2022届新高考一轮复习-第四章-导数及其应用-第5讲-恒成立和存在性问题-教案

第四章导数第四章导数及其应用第第5讲恒成立和存在性问题1．积累常用的不等式，熟练运用导数解决不等式恒成立问题、存在性问题．2．熟练使用别离参数、分类讨论等方法解决参数范围问题．3．能够大致描绘函数图象，能借助图象理解题意和解题．【例1】函数，．〔1〕假设，其中是函数的导函数，试讨论的单调性；〔2〕证明：当时，．【答案】〔1〕当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕的定义域为，，，，当时，恒成立，此时在上单调递增；当时，，即可得，所以，由，即可得，所以，所以当时，在单调递增，在单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．〔2〕当时，，设，那么，令，那么，所以在上单调递增，且，所以时，，即，此时单调递减；当时，，即，此时单调递增，所以在上单调递减，在单调递增，所以，所以对于恒成立，所以．【变式1．1】函数．〔1〕讨论的单调性；〔2〕证明：当时，恒成立．【答案】〔1〕时，在为单调减函数；时，在为单调减函数，在为单调增函数；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕，其中；当时，，在为单调减函数；当时，，，为单调减函数；，，为单调增函数，综上，时，在为单调减函数；时，在为单调减函数，在为单调增函数．〔2〕证明：因为，所以，当且仅当，即时，取等号．由〔1〕知，所以，令，那么为增函数，所以，即时，恒成立．【例2】函数．〔1〕求曲线在处的切线方程；〔2〕设，证明：．【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕，且，所以切线方程，即．〔2〕由，，，所以在为增函数，又因为，，所以存在唯一，使，即且当时，，为减函数，时，，为增函数，所以，，记，，，所以在上为减函数，所以，所以．【变式2．1】函数〔〕．〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕假设，，求证：当时，．【答案】〔1〕见解析；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕函数的定义域为，且．①假设，那么，因而在上单调递增；②假设，那么当及时，，单调递增，当时，，单调递减；③假设，那么当及时，，单调递增，当时，，单调递减，综上，当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增；在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减．〔2〕由题意知，∴，故．欲证当时，，∵当时，，．∴只需证：，即在上恒成立，设，那么．设，那么，故当时，，单调递增．又，，∴有且只有一个根，且，．∴在上，，单调递减；在上，，单调递增，∴函数的最小值．又∵，∴在上恒成立，故成立．利用导数证明不等式恒成立的两种情形〔1〕假设函数最值可以通过研究导数求得，那么可先利用导数研究函数单调性，将不等式恒成立问题转化成函数最值问题来解决：；．〔2〕假设函数最值无法通过研究导数求得，即导函数的零点无法精确求出时，可以利用“虚设和代换〞的方法求解．“虚设和代换〞法当导函数的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点存在，再虚设为，接下来通常有两个方向：〔1〕由得到一个关于的方程，再将这个关于的方程的整体或局部代入，从而求得，然后解决相关问题．〔2〕根据导函数的单调性，得出两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解．【例3】函数，．〔1〕证明：当时，；〔2〕证明：当时，存在，使得任意，恒有；〔3〕确定的所有可能取值，使得存在，对任意的，恒有．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析；〔3〕．【解析】〔1〕证明：令，所以．当时，，所以在上单调递减．又因为，所以当时，，即，所以．〔2〕证明：令，，．当时，，所以在上单调递增，所以，即，故对任意的正实数均满足题意．当时，令，得，取，对任意，恒有，所以在上单调递增，，即．综上，当，总存在，使得对任意，恒有．〔3〕当时，由〔1〕知，对于任意，，故．此时．令，那么有．令，得，〔另一根为负，舍去〕，故当时，，即在上单调递增，故，即．所以满足题意的不存在．当时，由〔2〕知，存在，使得对任意的，恒有，此时．令，那么有．令，即，得〔另一根为负，舍去〕，故当时，，即在上单调递增，故，即．记与中较小的为，那么当时，恒有，故满足题意的不存在．当时，由〔1〕知，当时，．令，那么有．当时，，即在上单调递减，故．故当时，恒有，此时任意正实数满足题意，综上，的取值为1．【变式3．1】函数．〔1〕求函数的极值；〔2〕求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式成立．【答案】〔1〕，无极大值；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕因为，所以，令，那么，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，所以时，取得极小值，，无极大值．〔2〕由〔1〕知当时，，要证，即，即证当时，不等式，即在上有解．令，即证，由，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增，，令，其中，那么，递减，，综上得证．【例4】函数．〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设存在，求的取值范围．【答案】〔1〕分类讨论，答案见解析；〔2〕．【解析】〔1〕函数的定义域为，，当时，，那么在上递增，当时，由，得，由，得；由，得，于是有在上递增，在上递减．〔2〕由，得，，，当时，，满足题意；当时，令，，在上递增，那么，不合题意；当时，由，得；由，得，于是有在上递减，在上递增，，那么时，，综上，的取值范围为．【变式4．1】函数．〔1〕当时，讨论函数的极值；〔2〕假设存在，使得，求实数的取值范围．【答案】〔1〕答案不唯一，具体见解析；〔2〕．【解析】〔1〕由题意，函数，可得．①当时，假设，那么；假设，那么，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，取得极小值，无极大值；②当时，假设或，那么；假设，那么，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值；③当时，，∴在区间上是增函数，∴既无极大值又无极小值，综上所述，当时，有极小值，无极大值；当时，有极大值，极小值；当时，既无极大值又无极小值．〔2〕由题知，存在，使得，设，那么，设，∴在区间上是增函数，又，，∴存在，使得，即，∴，当时，，即；当时，，即，∴在区间上是减函数，在区间上是增函数，∴，∴，∴，∴实数的取值范围为．【例5】函数．〔1〕当时，求曲线在点处的切线方程；〔2〕假设存在，使不等式成立，求实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕当时，，那么，所以，而，所以曲线在点处的切线方程为，即．〔2〕假设存在，使不等式成立，即存在，使不等式成立，存在，不等式成立，设，，那么，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，又，，，即，故，所以实数的取值范围为．【变式5．1】是自然对数的底数，函数，．〔1〕假设曲线在点处的切线斜率为，求的最小值；〔2〕假设当时，有解，求实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕由，得．曲线在点处的切线斜率为，，，．当时，，，，当时，，，那么，在上单调递增，．〔2〕，设，，那么当时，有解．，．当时，，解，可得或，解得，．当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减．，，且，，的取值范围为．【例6】函数()．〔1〕当时，求函数在点处的切线方程；〔2〕当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕当时，，．那么曲线在点处的切线的斜率为．又，所以切线方程为．〔2〕由函数，等价于恒成立，那么，其中，，当时，因为，所以，在上单调递增，那么，符合题意；当时，令，，当时，解得，，在上单调递减，那么，对于任意恒成立，不合题意；当时，，设的两个零点为，设，，那么，当，，单调递增；当时，，，单调递减，又∵当时，对数函数的增长速度远不如的减小速度，∴，所以不合题意，综上所述，实数的取值范围是．【变式6．1】函数．〔1〕当时，求曲线在处的切线方程；〔2〕假设对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围．附：．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕当时，，得出切点，因为，所以切线的斜率为，所以曲线在处的切线方程为，化简得．〔2〕对任意的，都有恒成立，即恒成立，令，．①当时，恒成立，函数在上单调递增，，时符合条件．②当时，由，及，解得．当时，；当时，，，这与相矛盾，应舍去．综上可知，，所以的取值范围为．【例7】函数．〔1〕当时，求证：；〔2〕当时，，求实数的取值范围．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕．【解析】〔1〕证明：当时，，定义域为，那么，由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以．〔2〕解：由〔〕，得〔〕，当时，上述不等式恒成立，当时，，令〔〕，那么，由〔1〕可知，当时，，所以由，得；由，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，也是的最小值点，且，所以，所以实数的取值范围为．【变式7．1】函数．〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设恒成立，求的最大值．【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕．【解析】〔1〕，当时，恒成立，在上单调递增；当时，在单调递增；在单调递减；当时，在单调递增，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．〔2〕在恒成立，可得恒成立；设，那么，令，那么，令，那么，因为，所以，在上单调递增，，，令，那么，易知在单调递减；在单调递增，，可得，所以在上单调递增，又因为，所以在上，；在上，，所以在上，单调递减；在上，单调递增，所以在上，，所以，所以的最大值为．〔1〕解决“不等式恒成立或能成立求参数〞问题常用方法之一是“别离参数法〞，即将参数与含有变量的式子别离，转化成或的形式，利用“恒成立，恒成立，能成立，能成立〞把不等式恒成立或能成立问题转化成利用导数求函数值问题．〔2〕在恒成立或能成立问题中，假设参数无法别离，可以尝试带着参数对原函数求导，然后令导数得零，得出极值点，根据极值点与区间端点的大小对参数进行分类讨论，然后再从正面证明或者从反面找反例来说明每一类是否符合条件，最后取并集．【例8】函数．〔1〕当时，求的单调区间；〔2〕假设对任意的，使得，求实数的取值范围〔为自然对数的底数〕．【答案】〔1〕的单调减区间为，增区间为；〔2〕．【解析】〔1〕〔〕，由于，那么，当时，，那么；当时，，那么，所以的单调减区间为，增区间为．〔2〕对任意的，都有，那么，即，当时，，当时，，那么，当时，，那么，所以此时的单调减区间为，增区间为，结合第〔1〕问知，当时，的单调减区间为，增区间为，所以，，由，，那么，令，那么，所以在上是增函数，又，故当时，；当时，，即当时，；当时，，①当时，，令，那么，又，即在上是增函数，所以；②当时，有，那么，即，所以，即，综上可知，实数的取值范围是．【变式8．1】设，函数，函数．〔注：为自然对数的底数〕〔1〕假设，求函数的最小值；〔2〕假设对任意实数和正数，均有，求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．【解析】〔1〕当时，为增函数，且，所以在递减，在递增，所以．〔2〕因为，由于函数在上单增，且，，所以存在唯一的使得，且．再令，，可知在单增，而由可知，，，所以．于是，所以．又为增函数，当时，，当时，；又当时，，当时，，所以对任意，存在唯一实数，使得，即，且．由题意，即使得，也即，即，又由于单调递增且，所以的值范围为，代入求得的取值范围为．【例9】函数，．〔1〕求函数的单调区间；〔2〕设函数，存在实数，使得不等式成立，求的取值范围．【答案】〔1〕答案不唯一，具体见解析；〔2〕．【解析】〔1〕∵，∴，①当时，∵，∴，，∴单减，∴减区间是；时，，∴单增，∴增区间是．②当时，∵，∴，∴的减区间是．③当时，∵，∴的减区间是．④当时，，∴，∴的增区间是；，，∴的减区间是．〔2〕，因为存在实数，使得不等式成立，∴，，∵，，，单减；，，∴单增，∴，．∴，∴，∵，∴．【变式9．1】函数，．〔1〕假设，求证：当时，函数与的图象相切；〔2〕假设，对，都有，求的取值范围．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕．【解析】〔1〕证明：∵，∴，当时，，设点为函数图象上的一点，令，设，∴，所以单调递增，又，∴，此时，，即当时，结论成立，切点为．〔2〕解：由得，∵，∴，可知，当时，，单调递减；当时，，单调递增，又∵；，∴当时，，又∵当时，，∴，∴，∴①；假设，当时，，又∵，∴②；由①②可得，∴的取值范围为．【例10】函数，其中．〔1〕求的单调区间；〔2〕假设对任意的，总存在，使得，求实数的值．【答案】〔1〕见解析；〔2〕．【解析】〔1〕∵，，当时，对，，所以的单调递减区间为．当时，令，得，∵时，；时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．综上所述，时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为．〔2〕讨论：①当且时，由〔1〕知，在上单调递减，那么，因为对任意的，总存在，使得，所以对任意的，不存在，使得；②当时，由〔1〕知，在上是增函数，在上是减函数，那么，因为对，对，，所以对，不存在，使得；③当时，令，由〔1〕知，在是增函数，进而知是减函数，所以，，，，因为对任意的，总存在，使得，即，故有，即，所以，解得，综上，的值为．【变式10．1】函数，，．〔1〕当时，求曲线在处的切线方程；〔2〕求的单调区间；〔3〕设，假设对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕见解析；〔3〕．【解析】〔1〕当时，，所以，所以，所以曲线在处的切线方程为，即．〔2〕的定义域是，，令，得，①当时，，所以函数的单调增区间是；②当时，变化如下：++↗极大值↘↘极小值↗所以函数的单调增区间是，单调减区间是；③当时，变化如下：++↗极大值↘↘极小值↗所以函数的单调增区间是，单调减区间是．〔3〕因为，所以，当时，，所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以在上的最小值是，最大值是，即当时，的取值范围为，由〔2〕知，当时，，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以不合题意；当时，，在上单调递减，所以在上的最大值为，最小值为，所以当时，的取值范围为，“对于任意，总存在，使得成立〞等价于，即，解得，所以的取值范围为．不等式的恒成立与有解问题，可按如下规那么转化：一般地，函数，〔1〕假设，，总有成立，故；〔2〕假设，，有成立，故；〔3〕假设，，有成立，故；〔4〕假设，，有，那么的值域是值域的子集．一、解答题．1．函数，〔〕．〔1〕当时，求函数的极值；〔2〕函数在区间上存在最小值，记为，求证：．【答案】〔1〕极大值为，无极小值；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕当时，，，那么，当，；当，所以．所以当时，取得极大值为，无极小值．〔2〕由题可知．①当时，由〔1〕知，函数在区间上单调递减，所以函数无最小值，此时不符合题意；②当时，因为，所以，此时函数在区间上单调递增，所以函数无最小值，此时亦不符合题意；③当时，此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即，要证，只需证当时，成立，设，，由〔1〕知，所以．2．函数．〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕假设恒成立，求的取值范围．【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕．【解析】〔1〕，当时，，所以函数在区间上单调递增；当时，由，得；由，得，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减﹐在区间上单调递增．〔2〕由〔1〕可得：当时，在区间上单调递增；又，所以当时，，不满足题意；当时，函数在区间上单调递减﹐在区间上单调递增；所以，为使恒成立，只需，令，，那么只需恒成立，又，由，得；由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，那么；又，所以只有，即，那么，综上，的取值范围为．3．设是函数的一个极值点．〔1〕求与之间的关系式，并求当时，函数的单调区间；〔2〕设，．假设存在使得成立，求实数的取值范围．【答案】〔1〕由，在上单调递增，在和单调递减；〔2〕．【解析】〔1〕，由题意知，解得．当，那么，故令，得，于是在上单调递增，在和单调递减．〔2〕由〔1〕得，令，得〔〕，所以在上单调递增，在单调递减，于是，；另一方面在上单调递增，．根据题意，只要，解得，所以．4．函数，．〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕假设恒成立，求实数的取值范围．【答案】〔1〕答案见解析；〔2〕．【解析】〔1〕函数的定义域为，且．①当时，，假设，那么；假设，那么，此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；②当时，，令，可得〔舍〕或．假设，那么；假设，那么，此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；③当时，．〔i〕假设，即当时，对任意的，，此时，函数在上为增函数；〔ii〕假设，即当时，由可得或，且．由，可得或；由，可得．此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；当时，函数在上为增函数．〔2〕由，可得，即对任意的恒成立，令，其中，，令，其中，那么，．所以，函数在上单调递减，那么，所以，函数在上单调递减，故，所以，当时，，此时函数在上单调递增，当时，，此时函数在上单调递减．所以，，．因此，实数的取值范围是．5．函数．〔1〕假设存在极值，求的取值范围；〔2〕当时，求证：．【答案】〔1〕；〔2〕证明见解析．【解析】〔1〕函数的定义域为，，当时，对任意的，，故在上单调递增，无极值；当时，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故在处取得极大值，无极小值，综上所述，假设存在极值，那么的取值范围为．〔2〕当时，．设，其定义域为，那么证明即可．，设，那么，故函数在上单调递增．，．有唯一的实根，且，．当时，；当时，，故函数的最小值为．，．6．函数．〔1〕当时，求函数的单调区间；〔2〕设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围．【答案】〔1〕见解析；〔2〕．【解析】〔1〕函数的定义域为，，由，得或．当，即时，由，得，由，得或；当，即时，当时都有；当时，单调减区间是，单调增区间是，；当时，单调增区间是，没有单调减区间．〔2〕当时，由〔1〕知在上单调递减，在上