积为4石，。为BC边的中

点，当中线A。的长度最短时，边长等于.

15.（2022•浙江模拟）如图，在入钻。中，AB=5AC=2,BC=3,P是△A5C内一

点，且4尸=1,PA1PC，则/4C8=，sin/APB=.

三、解答题

16.（2022•吉林模拟）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

asinB=bsin\A+—.

I3j

（1）求角A的大小；

（2）若48=3,AC=1,N84C的内角平分线交边BC于点D,求而•前.

17.（2022•南开模拟）已知△ABC中，角AB,C的对边分别为

a,b,CttanB=1,a=>/2,b=3-

⑴求sinA：

（2）求cos（2A-8）；

（3）求c的长.

18.（2022•湛江模拟）如图，一架飞机从A地飞往8地，两地相距200km.飞行员为了避开

某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成。角的方向飞行，飞行到

C地，再沿与原来的飞行方向成45角的方向继续飞行60夜km到达终点.

（1）求A、。两地之间的距离;

(2)求tanO.

19.(2022•浙江)在dABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.

3

已知4a=>/5c,cosC=—.

(I)求sinA的值：

(II)若b=ll,求△ABC的面积.

20.(2022•全国乙卷)记△ABC的内角48C的对边分别为a,b,c,已知

sinCsin(A-fi)=sinBsin(C-A).

(1)证明：2a2=Z?2+c2;

u25

a=5,cosAA=—

(2)若31,求“IBC的周长

专题19解三角形

W真强试炼

_n__；____I

1.（2021•全国甲卷）在△ABC中，已知B=120°,AC=M，AB=2，则BC=()

A.1B.72C.逐D.3

【答案】D

【解析】解：由余弦定理得AC?二AB2+BC22AB.BC-COSI20。，

即I9=4+BC2+2BC

即BC2+2BC-I5=0

解得BC=3或BC=-5(舍去)

故BC=3

故答案为：D

2

2.(2020•新课标HI•文)在△ABC中，cosC=-,AC=4,BC=3,则lanB=()

3

A.y/5B.2逐C.46D.875

【答案】C

【解析】设AB=c,BC=a,CA=b

2

c2=a2+b2-2«/?cosC=9+16-2x3x4x—=9.\c=3

3

故答案为：C

宜基础梳理

1.正弦定理、余弦定理

在△ABC中，若角4,B,C所对的边分别是小b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

(2)/=/+/-2力ccosA；

内容⑴£=2R从=，+/—2cacos8；

''sinAsinBsinC

/=/+护一2〃/ycosC

(3)a=2RsinA,Z?=2/?sinB,c=2RsinC；/+/一/

⑺cosA-2bc；

,A、,Aa.nb.c

(4)sin^=2^>sinB=/,smC=而;

C1-CT—b1

变形

(5)a:bc=sinA：sin8：sinC；cos”2〃；

(6)flsin5=bsinA,bsinC=csinB,asinC/+护一》

cos—2ab

=csinA

2.三角形常用面积公式

(l)S=5・/?“(总表示边a上的高).

(2)S=/a加inC=^«csin8=*csinA.

(3)S=、(a+b+c)(r为三角形内切圆半径).

3.测量中的几个有关术语

术语名称术语意义图形表示

在目标视线与水平视线(两者在同一铅目标

垂平面内)所成的角中，目标视线在水平矍f晨平

仰角与俯角视线上方的叫做尔角，目标视线在水平啜野受

、目标

视线下方的叫做耐角视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到

方位角FI标方向线之间的夹角叫做方位角.方

位角。的范围是0。“<360°

正北或正南方向线与目标方向线所成的

方向角

锐角，通常表达为北（南）偏东（西）a

坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（。

为坡角）；坡面的垂直高度与水平长度之

坡角与坡比

比叫坡比（坡度），即i=：=tanO

^^考点归纳

考点一利用正弦、余弦定理解三角形

【方法总结】（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元

素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方

程求得未知元素.

（2）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条

件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

在①护+q5ac=a2+d；@acosB=bsinA；③sin8+cos8=啦这三个条件中任选一个，补

充在下面的问题中，并解决该问题.

1.已知△A2C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,4=?求△ABC

的面积.

【答案】（1）若选择①加+啦4（?=，+/,

由余弦定理得cos+工b坐,

因为B£（0,7t）,所以84;

由正弦定理篇=信，

坦加inA建请r-

得。=/耳=飞一=73,

2

因为A=?B=£,

l、lc兀兀5兀

所以。二汽一1一]：五，

所以sinC=sinsin(4+6)

.71it,it.it[6+或

=smjcos石+cos^sin4="4"，

“11I1«-»-34~*^3

所以St,ABC=2^bs\nC=2XN3XV^X^4^~=~4"

(2)若选择②4cosB=bsinA,

则sinAcosB=sinBsinA,

因为sinA/),所以sin8=cosB,

因为8£(0,TC),所以B得

由正弦定理就i=磊，

但加inA

得片十万

2

因为A=$B=j,

所以。=兀w=居，

所以sinC=sinsin(4+6)

.兀n.兀.兀#+啦

=sin4cos石+cos4sm4=”J,

ULII11r-r->\/6~l~^234~"^3

所以SA48c='MinC=]X小xpx'J=一

(3)若选择③sin5+cosB=r,

则gin伍+；)=的所以sin(B+g=l,

因为B£(0,6所以B+扣件竽),

所以8+京=看所以B=；：

由正弦定理新=磊,

加inA

得ZBJa=7i前

2

因为4=三，8=£,

所以。=冗w=含

5兀.fit.7tA

所以sinC=sin12=s,nl4+6j

.717c7t.11

=sinjcos^l-cos^sin7=

所以S^ABc=^absinC=3X小X啦义亚:也=。个^.

考点二正弦定理、余弦定理的应用

【方法总结】（1）判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.

②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A+B+C=7t这个结论.

2.三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.

设AABC的内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,若反osC+ccosB=asin4,MAABC

的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.不确定

【答案】B

【解析】由正弦定理得sinBcosC+sinCeosfi=sin2A,

sin（B+Q=sin2A，

BPsin（n—A）=sin2A,sinA=sin%

VAG（0,7t）»AsinA>0>sinA=1,

即A4•••△ABC为直角三角形.

3.在△ABC中，角A,B,。的对边分别是a,b,c,且A=/a=2,则AABC面积的最

大值为.

【答案】2+小

【解析】由余弦定理/=〃+/—20CCOS4,

所以加*（2+小）,

所以SAABc=/csinA<2+小，

故、ABC面积的最大值为2+切.

考点三解三角形应用举例

4.（2020.宇德质检）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密

的最后遗产“，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径

（即A,8两点间的距离），现取两点C,D,测得8=80,NAO8=135。，ZBDC=ZDCA

=15°,ZACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为.

【答案】8075

【解析】由已知得，在△ADC中，N4CQ=15。，N4OC=150。，所以NDAC=15。，

由正弦定理得忙=嚅黑）=谭声40（#+也）.

4

在ABC。中，ZBDC=15°,NBCO=135°,

所以NO8C=30。，

_T力±eCDBC

r由41正弦定珏sin/C8D=sin/8£）C'

zg__CDsinNBDC80xsin15°，/八.,_…斤大、

得BC=sin/CBD=----i----=I60s,n15o0=40（加一班）.

2

在AABC中，由余弦定理，得AB2=\600x（8+4巾）+1600x（8-4巾）+2x1600x（#+

也）x（加一啦）xa=1600x16+1600x4=1600x20=32000,

解得48=86后，故图中海洋蓝洞的口径为8M.

5.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶。在西

偏北30。的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75。的方向上,仰角为30°,

则此山的高度CD=m.

【答案】100>/6

【解析】由题意，在△ABC中，NB4C=30。，NA8C=180。-75。=105。，故N4CB=45。.

又48=600m,故由正弦出理得^^=系2

解得BC=30Mm.

在RtABCD中,CD=BCtan30°=30()V2x^=lOOjb(m).

衾对点练习

一、单选题

1.(2022.南昌模拟)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=5,cosA=-f

8

s山8=前，则。=()

16

A.8B.6C.5D.3

【答案】B

【解析】解：△ABC中，因为COSA=L,所以立九4二迈，由正弦定理一生=一也得

88sinAsinB

4_5

3币—5币,化简得〃=6.

816

故答案为：B.

2.（2022•吉林模拟）已知△ABC,内角4B、C的对边分别是

a,b,c,a=五,b=6,B=60。,则A等于（)

A.45°B.30°C.45。或135D.30。或

150°

【答案】A

【解析】解：•・•〃=&,b=68=60。，

：・a<b,Av8.

,——上eab』.』asinB

由正弦定理——-=——-得：sinA=---

sinAsinBb琴等

・•・A=45。，

故答案为：A.

3.（2022.江西模拟）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

bsinB+csinC=—asinA,则3t3n的值为（）

3sinBsinC

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

22

【解析】由已知及正弦定理得6、2+。52=一4c/,所以cosA=fhr_T+£r_—_/匕7=上所以

32bc6bc

sinAtanAsin2A6bca2

------;----=----------------------=------------

sinBsinCcosAsinBsinCa2be

故答案为：C.

4.（2022•河南模拟）蜚英塔俗称宝塔,地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年）.

为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点

保护文物，己被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英

塔底部D在同一水平面上的A,B两点，测得=35J7米，ZC4T>=45°,ZCBD=30°,

ZADB=150°

A.30米D.35>/7

米

【答案】C

【解析】设C£>=x,在AACO中，ZCDA=90°,ZC4D=45°,MAD=x,

在△BCD中，NCDB=90。,NCBD=30。,则瓜，

因为NAZM=150。，所以由余弦定理得：x2+3x2-2x-y/5xcos\500=(35V7)2,

整理得：7/=(35/7)2,解得才=35。

故答案为：C

5.（2022•河南模拟）在长方体ABC。—AMGR中，AB=2AAi=2AD,E,F,G,H

分别是棱4。，C,D,,BC,AG的中点，则异面直线石尸与G”所成角的余弦值是（）

,1R6「娓

\•H・■C・1

999

【答案】A

【解析】解：如图，连接EG，取EG的中点。，连接A。，G。，AG-

在长方体ABC。一AgGR中，

因为EO〃DC且EO=；DC,FC】〃DC且FC产;DC,

所以FC//EO且FC、=EO,所以四边形OE/G是平行四边形，

同理可得四边形OG”A平行四边形，所以EFHOC,,GHHOA、,

故N^OG是异面直线E尸与G"所成的角（或补角）.

设40=2,则4G=2石，。4=。6=3,

\O1+OC^-\C-9+9-20

故COSNAOG=

2AoOC12x3x39

即异面直线EF与GH所成角的余弦值为".

故答案为：A

6.（2022・西安模拟）设2^43。的内角人上《的对边分别是@、15、口若！+!--=—!一

abca+b-c

则△ABC的形状是（）

A.等边三角形

B.C为直角的直角三角形

C.C为顶角的等腰三角形

D.A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形

【答案】D

【解析】解：•・•2+:一■=—\—

abca+b-c

:.bc{a+b-c)+ac(a+b-c)-ab(<a+b-c)=abc,

即abc+b2c-bc2+crcabc-ac1-a2b-ab2+abc-abc=O

合并得：trc-bc1+a2c-ac2-crb-ab1+2abc=0'

(a2b-a2c)+(-abc+ac2)+(ab1-abc)+(-b2c+be2)=0,

a2(b-c)-ac(b-c)+ab(b-c)-bc(b-c)=0，

(a2-ac+ab-bc)(b-c)=0,

[a(a-c)+b(a-c)](b-c)=0,

(a+b)(a-c)(b-c)=0,

.•.4=c或6=c,

所以△ABC为以A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形：

故答案为：D.

7.(2022•浙江模拟)如图，四边形48co中，AB=BD=DA=2fBC=CD=@现

将△回力沿折起，当二面角A—30—C处于过程中，直线AO与8C所成角

o6

【答案】D

【解析】设向量而与沅所成角为0「二面角A—况）一。的平面角大小为。2，

因为BC?+CD2=BD2,所以3C_LC。，又BC=CD，所以NBOC=NOBC=二，

4

ADDB=2x2xcos-=-2,BDBC=2x>j2xcos—=-2,

34

则/=而+丽+心，

所以

2221

\AC\^Ab+DB+BC\=AD+DB+BC+2ABDB+2ADBC+2DBBC=2+4>/2cosQl

取8。中点E,连接AE,CE,则AE_L8DCEA.BD,NAEC=/，

AE=5CE=1,

222

在△4£C中，AC=AE+CE-2AECECOS^2,即AC?=4-2石cos%，

所以2+4ybeos。i=4—26co由?，即cos3=cos。？，

2,442

又因为。2WB，学，所以COS。G，

66」88

-q-s5-

因为直线夹角范围为0，1,所以直线AO与8C所成角的余弦值范围是0，手

故答案为：D.

8.（2022•上海市模拟）如图，在aABC中，已知ZB=45。，D是BC边上的一点,

AD=5fAC=7,DC=3,则A8的长为（）

A.5百

【答案】D

厂AC2CD2-AD249+9-2511

【解析】在△4CD中，由余弦定理得:cosC=----------------------=--------------=—

2ACCD2x7x314

因为Cw(O,71),

所以sinC=

AB_7

AB_AC

在△ABC中，由正弦定理得:即56sin450，

sinCsinBIT

解得：AB=—

2

故答案为：D

9.（2022.泰州模拟）为庆祝神州十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，

特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径

为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上

折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cm.

A.6+96B.6+12月C.9+96

D.9+186

【答案】C

【解析】A,B,C在底面内的射影为M,N,P分别为对应棱的中点,

：.AB=MN=-DF=-x36=9,：.AABC是边长为9的等边三角形,

24

2r=-y=-==65/3,r=36

设△ABC外接圆圆心O,半径r,则,

：.OO\=136-27=3,AM=V182-92=973«；•。到平面DEF距离=9后，

•••冠军奖杯的高度为6+3+9百=9+9>/3，

故答案为：C.

10.（2021高三上•广东月考）2021年7月份河南郑州地区发生水灾，灾后需要对市区所有

街道进行消毒处理.下面是消毒装备的示意图，MN为路面，PQ为消毒设备的高，OQ为

喷杆，PQ1MN,/尸。0=毛，O处是喷洒消毒水的喷头，且喷头的喷射角

ZAOB=-，已知PQ=2,OQ=g,则消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小

3

值为（）

MpA

5G

B.25/3D.3百

亍

【答案】B

【解析】过点O作OC_LAB于点C,过点Q作QDJ_OC于点D,

因为PQ上MN,ZPgO=—,所以NQOD=/OQD=%,

44

因为0。=&，PQ=2,所以0D=\,CD=PQ=2,所以00=3,

因为=f,由面积公式得：S=-OA-OBsin-=—OAOB^

32OAB34

13

又因为S△Ov/AtoIt=2-AB0C=2-AB,

所以-OAOB=-AB，即AB=—OAOB^

426

要想使得消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值，只需OAOB最小，

由余弦定理得：AB1=OA2+OB2-2OA-OBcos-，

3

(h丫

即—OAOB=OA2+OB2-OAOB,

[6)

化简为：—O^OB2+OAOB=OA2+OB2,

12

因为+OB2>2OAOB，当且仅当OA=OB时等号成立，

1,、

所以—OA2OB2+OAOB>2OAOB，解得；OAOB>12或OAOB<0(含去),

12

故AB=—OAOB>—x\2=2y[3，此时OA=OB=20

66

故答案为：B

二、填空题

11.（2022.浙江模拟）如图，在“IBC重,点D是线段BC上靠近点C的三等分点.若48=9,

AC=3,AD=>f\9，则ZA=；BC=

【答案】60°；3不

___I?一

【解析】设==B，则=+故

19=AD2=-a2+-P+-a.^=9+4+-a-^

9999

_?7-ab1

从而。石=——，从而cos〈编b）=------=-,故NA=60°.由余弦定理得

2|菊•闻2

BC2=AB2+AC2-2ABACCOSA=92+32-2x9x3x-5-=9x7,故BC=3@.

2

故答案为：60°,3".

12.（2022・日照模拟）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2c,且

sinA,sinB,si〃C成等比数列，则c、osA=.

【答案】一也

4

【解析】解：由s%4sinB,si〃C成等比数列，得s加5=s%/Vs加C.•.从=4，又〃=2c

所以QAc=2：后,所以。34=』+。2_/=（狡）+_-22__克

2bc25/24

故答案为：-正

4

13.（2022•柯桥模拟）如图，在aABC中，D为5c边上一近B点的三等分点,

AB=BAC=42,ZC=-,则sin/BAD

_______»SqAco二

3sin/DAC

【答案】亚;3+百

66

【解析】TD为3C边上一近B点的三等分点，.•.SAAQ=2S.A8

即一x百•AD-sM/BAD=—x-x>/2-AD-sin/DAC

222

亚

,,sinZ.BADAR

故---------="/=■=—

sinADAC5/36

T

—.册立,

又・•・AC<AB,.\B=45°

sinBsin6002

.*.A=180°-105o=75°

-5ACD=1sABC=|xlxV3xV2x^75o=^

故答案为：叵史史

66

14.（2022・河南模拟）在△ABC中，ZC=120°,△ABC的面积为4"，。为8C边的中

点，当中线A。的长度最短时，边A3长等于.

【答案】2/

【解析】如图所示：

ab=\6,

/\2

A22，

AD=b+l-2j-2xbx-2xcos\20°

,2ab、~aab3_..

=Z?2+-+—>2b-+—=一时=24，

Uj2222

当且仅当b=即Q=4&，A=2后时，等号成立.

此时AB2=b2+c2-2bccosC>

=32+8-2x40x20x(-』］=56,

I2)

所以45=2jiW.

故答案为：

15.（2022•浙江模拟）如图，在用钻。中，AB=5AC=2,BC=3>P是△ABC内一

点，且AP=LPA1PC,则/ACB=，sin^APB=

【解析】在△ABC中，利用余弦定理

4c'Be?-.4+9-717T

cosAACB-NACB二生;

2ACBC12~-23

在RSAPC中，sinZACP=-得NACP=2,

26

・•・ZBCP=~,

6

在ABC尸中，PC=y/3，

故BP1=PC2+BC2-2PCBC-cos^BCP=3+9-2xy/3x3x—=3,

2

2

3/.nnAP^BF^-AB1+3-7G/4DD/八、

故cosAAPB=---------------------=------=-----------，Z-APBG(0,兀),

2APBP2732

・•・sinZAPB=~,

2

故填：一，一.

32

三、解答题

16.（2022•吉林模拟）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

asinB=hsinfA+yj.

（1）求角A的大小;

（2）若AB=3,AC=1,N84C的内角平分线交边BC于点D,求而

【答案】（1）解：:正山8=从加+1

ITt

由正弦定理得sinAsinB=[A+鼻

7t

(A+-

sinA=-sinA+—cosA，，工sinA=—cosA

2222

•**tanA=\/3

*.*AG(0,71)

・•.A4

（2）解；方法一；丁Sjsc-S"或）+SAADC

・•・-ABACsin^BAC=-ABADsinZBAD-^-ADACsinZDAC

222

.1O1.兀14八.兀11.兀

..一x3x1xs，〃一二—x3xA£)xs，〃一+—xAA£r\)x1X57〃一

232626

:.AD四

4

,而庶=|阿国d=