湖南省益阳市高平教育集团2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试卷

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省益阳市高平教育集团八年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.不论x取何值时，下列分式总有意义的是(

)A. B. C. D.2.化简的结果是(

)A. B. C. D.3.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A. B. C.且 D.且4.如果，那么代数式的值为(

)A. B. C.3 D.65.若关于x的分式方程有增根，则k的值为(

)A. B. C. D.6.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是(

)A.三角形的稳定性

B.两点之间线段最短

C.两点确定一条直线

D.垂线段最短

7.下列说法中，正确的个数是(

)

①带根号的数一定是无理数；

②任何有理数都能和数轴上的一点对应；

③平方根和立方根都等于本身的数有0和1；

④的平方根为；

⑤若为正整数，则；A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图，，OC平分，P为射线OC上一点，如果射线OA上的点D，满足是等腰三角形，那么的度数为(

)A.

B.

C.或

D.或或9.如图，已知，求作一点P，使P到的两边的距离相等，且、下列确定P点的方法正确的是(

)

A.P为、两角平分线的交点

B.P为AC、AB两边上的高的交点

C.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点

D.P为的角平分线与AB的垂直平分线的交点10.如图，点E、F在AC上，，，添加下列条件后仍不能使≌的是(

)A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.化简：______.12.如果，那么代数式的值是______.13.关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是______.14.有三个正方体木块，每一块的各面都写上不同的数字，三块的写法完全相同，现把它们摆放成如图所示的位置，请你判断数字5对面的数字是______.

15.图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线图中虚线剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为______16.如图，中，，，分别以A，C为圆心，以大于为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线MN交AB于点P，则的度数等于______.

17.如图，在长方形ABCD中，，，延长BC到点E，使，连接

DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，与全等.

18.如图，，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D，画射线，以点为圆心，OC为半径画弧交于点，以点为圆心，CD长为半径画弧，交上一步所画弧于点E，再以点E为圆心，CD长为半径画弧，交弧于点F，再以点F为圆心，CD长为半径画弧，交弧于点G，画射线，反向延长，得到射线，画出的平分线，则______用含的代数式表示三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.本小题7分

在关于x，y的二元一次方程中，当时，；当时求k，b的值；

化简：20.本小题7分

先化简，再求代数式的值，其中21.本小题8分

“十三五”期间，云南脱贫攻坚目标任务如期完成，乡村振兴实现良好开局，农业农村发展取得显著成就.培育壮大特色优势产业是云南脱贫攻坚的重要途径，农产品已成为农民脱贫致富的一把“金钥匙”.今年，我市某山区苹果喜获丰收，苹果一上市，水果店的王老板用3200元购进一批苹果，很快售完；老板又用5600元购进第二批苹果，购进总重量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了2元.求第一批苹果每千克进价多少元？22.本小题8分

阅读材料：

新定义：任意两数a、b，按规定得到一个新数c，称所得新数c为数a、b的“快乐返校学习数”．

若，，求a，b的“快乐返校学习数”c；

若，，且，求a，b的“快乐返校学习数”c；

若，，且a，b的“快乐返校学习数”c为正整数，求整数n的值是多少？23.本小题9分

综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧.在中，与的平分线相交于点

如图1，如果，那么______

如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系.

如图3，在的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在中，若，求的度数.24.本小题9分

如图2，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，过点A作于C，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，，若，作，垂足为求到BD的距离

25.本小题9分

如图，已知长方形ABCD中，，，在边CD上取一点E，将折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求EF的长．

26.本小题9分

已知：如图，于D，于E，求证：

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：A、时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；

B、时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；

C、时，分母等于0，分式无意义，故本选项错误；

D、x为任意实数，，分式总有意义，故本选项正确．

故选

根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断后利用排除法求解．

本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

分式无意义分母为零；

分式有意义分母不为零；

分式值为零分子为零且分母不为零．2.【答案】B

【解析】解：，

故选：

先计算乘方，再计算乘法约分即可．

本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】C

【解析】解：，，

且，

故选：

根据二次根式的被开方数是非负数，即可得出答案．

本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．4.【答案】A

【解析】解：原式

，

，

，

故原式，

故选：

将分式运算后代入数值计算即可．

本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5.【答案】A

【解析】解：分式方程去分母得：，

由分式方程的增根为，

代人得到，

解得：，

故选：

分式方程去分母转化为整式方程，把代入整式方程计算即可求出k的值．

此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6.【答案】A

【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．

故选：

根据三角形的稳定性即可解决问题．

本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．7.【答案】A

【解析】解：①带根号的数不一定是无理数，如，故原说法错误；

②任何有理数都能和数轴上的一一点对应，说法正确；

③平方根和立方根都等于本身的数有0，故原说法错误；

④的平方根为，故原说法错误；

⑤若为正整数，当n为偶数时，则或，故原说法错误；

故正确的个数为1，

故选：

根据有理数、实数、无理数和平方根的概念逐项判断即可．

本题考查实数、无理数、平方根、立方根等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．8.【答案】D

【解析】解：，OC平分，

，

①当D在时，，

，

；

②当D在点时，，

则；

③当D在时，，

则；

综上所述：或或，

故选：

求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．

本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．9.【答案】D

【解析】解：点P到的两边的距离相等，

点P在的角平分线上；

又，

点P在线段AB的垂直平分线上，

为的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．

故选：

根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．

本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．10.【答案】A

【解析】解：，

，

即，

A、添加不能使≌，故此选项符合题意；

B、添加可利用AAS判定≌，故此选项不符合题意；

C、添加可利用SAS判定≌，故此选项不符合题意；

D、添加可利用ASA判定≌，故此选项不符合题意；

故选：

根据等式的性质可得，然后结合全等三角形的判定方法分别分析四个选项即可．

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11.【答案】

【解析】解：原式

，

故答案为：

先把被除式分解因式，再把除法写成乘法运算的形式，然后约分即可．

本题主要考查了分式的乘除运算，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法．12.【答案】

【解析】解：

，

，

原式

故答案为：

利用分式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可．

本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．13.【答案】且

【解析】【分析】

此题主要考查解方程和不等式，把方程和不等式联系起来，是一种常见的题型，比较简单．把方程进行通分求出方程的解，再根据其解为负数及分母不能为0，从而解出a的范围．

【解答】

解：解方程得，，

方程的解是负数，

且，

解得且，

的取值范围是：且

故答案为且14.【答案】6

【解析】解：与1，4，2，3相邻，

与5相对，

对面的数字是6，

故答案为：6

根据图形可知，6与1，4，2，3相邻，所以6与5相对．

本题考查了正方体相对两个面上的文字，学生必须熟悉相邻面和相对面是解题的关键．15.【答案】

【解析】解：如图所示：

是等腰直角三角形，是等边三角形，

在中，，

，

在中，，

从顶点A爬行到顶点B的最短距离为

故答案为：

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题．16.【答案】

【解析】解：由作图知，MN垂直平分AC，

，

，

，

，

，

故答案为：

根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，于是得到结论．

本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．17.【答案】1或7

【解析】解：因为，若，，根据SAS证得≌，

由题意得：，

所以，

因为，若，，根据SAS证得≌，

由题意得：，

解得

所以，当时．和全等．

故答案为：1或

分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．

本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．18.【答案】

【解析】解：由作图步骤可知，，

为的平分线，

故答案为：

先利用角的画法和平角的定义求出，再利用角平分线的定义得结论．

本题考查了角的画法和角平分线，掌握平角的定义、角的和差关系及角平分线的定义是解决本题的关键．19.【答案】解：在关于x，y的二元一次方程中，当时，；当时，

，

解得：，；

【解析】把x、y的值代入得出方程组，再求出方程组的解即可；

先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．

本题考查了分式的乘除法，解二元一次方程组和二元一次方程组的解等知识点，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解的关键，能正确根据分式的乘除法法则进行计算是解的关键．20.【答案】解：原式

，

原式

【解析】分别化简代数式和x的值，代入计算．

本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．同时还考查了特殊三角函数的值．21.【答案】解：设第一批苹果每千克进价为x元，

根据题意，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，且符合题意；

答：第一批苹果每千克进价是16元．

【解析】设第一批苹果每千克进价为x元，由题意：水果店的王老板用3200元购进一批苹果，很快售完；老板又用5600元购进第二批苹果，购进总重量是第一批的2倍，由于进货量增加，进价比第一批每千克少了2元．列出分式方程，解方程即可．

本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.【答案】解：，

；

，

，两边同时除以m得：，

，

，，

；

，

为正整数，n为整数，

为2或

【解析】根据题目中的定义把，，代入即可求出c；

把，，代入化简得，再把化简得到可以求得相应的快乐返校学习数；

根据题意和题目中的定义，可以求得整数n的值．

本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新定义解答．23.【答案】；

外角，的平分线交于点Q，

，

，

，

；

如图，延长BC至F，

为的外角的角平分线，

是的外角的平分线，

，

平分，

，

，

，

即，

又，

，即，

，

，

，

，

【解析】解：，

，

与的平分线交于点P，

，，

；

故答案为：；

见答案.

运用三角形的内角