2.6.3函数的最值课件高二下学期数学北师大版选择性

第二章导数及其应用6.3函数的最值北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引

基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.能利用导数求某些函数在给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.2.体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.基础落实·必备知识一遍过知识点

函数最值的定义1.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)(如图所示).x0∈[a,b]由上图可以看出,最大值或者在极大值点(也是导数的零点)取得,或者在区间的端点取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为函数的最大值.函数的最小值点和最小值也是用类似的方法定义.2.函数的最大值和最小值统称为

.

最值名师点睛1.给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,尽管函数图象是连续的,那么它也不一定有最大值和最小值.例如函数f(x)=在区间(0,2)内的图象是连续不断的曲线,但在该区间上,函数f(x)既没有最大值,也没有最小值.2.所给函数的图象必须是连续曲线,否则不一定有最值,例如函数

在[-1,1]上只有最大值,而没有最小值.3.函数的最值是一个整体性概念,最大值(最小值)必须是整个定义的区间内所有函数值中的最大值(最小值).函数在闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能有多个,也可能没有.4.极值只能在函数区间的内部取得,而最值可以在区间的端点取得,有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能是最值,最值只要不在端点处则一定是极值.思考辨析你能类比最大值点和最大值的定义方法,给出最小值点和最小值的定义吗?提示

函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都大于或等于f(x0),函数的最小值可以在区间的内部取得,也可以在区间的端点处取得,要想求函数的最小值,一般首先求出函数导数的零点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最小的值即为函数的最小值.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数的最大值不一定是函数的极大值.(

)(2)函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得.(

)(3)有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值.(

)√××2.下列结论正确的是(

)A.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极大值一定是[a,b]上的最大值B.若f(x)在[a,b]上有极小值,则极小值一定是[a,b]上的最小值C.若f(x)在[a,b]上有极大值,则极小值一定是在x=a或x=b处取得D.若函数f(x)的图象在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线,则f(x)在区间[a,b]上存在最大值和最小值D解析

函数f(x)在区间[a,b]上的极值不一定是最值,最值也不一定是极值,极值一定不会在端点处取得,若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,则它在区间[a,b]上一定存在最大值和最小值.3.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高应为(

)B重难探究·能力素养速提升探究点一求函数的最值角度1.求函数在闭区间上的最值【例1】

求下列函数在相应区间上的最值:(1)f(x)=x3-3x2-10,x∈[-1,1];(2)f(x)=2sin

x-x,x∈解

(1)f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)=0,得x=0(x=2舍去).当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)

+0-

f(x)-14↗极大值-10↘-12所以当x=-1时,函数取最小值f(-1)=-14,当x=0时,函数取最大值f(0)=-10.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:规律方法

求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值的方法

变式训练1函数f(x)=cosx+(x+1)sin

x+1在区间[0,2π]上的最大值为(

)D角度2.求函数在开区间或无穷区间内的最值【例2】

求下列函数的最值:(1)f(x)=;(2)f(x)=(x2-3)ex.解

(1),令f'(x)=0,得x=-1或3,容易验证函数在x=-1处取得极小值,在x=3处取得极大值,又因为当x=1时y=0,当x<1时y<0,当x>1时y>0.据此可以画出函数的大致图象,如图所示.(2)函数的定义域是R,且f'(x)=2x·ex+(x2-3)ex=ex(x2+2x-3),令f'(x)>0,得x>1或x<-3;令f'(x)<0,得-3<x<1,所以函数f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)内单调递增,在(-3,1)内单调递减,因此函数f(x)在x=-3处取得极大值,极大值等于f(-3)=6e-3;在x=1处取得极小值,极小值等于f(1)=-2e.规律方法

求函数在开区间或无穷区间内最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)内的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值.C令f'(x)>0,解得x>1,令f'(x)<0,解得0<x<1,则f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,故f(x)的最小值是f(1)=,故选C.探究点二含有参数的函数最值问题【例3】

已知f(x)=ax-ln

x,a∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.(2)是否存在实数a,使f(x)在区间(0,e]上的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.规律方法

对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f'(x)大于0、等于0、小于0三种情况.若导函数恒大于等于0或小于等于0,且使f'(x)=0成立的值是孤立的,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值.变式训练3已知函数f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的极值;(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值.解

(1)由f(x)=(x-k)ex,可得f'(x)=(x-k+1)ex,令f'(x)=0,解得x=k-1,当x变化时,f(x)与f'(x)的变化情况如下表:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘-ek-1↗所以f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞).所以f(x)有极小值f(k-1)=-ek-1,无极大值.(2)当k-1≤0,即k≤1时,f'(x)=(x-k+1)ex≥0在x∈[0,1]上恒成立,则函数f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k;当0<k-1<1,即1<k<2时,由(1)知f(x)在[0,k-1]上单调递减,在(k-1,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-ek-1;当k-1≥1,即k≥2时,f'(x)=(x-k+1)ex≤0在x∈[0,1]上恒成立,则函数f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.综上,当k≤1时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为-k;当1<k<2时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为-ek-1;当k≥2时,f(x)在区间[0,1]上的最小值为(1-k)e.探究点三由函数的最值求参数【例4】

(1)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,在x∈[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.(2)已知h(x)=x3+3x2-9x+1在区间[k,2]上的最大值是28,求k的取值范围.解

(1)由题设知a≠0,否则f(x)=b为常函数,与题设矛盾.求导得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).①当a>0,且当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)-7a+b↗极大值b↘-16a+b由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值b,也是函数在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,解得a=2.②当a<0时,同理可得当x=0时,f(x)取得极小值b,也就是函数在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,解得a=-2.综上可得a=2,b=3或a=-2,b=-29.(2)h(x)=x3+3x2-9x+1,h'(x)=3x2+6x-9.令h'(x)=0,解得x1=-3,x2=1,当x变化时,h'(x)及h(x)的变化情况如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)h'(x)+0-0+h(x)↗极大值28↘极小值-4↗当x=-3时,h(x)取极大值28;当x=1时,h(x)取极小值-4.而h(2)=3<h(-3)=28,∴如果h(x)在区间[k,2]上的最大值为28,则k≤-3.即k的取值范围为(-∞,-3].规律方法

1.已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分类讨论思想的应用.2.理解运算对象,选择运算方法,求得运算结果,体现了数学运算的数学核心素养.变式训练4设函数f(x)=ln

x+,m>0,求f(x)的最小值为2时的m的值.解

∵f'(x)=(x>0),∴当x∈(0,m)时,f'(x)<0,f(x)在(0,m)内单调递减,当x∈(m,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(m,+∞)内单调递增,∴当x=m时,f(x)取得极小值,也是最小值,又最小值为2,∴f(m)=ln

m+=2,∴m=e.本节要点归纳1.知识清单:(1)求函数的最值.(2)含有参数的函数的最值问题.(3)由函数的最值求参数.2.方法归纳:分类讨论、数形结合.3.常见误区:(1)忽略函数的定义域;(2)分类讨论的标准分析不清.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一(角度2)]已知函数f(x)=ex-x,则函数f(x)的最小值为(

)B解析

函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-1,令f'(x)=0,可得x=0.当x<0时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.故f(x)min=f(0)=e0-0=1.故选B.1812345678910111213141516172.[探究点一(角度1)]函数f(x)=xe-x在[0,4]上的最大值为(

)18B当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,12345678910111213141516173.[探究点一(角度1)]“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下,运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车,进而达到燃脂目的的运动,由于其操作简单,燃脂性强,受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v(单位:km/h)随时间t(单位:h)变换的函数关系为,则该单车爱好者骑行速度的最大值为(

)C1812345678910111213141516174.[探究点一(角度2)](多选题)

函数f(x)=在区间(0,+∞)内(

)A.有最大值,无最小值B.有最小值,无最大值C.函数f(x)存在唯一的零点D.函数f(x)存在唯一的极值点BD18所以在(1,+∞)内,f'(x)>0,f(x)单调递增,在(0,1)内,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)min=f(1)=e>0,无最大值,不存在零点.所以f(x)存在唯一的极值点.故选BD.12345678910111213141516171812345678910111213141516175.[探究点一(角度1)]函数f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是

,最小值是

.

2-21812345678910111213141516176.[探究点三]已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是

.

(-∞,2ln2-2]解析由题意知方程ex-2x+a=0有根,即方程a=2x-ex有根,设g(x)=2x-ex,则令g'(x)=2-ex=0,解得x=ln

2.∴g(x)在(-∞,ln

2)内单调递增,在(ln

2,+∞)内单调递减,∴g(x)max=2ln

2-eln

2=2ln

2-2,∴a≤2ln

2-2.1812345678910111213141516177.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R),且f'(-1)=f'(3)=0.(1)求a-b的值;(2)若函数f(x)在[-2,2]上的最大值为20,求函数f(x)在[-1,4]上的最小值.

181234567891011121314151617解

(1)由题意可得f'(x)=-3x2+2ax+b,因为f'(-1)=f'(3)=0,所以f'(-1)=-3-2a+b=0,f'(3)=-27+6a+b=0,所以a-b=-6.181234567891011121314151617(2)由(1)可得函数f(x)=-x3+3x2+9x+c,则f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3),令f'(x)<0,可得x<-1或x>3;令f'(x)>0,可得-1<x<3,所以函数f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在(-1,3)内单调递增,在(3,+∞)内单调递减.因为f(-2)=2+c,f(2)=22+c,f(-2)<f(2),所以当x∈[-2,2]时,f(x)max=f(2)=22+c=20,解得c=-2,所以f(x)=-x3+3x2+9x-2,所以f(-1)=-7,f(4)=18,f(-1)<f(4),所以当x∈[-1,4]时,f(x)min=f(-1)=-7.1812345678910111213141516171819202122188.[探究点二]已知函数f(x)=xlnx-2x,求:(1)函数f(x)的单调区间;(2)函数f(x)在区间[1,a]上的最小值.1234567891011121314151617181920212218解

(1)由题设,f'(x)=ln

x-1,x>0,令f'(x)>0,解得x>e,令f'(x)<0,解得0<x<e,∴f(x)的单调递减区间为(0,e),单调递增区间为(e,+∞).(2)由(1)知,当1<a≤e时,f(x)在区间[1,a]上单调递减,∴f(x)min=f(a)=aln

a-2a,当a>e时,f(x)在区间[1,e)内单调递减,在区间[e,a]上单调递增,∴f(x)min=f(e)=eln

e-2e=-e.1234567891011121314151617189.已知函数f(x)=(x-1)ex-kx3+1,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2),则实数k的取值范围是(

)BB级关键能力提升练12345678910111213141516171810.已知函数f(x)=xex,g(x)=-(x+1)2+a,若∃x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则实数a的取值范围是(

)A.(-e,+∞) B.(-∞,-e]C解析

∃x1,x2∈R,使得f(x2)≤g(x1)成立,则f(x)min≤g(x)max,由题得f'(x)=ex+xex=(x+1)ex,令f'(x)=0,解得x=-1,所以函数f(x)在(-∞,-1)内单调递减,在(-1,+∞)内单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-,g(x)max=g(-1)=a,∴a≥-.故选C.123456789101112131415161718C12345678910111213141516171812.

函数f(x)=ex+sinx-x-1在区间[-π,+∞)内的零点个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4B123456789101112131415161718B12345678910111213141516171814.已知a≤4x3+4x2+1对任意x∈[-2,1]都成立,则实数a的取值范围是

.

(-∞,-15]12345678910111213141516171812345678910111213141516171816.已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若对任意x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围.12345678910111213141516171812345678910111213141516171817.已知函数f(x)=x+alnx+1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为-a+1,求实数a的值.解

(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a≥0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)内单调递增,无极值;当a<0时,令f'(x)>0,解得x>-a,令f'(x)<0,解得x<-a,所以f(x)的单调递增区间为(-a,+∞),单调递减区间为(0,-a),此时f(x)有极小值f(-a)=-a+aln(-a)+1,无极大值.由f'(x)=0得x=-a,①若a≥-1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e