2021-2022学年新教材人教A版必修第二册-8.3.1-棱柱棱锥棱台的表面积和体积-学案

8．3简单几何体的外表积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的外表积和体积胡夫金字塔底边原长230米，高，经风化腐蚀，现降至，塔的底角为51°51′.【问题1】如何计算金字塔的体积？【问题2】为了防止风化腐蚀，需要在金字塔的外表涂上一层保护液，怎样计算金字塔的侧面积？【问题3】棱柱、棱锥、棱台的外表积和体积公式分别是什么？1．棱柱、棱锥、棱台的外表积多面体的外表积就是围成多面体各个面的面积的__和__．2．棱柱、棱锥、棱台的体积(1)棱柱：①棱柱的高：两底面之间的距离，即从一底面向另一底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离；②体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．(2)棱锥：①棱锥的高：从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离；②体积公式：V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面面积，h为高．(3)棱台：①棱台的高：两底面之间的距离，即从上底上任意一点向下底作垂线，这点与垂足之间的距离；②棱台体积：V＝eq\f(1,3)h(S′＋eq\r(S′S)＋S).其中，台体的上、下底面面积分别为S′，S，高为h.柱体、锥体、台体体积之间的关系：等底等高的棱柱和棱锥的体积什么关系？提示：棱柱的体积是棱锥体积的三倍．1．棱台的侧面展开图是由什么图形组成的？2．等底面面积且等高的两个同类几何体的体积什么关系？3．在三棱锥P­ABC中，VP­ABC，VA­PBC，VB­PAC，VC­PAB的关系是什么？提示：1.梯形；2.相等；3.相等．观察教材图8.3－2，这个漏斗的外表积是怎么组成的？提示：漏斗分为外外表、内外表，因此漏斗的外表积是由四棱柱的侧面积与四棱锥的侧面积和的2倍．1．正方体的外表积为96，那么正方体的体积为()A．48eq\r(6)B．64C．16D．96【解析】选B.设正方体的棱长为a，那么6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为43＝64.2．棱长都是3的三棱锥的外表积S为________．【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4×eq\f(\r(3),4)×32＝9eq\r(3).答案：9eq\r(3)根底类型一棱柱、棱锥、棱台的外表积(数学运算)1．(2021·湘潭高一检测)正四棱锥P­ABCD的高为eq\r(7)，且AB＝2，那么正四棱锥P­ABCD的侧面积为()A．2eq\r(2)B．4C．6eq\r(2)D．8eq\r(2)【解析】选D.设P在底面ABCD上的射影为O，那么O为底面正方形ABCD的中心，取CD的中点E，连接OE，那么OE＝eq\f(1,2)AB＝1，所以PE＝eq\r(PO2＋OE2)＝2eq\r(2)，因为PC＝PD，所以PE⊥CD，所以正四棱锥P­ABCD的侧面积为4S△PCD＝4×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2).2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的外表积是()A．eq\f(3＋\r(3),4)a2B．eq\f(3,4)a2C．eq\f(3＋\r(3),2)a2D．eq\f(6＋\r(3),4)a2【解析】选A.因为侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq\f(\r(2),2)a，所以S表＝eq\f(\r(3),4)a2＋3×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))eq\s\up12(2)＝eq\f(3＋\r(3),4)a2.3．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，那么这个正四棱台的侧面积为________cm2，外表积为________cm2.【解析】由可得正四棱台侧面梯形的高为h＝eq\r(132－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18－8,2)))\s\up12(2))＝12(cm)，所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是外表积为S＝624＋64＋324＝1012(cm2).答案：6241012关于棱锥、棱台的外表积能直接求各个面的面积的可直接求出面积相加，计算时要注意构造直角三角形，直角梯形，如图四棱锥，四棱台中的直角三角形，直角梯形．微提醒：求锥体、台体的侧面积的关键是求出侧面三角形、梯形的高．根底类型二棱柱、棱锥、棱台的体积(数学运算)【典例】1.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2eq\r(14)，那么这个长方体的体积是()A．6B．12C．24D．48【解析】选D.设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x，2x，3x，又体对角线长为2eq\r(14)，那么x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2eq\r(14))2，解得x＝2.所以三条棱长分别为2，4，6.所以V长方体＝2×4×6＝48.2．如下图，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，那么三棱锥P­ABC的体积V＝________．【解析】三棱锥的体积V＝eq\f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B作为顶点，△PAC作为底面求解．故V＝eq\f(1,3)S△PAC·PB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×4×3＝4.答案：4求几何体体积的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)分割法：将几何体分割成易求解的几局部，分别求体积．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥B­AB1CA．eq\f(1,6)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)【解析】选A.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长AB＝1，那么三棱锥B­AB1C＝eq\f(1,3)××B1C1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).综合类型柱、锥、台体外表积和体积公式的应用(数学运算)组合体的体积【典例】如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的多面体为二十四等边体．假设该二十四等边体棱长为1，那么该二十四等边体的体积为________．【解析】由题知原来正方体棱长为eq\r(2)，那么正方体的体积为2eq\r(2)，又截去的8个三棱锥为全等三棱锥，都有三条互相垂直的棱长且棱长为eq\f(\r(2),2)，故截去体积为8×eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(\r(2),3)，那么此二十四等边体的体积V＝2eq\r(2)－eq\f(\r(2),3)＝eq\f(5\r(2),3).答案：eq\f(5\r(2),3)关于组合体的体积首先分清组合体是由棱柱、棱锥、棱台中那些组合而成，再分别求出这些体积，进而求出整个几何体的体积；其次是利用割、补等方法，将组合看成由柱、锥、台通过分割、补形而成，利用原来的几何体体积加上或减去割、补的几何体的体积，进而求出所求几何体的体积．【加固训练】某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成，如下图，其中长方体的长、宽、高分别为4，3，3，三棱柱底面是直角边分别为4，3的直角三角形，侧棱长为3，那么此几何体的体积是________，外表积是________．【解析】该几何体的体积V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，外表积S＝3×eq\r(42＋32)＋4×3＋2×eq\f(1,2)×4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋2×3×3＝138.答案：90138外表积、体积公式的综合应用【典例】假设正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，那么正方体的外表积与正四面体的外表积之比是()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(2,\r(3))D．eq\f(\r(3),2)【解析】选A.如下图，正方体的A′，C′，D，B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体棱长为a，那么正四面体棱长为eq\r(2)a.所以正方体外表积S1＝6a2，正四面体外表积为S2＝4×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2)a)2＝2eq\r(3)a2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(6a2,2\r(3)a2)＝eq\r(3).本例的条件不变，试求正方体的体积与正四面体的体积之比．【解析】正方体的体积S1＝a3，正四面的体积相当于正方体的体积减去四个三棱锥的体积，所以S2＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×a·a·a＝eq\f(1,3)a3，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(a3,\f(1,3)a3)＝3.关于外表积、体积公式的综合应用综合应用棱柱、棱锥、棱台的外表积和体积公式解决综合问题时，首先确定根本的空间几何体的根本量，如棱长，高等，其次是熟练利用相应的公式进行计算．1．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)两局部，那么这个截面把棱锥的侧面分成两局部的面积之比等于()A．1∶9B．1∶8C．1∶4D．1∶3【解析】选B.两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8.2．正六棱柱的高为6，底面边长为4，那么它的外表积为()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．144【解析】选A.由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2×eq\f(\r(3),4)×42×6＝48eq\r(3)，所以外表积S＝48(3＋eq\r(3)).3．正三棱台(上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)的上、下底面边长分别为2cm和4cm，侧棱长是eq\r(6)cm，那么该三棱台的外表积为________cm2.【解析】正三棱台的外表积即上下两个正三角形的面积与三个侧面的面积和，其中三个侧面均为等腰梯形，易求出斜高为eq\r(5)cm，故三棱台的外表积为3×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(5)＋eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＋eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝5